張 彬，毛陸虹，謝 生，張世林，郭維廉，陳 燕，于 欣

(天津大學(xué)電子信息工程學(xué)院，天津 300072)

當前半導(dǎo)體環(huán)形激光器作為單片光子集成的應(yīng)用越來越受到人們的重視，特別是在全光轉(zhuǎn)換和光學(xué)雙穩(wěn)態(tài)的研究方面[1-2]．電學(xué)雙穩(wěn)態(tài)在實驗上已得到證實[3]，國內(nèi)外眾多學(xué)者就激光器的雙模式動力學(xué)問題進行了大量的實驗和理論研究[4-5]．

在半導(dǎo)體環(huán)形激光器中，兩個相互反向傳輸?shù)墓獠ㄍㄟ^兩種機制相互作用，即光學(xué)增益飽和和背散射．前者在文獻[5-6]中進行了討論，指出這種機制可以實現(xiàn)光學(xué)模式鎖定．背散射效應(yīng)在文獻[3]中作為一種重要的機制被引入雙穩(wěn)態(tài)動力學(xué)體系中，但作者只求解了幾種特殊情況的解，沒有從非線性動力學(xué)角度進行整體細致的分析，特別是對突變點出現(xiàn)的原因和性質(zhì)、極限環(huán)形態(tài)等特性沒有進行仔細的理論分析．搞清楚背散射效應(yīng)參數(shù)對系統(tǒng)性能的影響無論從理論角度還是從實驗角度都是非常有意義的．

筆者利用了非線性分岔這一現(xiàn)代數(shù)學(xué)方法對半導(dǎo)體環(huán)形激光器進行分析和計算，在分析過程中沒有進行任何的數(shù)學(xué)簡化，研究了環(huán)形激光器中泵浦參數(shù)所引發(fā)的霍普夫分岔現(xiàn)象．

1 雙模式非線性模型

設(shè)器件工作在單模條件下，半導(dǎo)體環(huán)形激光器的動力學(xué)可以通過下面的一系列微分方程組進行描述．

式中1,2E 是相互反向傳輸?shù)?2個模式的復(fù)振幅[3]．方程中的相關(guān)參數(shù)進行了無量綱化處理，各相關(guān)物理量數(shù)值和意義[5]見表1．

其中n為本文主要討論的分岔參數(shù)泵浦因子，它是載流子密度的歸一化表示．式(2)中和光學(xué)增益飽和效應(yīng)相關(guān)的參數(shù)是歸一化自飽和系數(shù) s和交叉飽和系數(shù) c；與背散射效應(yīng)相關(guān)的參數(shù)是 K，K為一個復(fù)數(shù)．為了簡化可以將1iα+進一步吸收到1,2E中，忽略其線性部分并用1/c進行歸一化處理．對1,2E 微分，取其振幅和相位部分可以將復(fù)數(shù)微分方程組轉(zhuǎn)化為實數(shù)形式，即

表1 相關(guān)物理參數(shù)的含義和數(shù)值Tab.1 Meanings and values of related physical parameters

式中 U＝U1-U2，U1和 U2分別表示 E1和 E2的相角．如果把泵浦參數(shù) n看作分岔參數(shù)，環(huán)形激光器的雙模競爭問題將轉(zhuǎn)化為一個非線性分岔的問題．

