緱葵香，宮秀軍，湯 莉

(1. 天津大學理學院，天津 300072；2. 天津大學計算機科學與技術學院，天津 300072)

時間序列(time series)微陣列數(shù)據(jù)，可以反映一組基因在生命活動周期的時間序列條件下的表達水平的變化，其表達水平變化的時間延遲關系可反映基因調控關系，因而近年來被廣泛地用于基因之間轉錄調控關系尋找和基因調控網(wǎng)絡的構建．構建和分析基因調控網(wǎng)絡，從分子水平認識細胞內的生理活動和功能，了解通路中的相互作用，以及如何使生物體產生變化．基于微陣列數(shù)據(jù)構建基因調控網(wǎng)絡，逐漸成為生物信息學的研究熱點．

很多數(shù)學模型如布爾網(wǎng)絡模型、微分方程模型、靜態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡模型和動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡模型[1]等被提出用于構建基因調控網(wǎng)絡．相對來講，布爾網(wǎng)絡模型是一種簡單的離散模型，對系統(tǒng)的模擬是定性的、較為粗糙的．微分方程所給出的模型是確定性的、連續(xù)的，然而由于細胞中的分子受到熱力學波動和噪聲過程的支配，基因表達是一個隨機過程，微分方程模型不能很好地描述基因表達的隨機性．靜態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡是一個有向無環(huán)的概率圖形，它用概率來表示調控關系，更符合生物學實際．靜態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡模型可以成功地從非時序數(shù)據(jù)中推斷出隨機變量之間的因果關系，但是不能對動態(tài)時間數(shù)據(jù)進行建模，因而不能成功地從時間序列的微陣列數(shù)據(jù)中構建基因調控網(wǎng)絡．動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(dynamic Bayesian network，DBN)是在靜態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡的基礎上，引入了時間維而形成的動態(tài)網(wǎng)絡，動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡能夠學習隨機變量間的概率依存關系及其隨時間變化的規(guī)律，并以圖的方式直觀地反映這種關系，由于微陣列數(shù)據(jù)的時間特性，動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡可以更精確地描述基因調控網(wǎng)絡，所以基于動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡從時間序列微陣列數(shù)據(jù)中構建基因調控網(wǎng)絡成為當前的一個研究熱點．目前，已有許多基于動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡構建基因調控網(wǎng)絡的相關算法[2-5]，但這些算法都需要將連續(xù)的基因表達數(shù)據(jù)離散化，沒有充分利用數(shù)據(jù)所包含的信息．

筆者提出了一個基于動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡構建基因調控網(wǎng)絡的算法，該算法基于時序互信息來學習動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡，在計算基因間的時序互信息時，該算法考慮了時間序列微陣列數(shù)據(jù)的時間特性，并利用協(xié)方差矩陣計算互信息，沒有將基因表達數(shù)據(jù)離散化，與基因表達數(shù)據(jù)的連續(xù)性相符合，減少了信息的損失．

1 動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡及相關研究

1.1 動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡

動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡是貝葉斯網(wǎng)絡的擴展，它包含隨時間變化的隱含的狀態(tài)，使隱含的隨機進程的熵的比率最大化，它是有向有環(huán)圖．設一個時間序列X ∈ Rs×n，s為時間點的數(shù)目，n為基因的數(shù)目．(t)表示基因i關于時間t的表達水平的變量，在時刻t，n個基因表達水平的向量為 X (t) = (X1(t) , … ,Xn(t ))T，基因 i在 s個時間點上表達水平的向量為 Xi=(Xi(1),… , Xi(s ))T．

動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡假定：①網(wǎng)絡中的有向弧隨著時間的變化而展開，即假定動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡是一階馬爾科夫的，基因 i在 t時刻的表達水平只依賴于它的父節(jié)點在t-1時刻的表達水平，而與 t-1時刻前的表達狀態(tài)完全獨立；②基因之間的動態(tài)因果關系在所有的時間點上都沒有變化，即隨機變量的集合以及相應的概率轉移函數(shù)，對每個時間點來說都是相同的．根據(jù)以上假設，網(wǎng)絡的條件概率分布可表示為

式中 P ai(t ? 1 )為基因 Xi(t)的父節(jié)點．一個典型的動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡如圖1所示．

圖1 一個簡單的動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡Fig.1 A simple dynamic Bayesian network

