賈曉輝，張大衛(wèi)

(天津大學機械工程學院，天津 300072)

20世紀 90年代提出的納米壓印光刻技術(shù)同其他光刻技術(shù)相比具有分辨率高、制作成本低、生產(chǎn)效率高，適合產(chǎn)量化生產(chǎn)等優(yōu)點，已成為下一代32納米工藝的關(guān)鍵技術(shù)[1-3]．近年來，應用于納米壓印光刻技術(shù)的微納定位系統(tǒng)的研究已引起各國科學家的高度重視，美國德克薩斯大學[4]，韓國機械與材料研究院[5-6]、國內(nèi)華中科技大學[7]、西安交通大學[8]以及中國科學院[9]等科研院所均已在該領(lǐng)域開展了卓有成效的研究工作．

納米壓印定位系統(tǒng)分為被動調(diào)節(jié)和主動調(diào)節(jié) 2種類型[10]．現(xiàn)有的納米壓印定位系統(tǒng)大都屬于被動調(diào)節(jié)類型，即利用機構(gòu)本身的柔性來被動的適應模板和基片之間的不平行，范細秋[7]、嚴樂[8]等設計的定位系統(tǒng)中主動調(diào)整部分并沒有涉及柔性結(jié)構(gòu)而且也只有部分自由度實現(xiàn)了主動的調(diào)整，而完全意義上的主動調(diào)整型定位系統(tǒng)還較為鮮見，因此開展這方面的研究是十分必要的．

與傳統(tǒng)的伺服電機驅(qū)動和精密絲杠傳動相比，壓電元件體積小、剛度大、位移分辨率高、響應快．而柔性鉸鏈機構(gòu)結(jié)構(gòu)緊湊、無傳動空程、無摩擦，適于組成結(jié)構(gòu)簡潔的超高精度定位系統(tǒng)[11]．因此壓電陶瓷驅(qū)動的柔性并聯(lián)機構(gòu)以其分辨率高、運動靈活、動態(tài)特性良好等特點，廣泛應用于超精密加工和微納米操作等研究領(lǐng)域[12]．

基于此，筆者提出采用壓電陶瓷驅(qū)動的柔性并聯(lián)機構(gòu)實現(xiàn)納米壓印過程中的精密定位，給出了該新型精密定位工作臺的機械結(jié)構(gòu)設計，并根據(jù)其偽剛體模型開展了運動學分析，提出了一種修正系數(shù)矩陣方法，提高所建數(shù)學模型的準確性．并通過有限元方法驗證了該方法的有效性和所設計精密定位工作臺的性能．

1 精密定位工作臺的機構(gòu)設計

并聯(lián)機構(gòu)具有高剛度、高精度、低慣量、結(jié)構(gòu)緊湊、無誤差積累等優(yōu)點[13]，使其用作精密定位工作臺時具有突出的優(yōu)越性．由美國的 Tsai等[14]提出的改進 Delta機構(gòu)中僅含有轉(zhuǎn)動副，該轉(zhuǎn)動副僅提供繞單軸的轉(zhuǎn)動自由度．單自由度柔性鉸鏈同樣可以提供繞某固定軸的轉(zhuǎn)動自由度，因此用單自由度柔性鉸鏈代替?zhèn)鹘y(tǒng)改進 Delta機構(gòu)中的回轉(zhuǎn)副，并對并聯(lián)結(jié)構(gòu)的桿長進行調(diào)整，即可得到運動學性能與傳統(tǒng)機構(gòu)等效的柔性并聯(lián)精密定位系統(tǒng)．筆者以改進的 Delta機構(gòu)(見圖 1)為基礎(chǔ)，設計的一種新型納米壓印精密定位工作臺，如圖2所示．

圖1 改進的Delta機構(gòu)Fig.1 Modified Delta mechanism

圖2 精密定位工作臺Fig.2 Precision positioning stage

在多種截面形式的柔性鉸鏈中，圓形凹槽柔性鉸鏈的變形精度最佳[15]，因此該精密定位工作臺各關(guān)節(jié)位置采用單自由度圓形凹槽彈性鉸鏈．

原則上講，為了方便設計加工，各關(guān)節(jié)位置上的鉸鏈通常會盡量選用同一系列，但在此類柔性定位工作臺中，由于受整體構(gòu)型以及材料應力極限的限制，在壓印力作用下，主動臂上端的柔性鉸鏈與其他位置上鉸鏈相比，會首先達到應力極限，如圖 3所示．因此為保證機構(gòu)安全同時也為了提高機構(gòu)高度方向上的剛度，在不影響整體構(gòu)型的前提下將此處柔性鉸鏈的剛度適度的提高．

圖3 應力分布示意(單位：N)Fig.3 Distribution of stress(unit：N)