令式(3)左端為零．注意到系統(tǒng)具有平衡點滿足方程

可知式(3)組成的非線性系統(tǒng)(以下簡稱系統(tǒng))具有平衡點(E1，E2，μ)＝(E*，E*，μ)，進行坐標平移，即

對式(3)進行泰勒級數(shù)展開，得到其一階線性部分，即 Jacobian矩陣為

該系統(tǒng)具有3個本征值：

當滿足式(8)的條件時，2,3λ的實部為零，系統(tǒng)具有2個純虛數(shù)的根，將會發(fā)生霍普夫分岔．

下面將使用非線性數(shù)值方法對霍普夫分岔引發(fā)的復(fù)雜非線性動力學(xué)進行進一步的分析．

2 非線性數(shù)值分析

為了找到這一微分方程系統(tǒng)的解，使用了現(xiàn)代非線性分岔算法．選擇背散射參數(shù)為||1K=、0.1?=進行計算．非線性分岔算法的主要步驟是求解系統(tǒng)平衡點曲線，在平衡點曲線上檢測奇異點，如果檢測到的奇異點將引發(fā)極限環(huán)則從此極限環(huán)點出發(fā)計算極限環(huán)曲面．非線性分岔算法從幾何拓撲角度整體地研究非線性系統(tǒng)，并可視化地展現(xiàn)此系統(tǒng)的拓撲骨架，找到系統(tǒng)發(fā)生質(zhì)變的關(guān)鍵點．

首先是找到系統(tǒng)的平衡點，主要采用牛頓連續(xù)性算法，這一算法的主要步驟由下一迭代點的預(yù)測、修正和步長控制組成，詳細的算法步驟見文獻[6]．系統(tǒng)的平衡點曲線如圖 1所示，點 H為系統(tǒng)的霍普夫分岔點，選擇背散射參數(shù)為||1K=、0.1?=．

算法的下一步驟是在平衡曲線上檢測奇異點，這里主要指霍普夫分岔點的檢測，即計算平衡曲線上每個點的本征值，找到其中本征值為虛數(shù)的點，圖 1中的 H點即表示系統(tǒng)的霍普夫點，在這一點處將發(fā)生極限環(huán)振蕩現(xiàn)象．

根據(jù)現(xiàn)代非線性理論，從霍普夫分岔點開始將引發(fā)一系列的極限環(huán)，因為分岔參數(shù)的變化形成特定的曲面．如果系統(tǒng)初始狀態(tài)處于極限環(huán)附近，經(jīng)過無限長的時間，系統(tǒng)的運動將無限趨近于此極限環(huán)運動，從而引發(fā)系統(tǒng)的周期性振蕩．對于系統(tǒng)y＝f(x)，極限環(huán)是具有特定周期 T的孤立軌線．在此軌線上滿足x(0)＝x(T)，由于 T未知，可以定義處于[1 0]的等效系統(tǒng)，從而列出極限環(huán)上滿足的方程為

其中 xold是在上一迭代步驟計算得到的解．如果把時間間隔分成 N等份，使用差分代替導(dǎo)數(shù)，則式(9)可以轉(zhuǎn)化成

其中 u(j)(j＝1,…,N) 代表每一個極限環(huán)上離散點的解．使用這一迭代步驟可以計算得到系統(tǒng)的極限環(huán)曲面，如圖 2所示，選擇背散射參數(shù)，則為K=1、? =0.1．

通過圖 3所示的龐加萊截面可以更清楚地觀察到系統(tǒng)的振蕩運動．龐加萊截面是截取微分流形的特定截面形成的相平面．圖 3是截取不同的泵浦參數(shù) n形成的 E1-E2和 E1-U的二維相平面圖．圖中可以觀察到 E1-E2極限環(huán)呈現(xiàn)蝴蝶結(jié)形態(tài)，因而 E1-E2將形成交替蕩振運動．從霍普夫分岔點開始的極限環(huán)將隨著泵浦參數(shù)的增加，逐漸遠離原點，其吸引范圍將逐漸增加．有趣的是，在泵浦參數(shù)增加到一個特定的數(shù)值，極限環(huán)將趨于某一特定的極限環(huán)．超過這一閾值，極限環(huán)消失，系統(tǒng)重新恢復(fù)為文獻[5-6]描述的具有2個穩(wěn)定的極限點的鎖定狀態(tài)，在分岔理論中稱這一閾值為極限環(huán)的極限點．從微分幾何角度，可以清楚地看到系統(tǒng)發(fā)生質(zhì)變的2個點分別對應(yīng)于霍普夫分岔點和極限環(huán)的極限點．從物理角度看，在霍普夫分岔點處背散射效應(yīng)將導(dǎo)致系統(tǒng)的振蕩運動，在極限環(huán)的極限點處光學(xué)非線性增益飽和效應(yīng)將迫使系統(tǒng)進入光學(xué)模式鎖定狀態(tài)．這2個突變點將相空間清楚地分為3個部分，分別對應(yīng)于文獻[3]指出的3個區(qū)域：雙向連續(xù)波區(qū)(bi-CW)、交替振蕩區(qū)(bi-AO)和無向鎖定區(qū)(UNI)．