從數(shù)據(jù)中學習動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡分為結構學習和參數(shù)學習兩個過程．給定一個時間序列的數(shù)據(jù)集D = ( X ( 1),… ,X (n))，從 D中學習動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡結構就是找到一個與 D最佳匹配的結構 G = ( V,E)，其中V = { X1,… ,Xn}為頂點的集合，Xi表示基因 i，E = { (Xi(t ? 1 ),Xj(t) ) |Xi(t ? 1 ) → Xj(t)}為 一 組 有 向 弧的集合，Xi(t ? 1 ) → Xj(t )表示 t-1時刻的基因 i對 t時刻的基因 j有調控關系，即基因 i在 t-1時刻的表達水平影響了基因j在t時刻的表達水平．研究人員對用動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡從時間序列基因數(shù)據(jù)中構建基因調控網(wǎng)絡的模型做了大量的研究工作．

1.2 相關研究

Wu等[2]討論了利用 BDE(Bayesian dirichlet equivalence)打分函數(shù)來構建動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡的貪婪的爬山搜索算法．給定一個時間序列的數(shù)據(jù)集D = ( X ( 1),… ,X (n))，從 D中構建動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡就是發(fā)現(xiàn)一個與D最匹配的模型 M =(G,Θ)，G是網(wǎng)絡結構，Θ是條件概的集合．BDE打分函數(shù)的方法對父節(jié)點的數(shù)目比較敏感，容易陷入局部最優(yōu)，計算復雜性指數(shù)級 O (μ2N)，N為網(wǎng)絡中節(jié)點的數(shù)目，μ為指定的父節(jié)點的上界．計算復雜度高，而且這種方法需要將基因表達數(shù)據(jù)離散化．

Wu等[2]還討論了利用 MCMC(Markov chain Monte Carlo)方法構建動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡的 MH(metropolis hastings)算法．如果一個過程的“將來”僅依賴“現(xiàn)在”而不依賴“過去”，則此過程具有馬爾可夫性，或稱此過程為馬爾可夫過程，X(t)=f(X(t-1))．時間和狀態(tài)都離散的馬爾科夫過程稱為馬爾科夫鏈．設 S是一個可數(shù)集，{ X (t),t = 1 ,2,… ,s } 是一組隨機變量的集合，如果滿足 P (X (t)| X (t ? 1),… ,X (1))=P(X(t) |X (t ? 1 ))，則稱{ X (t),t = 1 ,2,… ,s }為一個馬爾科夫鏈．對于一個馬爾科夫鏈，如果 P (X(t)|X(t ?1))與 t的取值無關，則稱這個馬爾科夫鏈為齊氏馬爾科夫鏈．動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡的轉移網(wǎng)絡就是一個齊氏的馬爾科夫鏈．

這種方法也需要將基因表達數(shù)據(jù)離散化，運算時間復雜度高，即使在數(shù)據(jù)充分的情況下，學習的結果也不是很理想．

Zhu等[3]根據(jù)生物學的細胞活化信號路徑等先驗知識，在基于貝葉斯網(wǎng)絡構建基因調控網(wǎng)絡時，縮小了搜索空間，降低了時間復雜度，擴大了構建基因調控網(wǎng)絡的規(guī)模

Wang等[4]針對趨勢相關(兩基因在其表達水平隨時間上升與下降的變化趨勢上相關)關系在重建基因調控網(wǎng)絡中十分重要卻尚未被挖掘利用的問題，提出了幾何模式動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(Gp-DBN)方法．Gp-DBN將每個基因的表達數(shù)據(jù)轉換為一個幾何模式，依據(jù)幾何模式確定潛在的調控子和調控時滯，并通過推理這些幾何模式之間的相關關系來發(fā)現(xiàn)基因間的調控關系．該方法解決了挖掘具有趨勢相關的基因調控關系的問題，能夠很大程度地提高重建的基因調控網(wǎng)絡的性能．

Liu等[5]指出在基因調控網(wǎng)絡中不僅單個蛋白質對基因具有調控作用，而且一些蛋白質的組合對基因也具有調控作用，Liu把這些蛋白質的組合看作基因調控網(wǎng)絡中的隱藏變量．Liu提出了一個Semi-fixed模式將基因調控網(wǎng)絡表示為具有隱藏變量的貝葉斯網(wǎng)絡，并用EM算法構造Semi-fixed模式的基因調控網(wǎng)絡．