根據(jù)懸臂梁柔度公式可知，兩鉸鏈之間的連桿越長，其柔度也就越大，那么相對于柔性鉸鏈所表現(xiàn)的柔性而言，其對于柔性機構(gòu)整體剛度的影響則不能忽略．具體在本文所涉及的柔性工作臺中，如果連接主動臂兩端鉸鏈的連桿長度比較大，其表現(xiàn)出的柔性會令從動臂平行四邊形上的柔性鉸鏈不能形成有效的擺動，使得此處的柔性鉸鏈形同虛設，從而造成與原有剛性機構(gòu)運動學特性的不一致，引起運動學分析錯誤．針對這一點，在工作臺的設計中恰當?shù)姆峙溟L桿長度的同時將從動臂上的柔性鉸鏈剛度適當降低，使其在保證機構(gòu)整體剛度的同時又能形成明顯的擺動，如圖4所示．

圖4 從動臂變形示意Fig.4 Distortion of the passive arm

采用 3個壓電陶瓷驅(qū)動器推動主動臂來實現(xiàn)工作臺沿 x、y 和 z 軸的平動自由度．考慮到壓電陶瓷的脆性特性，在壓電陶瓷和驅(qū)動點之間增加球形接頭環(huán)節(jié)，以克服較大的彎矩作用在壓電陶瓷驅(qū)動器上，避免其承受彎矩和拉力，保證壓電陶瓷驅(qū)動器能夠正常工作．由于采用了球形接頭結(jié)構(gòu)，從而使得壓電陶瓷和驅(qū)動點的接觸形式為赫茲接觸．當壓電陶瓷快速運動過程中，赫茲接觸會使主動臂與壓電陶瓷器驅(qū)動器分離，進而降低運動精度．為了克服這一缺點，需要對壓電陶瓷施加一定的預緊力．通過調(diào)整壓電陶瓷驅(qū)動器和支持之間的調(diào)整墊片，并借助柔性機構(gòu)的彈性，即可實現(xiàn)對壓電陶瓷驅(qū)動器的預緊．

由于該工作臺采用柔性鉸鏈代替回轉(zhuǎn)副作為傳動機構(gòu)，因此，具有無機械摩擦、無間隙等特點．此外，由于該類工作臺鉸鏈處的位移以及工作臺的工作空間都很小，使得并聯(lián)機構(gòu)固有的一些缺點，如非線性、位置運動學正解復雜、各運動支鏈驅(qū)動器之間的耦合等都得到了一定的改善．

2 運動學分析

在運動學分析過程中，將柔性鉸鏈等效為傳統(tǒng)的轉(zhuǎn)動副，即不考慮柔性鉸鏈轉(zhuǎn)動過程中鉸鏈中心點偏移的影響，建立精密定位工作臺的偽剛體模型．同時，為了消除由于忽略柔性鉸鏈中心偏移而帶來的誤差，進而提高所建運動學模型的準確性，引入了基于最小二乘法的修正矩陣方法對所得到的雅克比矩陣進行修正．

2.1 偽剛體運動學模型

偽剛體模型法將柔性機構(gòu)等效為普通的剛性連桿機構(gòu)后，再利用傳統(tǒng)的剛性機構(gòu)分析方法進行建模分析，是一種有效的柔性機構(gòu)運動學分析方法．這種方法僅僅考慮柔性機構(gòu)中各柔性鉸鏈沿其運動方向上的剛度，而將其他方向上的柔性加以忽略．據(jù)此，在此類柔性定位工作臺的分析中首先假設機構(gòu)中只有柔性鉸鏈產(chǎn)生繞軸向的彎曲彈性變形，且變形在其彈性極限范圍之內(nèi)，而其他構(gòu)件及動平臺則認為是剛性的．這樣就可以將柔性鉸鏈之間的連桿等效簡化為剛性桿，將柔性鉸鏈等效為轉(zhuǎn)動副和線性扭簧，這樣建立三自由度精密定位工作臺機構(gòu)單個支鏈的偽剛體模型如圖5所示．

可以注意到，機構(gòu)中各部分桿件的相對轉(zhuǎn)動均繞著鉸鏈轉(zhuǎn)動軸線方向，因此建立如圖 5所示的坐標系，將基平臺的中心設為全局坐標系O-xyz 的坐標原點 O，y軸平行于基平臺平面法線方向并指向動平臺，x軸指向 OA1，z軸方向由右手坐標系確定．動平臺的中心為 P，基平臺和動平臺半徑分別為 r0和 r5，主動臂 AiBi(i=1，2，3)桿長為 r1，BiCi長度為 r2，從動平行四邊形機構(gòu)寬度為 2l，長度 CiDi為 r3，DiEi長度為 r4，αi為 OAi與全局坐標系 x軸的夾角，驅(qū)動臂的初始夾角為 γi，BiCi的初始夾角為βi，EiDi的初始夾角為?i．在各關(guān)節(jié)處建立局部坐標系，各坐標系的 z軸均與該處轉(zhuǎn)動鉸鏈的轉(zhuǎn)軸方向平行，各鉸鏈繞局部坐標系 z軸的相對轉(zhuǎn)動表示為 θk,k-1i(k＝1，…，7)．根據(jù)坐標變換建立上述各坐標系間的矩陣轉(zhuǎn)換關(guān)系為