圖2 系統(tǒng)的極限環(huán)曲面Fig.2 Limit cycle surface of system

圖3 極限環(huán)曲面的龐加萊截面Fig.3 Poincare section of limit cycle surface

系統(tǒng)在不同的泵浦參數(shù)時的非線性運動表示見圖4，其中圖4(a)和(b)表示系統(tǒng)處于交替振蕩區(qū)，極限環(huán)已經(jīng)出現(xiàn)，2個反向傳輸模式的振幅和相位波呈現(xiàn)交替振蕩的特性，三者之間存在相位差π/2，這與文獻[3]的描述相一致．圖4(a)為剛剛起振的情況，圖4(b)為經(jīng)過一定時間的穩(wěn)定狀態(tài)，這說明在相平面中的任何起始條件下，系統(tǒng)都將趨近于極限環(huán)進行振蕩．圖4(c)表示系統(tǒng)處于雙向連續(xù)波區(qū)(bi-CW)，即發(fā)生霍普夫分岔之前的運動狀態(tài)．2個模式的波將逐漸趨于一個相同的穩(wěn)定狀態(tài)，同時相位也趨于0，在這一狀態(tài)下，兩模式的相位差鎖定為0，此環(huán)形諧振器可以用作光陀螺儀器的應(yīng)用，用來檢測旋轉(zhuǎn)的角速度[7-8]．圖 4(d)表示在無向鎖定區(qū)(UNI)系統(tǒng)的運動狀態(tài)．可以觀察到在這一區(qū)域出現(xiàn)了光學(xué)模式鎖定現(xiàn)象，這在文獻[5]中有詳細的描述，即系統(tǒng)的其中一個模式消失，而另一個模式達到高強度．具體哪一個模式獲得增強、哪一個模式消失則取決于系統(tǒng)的起始狀態(tài)．另一個重要的結(jié)果是鎖定后兩模式的相位差變?yōu)棣?2?這一穩(wěn)定值，研究光陀螺儀器的眾多理論文獻就這一相位差跳變現(xiàn)象進行了理論研究．從分岔角度，可以歸結(jié)為極限環(huán)的極限點突變．這一重要的突變發(fā)生前的系統(tǒng)狀態(tài)表示為圖 4(e)和(f)．可見在通過這一突變點時，系統(tǒng)逐漸從近似正弦波(見圖4(b))形態(tài)，經(jīng)過三角波狀態(tài)(見圖 4(e))，最終演變?yōu)榉讲顟B(tài)(見圖 4(f))．這與文獻[3]中的實驗結(jié)果相一致．

圖4 系統(tǒng)在不同泵浦參數(shù)n下隨時間變化的非線性運動Fig.4 Nonlinear movements of the system with time with various pump parameters

前面指明背散射效應(yīng)和光學(xué)增益飽和效應(yīng)的相互競爭導(dǎo)致了上述復(fù)雜的非線性運動．其中背散射效應(yīng)是由于波導(dǎo)輸出耦合部分和散射中心等不完美性的統(tǒng)計性結(jié)果．從性質(zhì)上分成守恒的背散射和耗散的背散射 ，兩者的作用是不同的．守恒的背散射項的相位為π/2，耗散的背散射項的相位為0．