Dojer等[6]提出一種從基因擾動實驗的數(shù)據(jù)中構建動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡的算法．在構建動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡前，作者先用 Husmeier離散化方法對基因表達數(shù)據(jù)做了預處理，在構建貝葉斯網(wǎng)絡時，作者使用 BDE打分函數(shù)，并用從擾動實驗的數(shù)據(jù)集中獨立計算每個節(jié)點(基因)的父節(jié)點集的方法代替啟發(fā)式搜索的方法，減少了學習時間，減少了啟發(fā)式搜索的方法帶來的時間復雜性．

以上的基于動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡構建基因調控網(wǎng)絡的算法均需對基因表達數(shù)據(jù)離散化，而時序的微陣列數(shù)據(jù)是連續(xù)的，從而不能充分利用數(shù)據(jù)信息．這里筆者提出了TSMI-GRN(time series mutual informationgene regulation network)算法，該算法基于時序互信息構建基因調控網(wǎng)絡，所構建的網(wǎng)絡為動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡，TSMI-GRN算法不需要對基因表達數(shù)據(jù)離散化，減少了數(shù)據(jù)信息的損失．

2 TSMI-GRN算法

2.1 時序互信息

設D為一個時間序列基因表達數(shù)據(jù)集，包含n個基因{1,2,…,n}，s個時間點，Xi(t)表示基因 i關于時間 t的表達水平的變量，這里要在 D上用 TSMIGRN算法構建這 n個基因的調控網(wǎng)絡．設為一多維平穩(wěn)時間序列 ．

要在數(shù)據(jù) D上構建動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡 G = ( V,E)，V = { 1,2,… ,n }，為 n個基因的集合，E= {(Xi(t ?1),Xj(t) ) |Xi(t ? 1) → Xj(t),i = 1,… ,n, j = 1,… ,n}．在 構 建網(wǎng)絡時，需要研究 Xi(t ? 1 )與 Xj(t)之間是否存在關系，即考慮t-1時刻基因i的表達水平對t時刻基因j的表達水平的影響，根據(jù)動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡的假設，t時刻的狀態(tài)只與 t-1時刻的狀態(tài)有關，這里考慮在 t-1時刻除去i與j兩個基因外所有基因的表達水平的條件下，來研究 Xj(t)和 Xi(t ? 1 )之間的條件獨立性，這里給出t時刻基因j與t-1時刻基因i的時序互信息的定義．

定義1 設 Yij( t ? 1)= { Xk(t ? 1 ),k ≠ i ,j} ，Xj(t)和Xi(t ? 1 )在 Yij(t ? 1 )條件下的條件互信息為

對于給定的閾值ε＞0，如果I(Xj( t),Xi(t?1)|Yij(t ?1))＜ε，稱基因j與i相互獨立，否則稱j與i是相關的．

在式(2)中，令

則式(2)可簡化為

這里假定隨機變量 X1,… ,Xn的聯(lián)合分布是n維高斯分布，線性熵 Hl( X1, X2,… ,Xn)和熵H(X1,X2,… ,Xn)在理論上是等價的．線性熵

式中：Σ為 n維隨機變量 ( X1, X2,… ,Xn)的協(xié)方差矩陣．

用 Σ、Σi、 Σj和 Σij分 別 表 示 前 面 所 構 造 變 量Z(t) 、 Zi(t) 、 Zj(t) 和 Zij(t)的協(xié)方差矩陣，根據(jù)式(3)和式(4)，給定 Yij(t ? 1 )的條件下，Xj(t)和 Xi(t ? 1 )之間的條件互信息為

2.2 TSMI-GRN算法

定義 2定義了基于時間序列互信息所構建的網(wǎng)絡結構．

定義2 設X(t) = { X (t) , X (t) , … ,X (t) }T(t ∈Z)

1 2n為一多維平穩(wěn)時間序列，圖 G = ( V,E)，對應的頂點集V ={1,2,… ,n}，對 于 給 定 ε＞0，如 果 Il(Xj(t),Xi(t ? 1 )|Yij(t ? 1 ))＞ ε ，則(Xi(t ? 1 ) → Xj(t) ) ∈ E ，如 果Il(Xj( t),Xi( t ? 1 )|Yij(t ? 1 ))＜ ε ，則(Xi(t ? 1 ) → Xj(t ))?E．

根據(jù)時序互信息和圖結構的定義，提出了基于TSML-GRN算法從單個基因表達數(shù)據(jù)集中構建基因調控網(wǎng)絡．TSML-GRN算法描述如下．