圖5 單個支鏈偽剛體模型及坐標系設置Fig.5 Pseudo-rigid-body model and coordinate system of one kinematic chain

式中Ry(αi)為繞y軸轉(zhuǎn)動αi角的基本旋轉(zhuǎn)變換矩陣，其他類似，不再一一說明．

將動平臺中心點 P在全局坐標系 O-xyz中的位置矢量表示為 P=(xP，yP，zP)T，從圖 3所示單個支鏈各桿件之間的形位關(guān)系可以得到

式中：r10＝r0yR(αi)u1，r21=r1u1，r32＝r2u1，r43=－lu3，r54i＝－r3u2，r65i=lu1，r76i＝r4u1，rPi=r5u2，ui(i＝1，2，3)為沿 x、y、z坐標軸的單位方向矢量．

由于工作臺的工作空間及鉸鏈處的運動范圍很小，可將微小的相對偏轉(zhuǎn)角的三角函數(shù)作線性化處理，即 cos θk,k-1i≈1，sin θk,k-1i≈θk,k-1i．由圖 5 所示桿件BiCi、DiEi之間的形位關(guān)系，可以得到關(guān)系：θ21i=θ32i=θ65i=θ76i和 θ43i=θ54i，因此將式(2)簡化消元后，可建立輸出Δx、Δy、Δz與輸入 θ10i之間的線性關(guān)系為

其中：J為雅克比矩陣且

2.2 修正系數(shù)矩陣

在建立的機構(gòu)運動學理論方程中引入修正系數(shù)矩陣 S，旨在消除由于柔性鉸鏈中心偏移帶來的誤差，提高理論結(jié)果的準確性，該矩陣為

則式(3)可改寫為

式(4)所示的修正系數(shù)矩陣可以利用最小二乘法分析動平臺 P點的位置輸出理論計算結(jié)果及仿真結(jié)果兩者之間的偏差加以確定．這樣動平臺中心 P點分別沿全局坐標系 x、y、z軸 3個方向的位置誤差xi、yi和zi平方和就可以表示為

式中δ x、δ y、δ z為動平臺中心P點實際值．

利用最小二乘原理求解式(6)得

3 有限元仿真

利用有限元仿真軟件 ANSYS對精密定位工作臺進行有限元仿真分析來驗證其性能．為了提高有限元計算精度，動平臺、柔性鉸鏈、連桿、底座均采用掃掠技術(shù)進行映射網(wǎng)格劃分，在柔性鉸鏈和動平臺之間的圓環(huán)以及柔性鉸鏈與基平臺之間的連接處，采用自由網(wǎng)格劃分來保證各個實體上單元節(jié)點的對應．柔性鉸鏈有限元模型采用二次實體單元 Solid,95，定位工作臺的其他部分則采用了 8節(jié)點的三維實體單元Solid,45．柔性鉸鏈是精密定位工作臺產(chǎn)生運動變形過程中變形最大的部分，因此將柔性鉸鏈處的網(wǎng)格劃分加密以提高計算精度．根據(jù)實際情況，模型材料選用彈簧鋼65Mn，其彈性模量為210,GPa，泊松比0.27．結(jié)構(gòu)參數(shù)分別為：r0=25,mm，r1=39.24,mm，r2=11.2,mm，r3=53.87,mm，r4=12.08,mm，r5=25,mm，θpi=98°，γi=75.6°，βi=49.4°，?i＝ 142.1°，α1=0°，α2=120°，α3=240°．

有限元仿真分析時，約束方式對仿真結(jié)果影響很大，約束方式應盡可能與實際使用中的約束情況一致，精密定位工作臺在應用過程中把基座與機架固聯(lián)，因而在本文仿真時，也對其做上述一致的約束．另外為了保證仿真的有效性又不失一般性，仿真時驅(qū)動位移垂直于驅(qū)動面且隨時間遞增．仿真過程分為2個步驟：