一般地說，正反饋將導(dǎo)致系統(tǒng)雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象(滯后的轉(zhuǎn)換)而負反饋將導(dǎo)致振蕩現(xiàn)象．環(huán)形諧振器系統(tǒng)中，正反饋是由增益飽和效應(yīng)引發(fā)的，文獻[11]就這一過程進行了描述，即系統(tǒng)將最終處于某一模式的鎖定態(tài)．外部光注入可以加速這一鎖定過程，也是通過這一鎖定過程實現(xiàn)的[6]．具體的正反饋回路可以這樣進行說明：如果其中一個模式 E1的光得到增強，式(1)中的交叉耦合項將導(dǎo)致另一模式 E2的減少，而模式E2的減少也會通過交叉耦合使E1獲得增強．所以將產(chǎn)生雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象．

負反饋情形下的守恒的背散射和耗散的背散射所起到的作用是不同的，可以用圖5中所示復(fù)平面下的復(fù)數(shù)矢量來表示．其中E1和 E2為兩模式矢量，Ec1和Ec2分別表示兩模式的守恒背散射項影響，它以導(dǎo)數(shù)項的形式減少相反模式的振幅的變化速率；Ed1和Ed2分別表示兩模式的耗散背散射項的影響，它以導(dǎo)數(shù)項的形式減少相反模式的相角的變化速率．

耗散的背散射提供了振幅的負反饋，即模式|E1|增加會通過Ed1導(dǎo)致|E2|的減少，另一方面|E2|的減少又會通過Ed2使得|E1|進一步減少．它和增益飽和機制的競爭將使得2個模式的振幅穩(wěn)定在一定的數(shù)值上．

守恒的背散射則提供了相角的負反饋，通過這一機制一個模式的增強將增加或減小另一個模式的旋轉(zhuǎn)速度，最終的結(jié)果是使得兩者以相同的速率旋轉(zhuǎn)．這一效應(yīng)是雙向連續(xù)波區(qū)發(fā)生相位鎖定的根本原因．

圖5 2種背散射項的復(fù)平面表示Fig.5 Complex plane expression of two kinds of backscatter parameters

進一步可以得到極限環(huán)振蕩周期和泵浦參數(shù)之間的關(guān)系，如圖6所示．在極限環(huán)的極限點附近，振蕩的周期將發(fā)生急劇的增加．對應(yīng)龐加萊截面(見圖3(a))極限環(huán)在相平面中的面積不斷增加，即振蕩變得越來越慢．這一現(xiàn)象和文獻[4]實驗的結(jié)果相一致．

圖6 極限環(huán)周期和泵浦因子參數(shù)之間的關(guān)系Fig.6 Relationship between limit cycle period and pump parameter

筆者也計算了背散射參數(shù)的幅值和相角參數(shù)變化導(dǎo)致的分岔區(qū)域變化的情況．所有霍普夫分岔點形成的平面之下是雙向連續(xù)波區(qū)域．通過不斷變化背散射參數(shù)后計算霍普夫分岔點可得到這一重要曲面．極限環(huán)的極限點隨背散射參數(shù)變化關(guān)系為圖 7的曲面，在曲面以上為無向鎖定波區(qū)域．計算這一曲面的方法是：從霍普夫分岔點開始，逐步增加泵浦參數(shù)，通過格龍庫塔積分法計算系統(tǒng)的瞬態(tài)解，經(jīng)過相當長的一段時間后進行隨機采樣，如果采樣點的均方差落入一個很小的范圍，則可判定為系統(tǒng)進入鎖定區(qū)．反復(fù)掃描背散射參數(shù)，可以得到無向鎖定區(qū)的邊界曲面．這樣得到了圖 7所示的系統(tǒng)分區(qū)圖．在霍普夫分岔點曲面和極限環(huán)極根點曲面之間的部分是雙向互振蕩區(qū)，從圖7中可以觀察到這3個區(qū)域并不一定同時存在，在一定的參數(shù)變化范圍內(nèi)出現(xiàn) 3個區(qū)，而在另一參數(shù)變化范圍內(nèi)只出現(xiàn)2個區(qū)域(雙向連續(xù)波區(qū)和無向鎖定區(qū))．因此可以得出結(jié)論：背散射的性質(zhì)將引發(fā)半導(dǎo)體環(huán)形諧振器的不同行為．