步驟 1 對于每個基因 j，計算 Il(Xj( t),Xj(t ?1)|Yj(t ? 1 ), j = 1 ,… ,n ).如果Il(Xj( t),Xj( t ? 1 )|Yj(t ? 1))＞ε，則(Xj(t ? 1 ) → Xj(t) ) ∈ E ，表明t-1時刻的基因j的表達水平對t時刻的基因j的表達水平具有調控作用．

步驟2 對于給定的基因i和j，i≠j，計算Il(Xj( t),Xi( t ? 1 )|Yij(t ? 1 ))，其中 j = 1 ,2,…, n ,i = 1,2,… ,n.如 果 Il(Xj( t),Xi( t? 1 )|Yij(t? 1))＞ ε ,則(Xi(t? 1 )→ Xj(t ))∈E，表明 t-1時刻基因 i的表達水平對 t時刻基因 j的表達水平具有調控作用．計算 Il(Xi( t),Xj(t ?1)|Yij(t ? 1 ))，如 果 Il(Xi( t),Xj(t ? 1 )|Yij(t ?1))＞ε ，則(Xj(t ? 1 ) → Xi(t) ) ∈ E ，表明t-1時刻基因j的表達水平對t時刻基因i的表達水平具有調控作用．

步驟3 根據(jù)步驟1與步驟2，構建了一個初始的動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡結構 G = ( V,E)，由于基因調控網(wǎng)絡具有稀疏性[7]，再利用一個打分函數(shù)對網(wǎng)絡結構G進行優(yōu)化．設定每個節(jié)點的父節(jié)點的上界μ=3，對于G中父節(jié)點數(shù)目大于3的節(jié)點，選取所有小于等于3的父節(jié)點的非空子集，選取使打分函數(shù)I(X , subsetpa(X ) /max{ H (X ) ,H(subsetpa(X ) )}[8]為最大分數(shù)的子集作為該節(jié)點父節(jié)點集，得到最終的網(wǎng)絡結構．

在上述的TSML-GRN算法中，步驟1計算的是t-1時刻基因j與t時刻基因j的網(wǎng)絡關系，步驟2計算的是t-1時刻基因i與t時刻基因j，以及t-1時刻基因 j與 t時刻基因 i的網(wǎng)絡關系．經過步驟1和步驟2的計算，基于時序互信息構建了一個初始的基因調控網(wǎng)絡，但這個網(wǎng)絡中每個節(jié)點的父節(jié)點的數(shù)目較大，而基因調控網(wǎng)絡具有稀疏性，所以步驟3引入了一個打分函數(shù)來優(yōu)化步驟1與步驟 2構建的初始網(wǎng)絡結構，得到最終的網(wǎng)絡結構．下面在真實的基因表達數(shù)據(jù)集上測試 TSMI-GRN算法，根據(jù)實驗結果，對算法的有效性進行分析．

3 實驗分析

在酵母菌周期細胞微陣列數(shù)據(jù)集 Cdc15上測試TSML-GRN算法，該數(shù)據(jù)集從斯坦福微陣列數(shù)據(jù)庫(http：//smd/stanford.edu/)中獲得．這里選擇了數(shù)據(jù)集Cdc15分別包含 14個基因和 25個基因的兩個子集進行測試．測試結果與基因組數(shù)據(jù)庫 KEGG中描述的通過實驗得到的酵母菌周期細胞中一些基因的調控網(wǎng)絡(http：//www.genome.jp/dbget-bin/show_ pathway?dce04111)相比較，來分析實驗結果．在 TSMIGRN算法中，假定了基因表達數(shù)據(jù)滿足正態(tài)分布．利用 SAS軟件中的 Kolmogorov-Smirnov方法對實驗數(shù)據(jù)進行了是否為高斯分布的檢驗，檢驗結果表明基因表達水平數(shù)據(jù)大致服從對數(shù)正態(tài)分布，證明這一假設是合理的．在實驗中，分別選取了不同的閾值ε為0.2、0.3、0.5、0.6、0.8 和 1.0 對 TSMI-GRN 進行了測試．將測試結果與 KEGG數(shù)據(jù)庫中已有的結果進行比較，發(fā)現(xiàn)0.5ε=時的實驗結果與KEGG數(shù)據(jù)庫中的結果最接近．圖 2比較了選取不同閾值時網(wǎng)絡的準確度．

圖2 不同閾值下構建網(wǎng)絡的準確度Fig.2 Accuracy of the constructed network with different thresholds