(1)分別對支鏈1、2、3施加按遞增規(guī)律變化的位移載荷；

(2)對3個支鏈同時施加位移載荷，并且將3個支鏈上輸入的位移量依次分為按遞增規(guī)律變化的3段．

根據(jù)上述加載情況，進行有限元仿真分析，得到工作臺中心P點在不同驅(qū)動位移作用下，沿全局坐標系 3個坐標軸方向上的偏移量，與式(3)中的理論結(jié)果比較，得出各方向上的位置偏移量關(guān)系曲線．為了確定修正系數(shù)矩陣，提取仿真過程中各支鏈主動臂輸入偏轉(zhuǎn)角求解理論計算值Δx、Δy、Δz，同時記錄仿真過程中得到的動平臺中心P點沿3個坐標軸方向的仿真值δx、δy、δz，代入式(7)得修正系數(shù)矩陣 S=diag(0.408 0.518 0.407)．利用修正系數(shù)矩陣將理論結(jié)果修正后，再與采集的仿真結(jié)果作比較，得到修正后各方向上的位置偏移量關(guān)系曲線，將之與前面得到的理論結(jié)果及采集的仿真值作比較(圖 6～圖 9)．要說明的是，理論計算中得出的輸出量存在正負兩種結(jié)果，但考慮到實際情況，Δy取負值顯然是不合理的，所以將其忽略．另外為了便于觀察，這里在兩者符號一致的情況下均取其絕對值進行描述．

圖6 僅驅(qū)動支鏈1時不同方向上3種位移結(jié)果比較Fig.6 Comparison of three results of displacement in different directions driven by link 1

圖7 僅驅(qū)動支鏈2時不同方向上3種位移結(jié)果比較Fig.7 Comparison of three results of displacement in different directions driven by link 2

通過分析以上各圖，可以得到結(jié)果如下．

(1)精密定位工作臺中心P點的位置偏移量的理論計算結(jié)果與仿真結(jié)果誤差比較大，但分布均勻，利用修正系數(shù)將其修正后，各方向上誤差值均得到了有效降低．

(2)在保證機構(gòu)有效的條件下，根據(jù)圖6中所示，當僅驅(qū)動支鏈1時，沿x方向誤差約為59.5%，沿y方向誤差約為42.7%，沿z方向誤差約為59.2%；利用修正系數(shù)修正后，沿x方向誤差約為0.68%，沿y方向誤差約為－10.6%，沿z方向誤差約為－0.5%．

(3)根據(jù)圖7中所示，當僅驅(qū)動支鏈2時，沿x方向誤差約為57.7%，沿y方向誤差約為45.6%，沿z方向誤差約為 59.5%；利用修正系數(shù)修正后，沿 x方向誤差約為－3.5%，沿y方向誤差約為－4.93%，沿z方向誤差約為0.34%．

圖8 僅驅(qū)動支鏈3時不同方向上3種位移結(jié)果比較Fig.8 Comparison of three results of displacement indifferent directions driven by link 3

(4)根據(jù)圖8所示，當僅驅(qū)動支鏈3時，沿x方向誤差約為57.7%，沿y方向誤差約為45.6%，沿z方向誤差約為 59.5%；利用修正系數(shù)修正后，沿 x方向誤差約為－3.5%，沿y方向誤差約為－4.93%，沿z方向誤差約為0.34%．

(5)根據(jù)圖9所示，當3個支鏈同時驅(qū)動時，沿x方向誤差約為 59.3%，沿 y方向誤差約為 48.3%，沿 z方向誤差約為58.9%左右；利用修正系數(shù)修正后，沿x方向誤差約為 0.3%，沿 y方向誤差約為 0.21%，沿 z方向誤差約為－1.1%．

(6)造成較大誤差的原因除了 ANSYS中建模分網(wǎng)，方程簡化等方面的原因外，根據(jù)“偽剛體模型”概念對空間并聯(lián)柔性定位工作臺機構(gòu)建立理論模型時將長桿等效為剛性桿，忽略了其柔性特性對工作臺中心位置的影響．另外柔性鉸鏈具有多個方向上的柔度，但在進行偽剛體模型簡化時，只主要考慮其單方向的轉(zhuǎn)動柔度，而將其他方向上的柔度加以忽略，也是造成位置誤差的主要因素．

圖9 3個支鏈同時驅(qū)動時不同方向上3種位移結(jié)果比較Fig.9 Comparison of three results of displacement in different directions driven by three links

4 結(jié) 語

筆者設計了一種可用于納米壓印工藝的柔性精密定位工作臺，利用3個壓電陶瓷驅(qū)動器實現(xiàn)工作臺沿x、y、z軸3個平動自由度的主動調(diào)整．建立其偽剛體模型進行運動學分析，依據(jù)柔性機構(gòu)特有的性能，將三角函數(shù)線性化以簡化求解過程，得到了工作臺輸入轉(zhuǎn)角與輸出位移之間的線性表達式．為提高所建數(shù)學模型的準確度，引入修正系數(shù)矩陣對理論位移輸出結(jié)果進行修正，有效的消除機構(gòu)中長桿柔性及運動過程中柔性鉸鏈中心偏移對工作臺位移輸出的影響，降低了位置誤差．最后利用有限元分析工具對所設計的精密定位工作臺進行仿真，驗證了所建運動學模型的正確性．

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