圖7 背散射參數(shù)變化的系統(tǒng)分區(qū)示意Fig.7 Operation regions with variation of backscatter parameters

在圖 7中還可以觀察到無向區(qū)邊界曲面在特定相角下的突然下降，如果器件工作在相角參數(shù)附近，系統(tǒng)的行為將對外界噪聲的變化非常敏感．系統(tǒng)在實際情況下將呈現(xiàn)混沌的特性．

3 結(jié) 語

本文運用現(xiàn)代非線性動力學(xué)理論，對半導(dǎo)體環(huán)形激光器的模型進行了穩(wěn)定性和分岔行為的研究．結(jié)果表明：守恒的背散射和耗散的背散射在這一復(fù)雜的非線性運動中提供了不同的負反饋機制，而光學(xué)增益飽和則提供了正反饋的機制，由于這些機制的相互作用，模型中泵浦參數(shù)的變化將導(dǎo)致霍普夫分岔以至混沌等復(fù)雜的非線性運動．觀察到極限環(huán)的極限點附近振蕩的周期急劇增加，以及背散射參數(shù)的幅值和相角參數(shù)變化導(dǎo)致的分岔區(qū)域?qū)?dǎo)致出現(xiàn)兩區(qū)域和三區(qū)域的不同情況．

［1］ Hill M T，Dorren H J S，de Vries T，et al. A fast lowpower optical memory based on coupled micro-ring lasers [J]. Nature，2004，432(7014)：206-209.

［2］ Liu Y，Hill M T，Calabretta N，et al. Three-state alloptical memory based on coupled ring lasers[J]. IEEE Photon Tech Lett，2003，15(10)：1461-1463.

［3］ Sorel M，Laybourn P J R. Alternate oscillations in semiconductor ring lasers[J]. Optics Letters，2002，27(22)：1992-1994.

［4］ Sorel M，Giuliani G，Scire A，et al．Operating regimes of GaAs-AlGaAs semiconductor ring lasers：Experiment and model[J]. IEEE J Quantum Electron，2003，39(10)：1187-1195.

［5］ Sorel M，Laybourn P J R，Giuliani G，et al． Unidirectional bistability in semiconductor waveguide ring lasers[J]. Appl Phys Lett，2002，80(17)：3051-3053.

［6］ Yuan Guohui，Yu Siyuan．Bistability and switching properties of semiconductor ring lasers with external optical injection[J]. IEEE J Quantum Electron，2008，44(1)：41-48.

［7］ Kuznetsov Y A．Elements of Applied Bifurcation Theory[M]. 3rd ed. New York：Springer，2004.

［8］ Numai T．Analysis of signal voltage in a semiconductor ring laser gyro[J]. IEEE J Quantum Electron，2000，36(10)：1161-1167.

［9］ Spreeuw R J C，Centeno Neelen R．Mode coupling in a He-Ne ring laser with backscattering[J].Physical Review A，1990，42(7)：4315-4324.

［10］ Dennis M L，Diels J M. Analysis of a ring-laser gyroscope with intracavity phase conjugate coupling[J]. Applied Optics，1994，33(9)：1659-1672.

［11］ Tang C L，Schremer A，F(xiàn)ujita T．Bistability in two-mode semiconductor lasers via gain saturation[J]. Appl Phys Lett，1987，51(18)：1392-1394.