高階多點(diǎn)邊值問題共振情況下正解的存在性

劉丙鐲, 車曉飛

(中國(guó)礦業(yè)大學(xué) 理學(xué)院,江蘇 徐州 221116)

高階多點(diǎn)邊值問題共振情況下正解的存在性

劉丙鐲, 車曉飛

(中國(guó)礦業(yè)大學(xué) 理學(xué)院,江蘇 徐州 221116)

針對(duì)高階多點(diǎn)共振邊值問題研究較少的情況,利用 Leggett-W illiams型迭合度理論,探討一類高階微分方程多點(diǎn)邊值問題共振情況下正解的存在性。通過合理的假設(shè),得到了存在正解的充分性條件,并舉例說明了結(jié)論的可行性。

多點(diǎn)邊值問題;Leggett-W illiams型迭合度理論;正解;存在性定理

Abstract:A imed at higher order multi-point boundary value problems at resonance.This paper seeks to probe into the existence of positive solutions fornth-ordermulti-point boundary value problems at resonance,by the method ofLeggett-W illiams norm-type theorem due to D.O’Regan and M.Zima.The paper provides an example to demonstrate the results.

Key words:multi-point boundary value problems;Leggett-W illiams no rm-type theorem;positive solutions;existence theorem

0 引 言

文中主要研究一類高階微分方程多點(diǎn)邊值問題正解的存在性,方程為

近年來,非局部多點(diǎn)邊值問題的研究受到了很多學(xué)者的關(guān)注[1-7],同時(shí)得到了一些多點(diǎn)邊值問題存在正解和存在多個(gè)正解的充分性條件[8-12]。多數(shù)學(xué)者研究的是非共振情況下正解的存在性,也就是線性算子 L是可逆的。D.O’Regan和 M.Zima在文獻(xiàn)[13]中給出了一種新的研究方法,該方法被G.Infante和M.Zima用于研究共振情況下的二階多點(diǎn)邊值問題[14],方程為對(duì)應(yīng)的邊界條件為筆者受文獻(xiàn)[14]的啟發(fā),用 Leggett-W illiams型的迭合度理論研究了一類高階微分方程多點(diǎn)邊值問題(1)、(2)在共振情況下正解的存在性。

1 預(yù)備知識(shí)

先介紹一些有關(guān) Fredholm算子和 Banach空間中的錐的知識(shí)。令 X、Y是實(shí)的 Banach空間,L:domL?X→Y是個(gè)線性算子,N:X→Y是個(gè)非線性算子。假設(shè):

(H1)L是一個(gè)指標(biāo)為零的 Fredholm算子,即I

mL是個(gè)閉集并且 dim kerL=co d im ImL<∞。若(H1)成立,則存在連續(xù)的投影算子 P:X→X和 Q:Y→Y滿足 ImP=kerL,kerQ= ImL[14-15]。因?yàn)閐im ImQ=dim kerL,所以存在同構(gòu) J: ImQ→kerL。用 Lp表示 L定義在 domL∩kerP上,則 Lp是從domL∩kerP到 ImL的一個(gè)同態(tài)。Kp記為算子 Lp的逆,所以有 Kp: ImL→domL∩kerP[14-16]。顯然有抽象方程 Lx=Nx等價(jià)于 x=(p+JQN)x+Kp(I-Q)Nx。

定義 2[14]如果 X中凸閉子集 C滿足條件

(i)若 x∈C,λ≥0則λx∈C,

(ii)若 x、-x∈C,則 x=0。則稱 C是 X的閉錐,

設(shè) C是 X中的閉錐,則有

x?y當(dāng)且僅當(dāng) y-x∈C。

引理 1[13]如果 C為 X中的一個(gè)錐,那么對(duì)每一個(gè) u∈C{0}都存在一個(gè)正數(shù)σ(u)使得‖x+u‖≥σ(u)‖x‖,? x∈C。

令γ:X→C是一個(gè)壓縮映射,即對(duì)?x∈C都有γ(x)=x成立。為了證明的方便,定義

ψ:=P+JQN+Kp(I-Q)N,

ψγ:=ψ°γ。

引理 2[6](Leggett-W illiams型迭合度理論)C為 X中的一個(gè)錐,令Ω1、Ω2為 X中的有界開集,并且1?Ω2,C∩(2Ω1)≠?。假設(shè)(H1)成立并滿足:

(H2)在 X中的任意有界子集上,QN:X→Y連續(xù)有界,Kp(I-Q)N:X→Y是緊的;

2 主要結(jié)果

定理 1 假設(shè)存在常數(shù) R∈(0,∞),函數(shù) f:[0,

所以 y-y1∈ ImL,Y1∩ ImL={0},于是 Y= ImL⊕Y1。注意到 dimY1=1,co dim ImL=1。那么 L是一個(gè)指標(biāo)為零的 Fredholm算子,因此條件 (H1)滿足。

定義投影算子 P:X→X和 Q:Y→Y分別為

備注 1 條件 (Ⅱ)和 (Ⅲ)不能被用于證明存在多個(gè)正解的充分性條件。

備注 2 如果投影算子 Px=x(0),那么定理1中就不能用于驗(yàn)證條件 (H7)和 (H8)了。

下面給出一個(gè)例子來說明文中定理可行。

例 1 考慮邊值問題 (1)、(2),其中 f(t,x)定義為

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(編輯 王 冬)

Positive solutions ofnth-order multi-point boundary value problems at resonance

L IU B ingzhuo, CHE X iaofei
(College of Sciences,China University ofMining&Technology,Xuzhou 221116,China)

O175.8

A

1671-0118(2010)05-0395-04

2010-05-11

劉丙鐲 (1985-),男,山東省濟(jì)寧人,碩士,研究方向:常微分方程,E-mail:tuteng3839@163.com。