在基因調控網(wǎng)絡的結構學習過程中，為了定量評價網(wǎng)絡構建的準確性，使用靈敏度(sensitivity)和特異度(specificity)作為評價指標．為此，需要首先計算以下4個值．

(1)真陽性TP(true positive)：構建的網(wǎng)絡中正確的邊數(shù)．

(2)真陰性 TN(true negative)：構建的網(wǎng)絡中正確的不存在的邊數(shù)．

(3)假陽性 FP(false positive)：構建的網(wǎng)絡中錯誤的邊數(shù)．

(4)假陰性 FN(false negative)：構建的網(wǎng)絡中錯誤的不存在的邊數(shù)．

由此，可以定義靈敏度和特異度的計算式為

顯然，靈敏度和特異度的值越高，網(wǎng)絡的構建結果就越好．

圖 3為在含有 14個基因、24個時間點的微陣列數(shù)據(jù)集上用 TSML-GRN算法構建的基因調控網(wǎng)絡．與KEGG數(shù)據(jù)庫中的網(wǎng)絡相比，本文構造的網(wǎng)絡中有11條正確的邊，4條添加的邊．

圖3 TSMI-GRN算法構建的14個基因調控網(wǎng)絡Fig.3 Regulation network containing fourteen genes constructed with TSMI-GRN algorithm

本文還在上述數(shù)據(jù)集上測試了 MH算法[2]和BDE打分爬山搜索算法[2]，表1比較了3種算法構建的基因調控網(wǎng)絡的靈敏度與特異度．

表1 靈敏度與特異度Tab.1 Sensitivity and specificity %

根據(jù)表 1，可以看出基于時序數(shù)據(jù)的互信息算法的靈敏度高于其他兩種算法，說明 TSMI-GRN 算法能夠更準確地構建基因調控網(wǎng)絡．

圖4為在酵母菌周期細胞的實驗數(shù)據(jù)上，測試TSMI-GRN算法構建的基因調控網(wǎng)絡．選取的實驗數(shù)據(jù)集含有 25個基因、24個時間點．運用 TSMI-GRN算法在該數(shù)據(jù)集上構建的基因調控網(wǎng)絡，與數(shù)據(jù)庫KEGG中的網(wǎng)絡相比，其中有14條正確的邊，6條方向相反的邊，8條添加的邊．在8條添加的邊中，發(fā)現(xiàn)Cdc28與 Cdc20之間的調控關系在文獻[9]實驗中被發(fā)現(xiàn)，Chk1與 Rad9之間的調控關系在文獻[10]實驗中被發(fā)現(xiàn)，對于學習到的其他反向邊與添加的邊，對生物學實驗具有一定的指導作用．以上的實驗結果表明，TSMI-GRN算法是有效的．

圖4 TSMI-GRN算法構建的包含25個基因的調控網(wǎng)絡Fig.4 Regulation network containing twenty five genes constructed with TSMI-GRN algorithm

4 結 語

綜合前面的實驗結果與分析可見，TSMI-GRN算法可以從時間序列微陣列數(shù)據(jù)中更準確地構建基因調控網(wǎng)絡．該算法的優(yōu)點為：①不需要將基因表達數(shù)據(jù)離散化，與基因表達數(shù)據(jù)的連續(xù)性相符合，因而可以更準確地構建基因調控網(wǎng)絡；②在計算兩個基因的互信息時，使用時序數(shù)據(jù)的互信息，與傳統(tǒng)的互信息比較，增加了時間的特性，與時間序列的數(shù)據(jù)更吻合；③TSMI-GRN算法利用協(xié)方差矩陣計算兩個基因間時序互信息，并且考慮了其他所有基因對這兩個基因間互信息的影響；④實驗結果證明，時序互信息算法的靈敏度高于MH算法以及BDE打分爬山搜索算法的靈敏度；⑤TSMI-GRN算法發(fā)現(xiàn)了 Cdc28與Cdc20、Chk1與Rad9之間的調控關系，這在一些生物學實驗中得到了驗證．因而 TSMI-GRN算法是一種有效的算法，在構建基因調控網(wǎng)絡中發(fā)揮積極作用．

經過實驗驗證，TSMI-GRN算法是一種有效的算法，但 TSMI-GRN算法有一定的局限性，它假定微陣列數(shù)據(jù)集服從高斯分布，計算兩個基因間的互信息時用線性熵來近似代替信息熵．

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