黨建亮 林愛(ài)英 朱連軒 吳麗麗 袁 超

河南農(nóng)業(yè)大學(xué) 河南鄭州 450002

相量法與傅里葉變換法的聯(lián)系與區(qū)別*

黨建亮 林愛(ài)英 朱連軒 吳麗麗 袁 超

河南農(nóng)業(yè)大學(xué) 河南鄭州 450002

論文主要分析了在“電路”與“信號(hào)與系統(tǒng)”課程中，相量法與傅里葉變換法兩者之間的聯(lián)系與區(qū)別。相量法和正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析、頻率響應(yīng)及零狀態(tài)響應(yīng)分析分別是各自課程中的重點(diǎn)及難點(diǎn)，對(duì)后續(xù)課程起著關(guān)鍵性的作用。文中通過(guò)實(shí)際例子詳細(xì)分析了相量法與傅里葉變換法在求解頻率響應(yīng)方面的一致性，特別重點(diǎn)討論了在求解系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)方面，學(xué)生容易誤解而許多教科書(shū)也沒(méi)有具體講解到的兩者之間的區(qū)別。

相量法；傅里葉變換；零狀態(tài)響應(yīng)

相量法是電路課程中的重點(diǎn)及難點(diǎn),現(xiàn)有教材導(dǎo)出相量概念時(shí)或者直接利用歐拉公式或者通過(guò)數(shù)學(xué)變換的概念引出相量法,建立正弦量與相量的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,還有一些文獻(xiàn)引入新的變換建立了兩者之間的聯(lián)系。但在利用相量分析電路系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)方面都很少介紹與傅里葉變換的聯(lián)系,然而在信號(hào)與系統(tǒng)課程中,分析電路系統(tǒng)的頻率響應(yīng)時(shí),許多教材往往直接利用電路的相量法求解系統(tǒng)的頻率響應(yīng),這就給學(xué)生造成了理解的困難：是否相量法與傅里葉變換法具有等價(jià)性？但兩者各自的推導(dǎo)過(guò)程似乎毫無(wú)關(guān)聯(lián),有的教材也只是在介紹拉氏變換章節(jié)時(shí)簡(jiǎn)單地說(shuō)明兩者在一般情況下是等價(jià)的,于是有的文獻(xiàn)討論了相量法與傅里葉變換的關(guān)系,研究了兩者之間的統(tǒng)一性。但這樣又容易給學(xué)生造成誤解,認(rèn)為兩者是統(tǒng)一的,實(shí)際上相量法與傅里葉變換法僅在分析系統(tǒng)頻率響應(yīng)時(shí)是一致的,而在求解零狀態(tài)響應(yīng)時(shí)是有區(qū)別的。以下給予具體的說(shuō)明。

一、相量法與傅里葉變換法適用性的討論

本文通過(guò)簡(jiǎn)單的例子詳細(xì)討論了相量法與傅里葉變換法在實(shí)際系統(tǒng)分析中的適用性，尤其重點(diǎn)分析兩者在求解系統(tǒng)響應(yīng)方面的區(qū)別，便于教師更好的講解和學(xué)生更好的理解掌握。

圖1 例題電路圖

1.求解系統(tǒng)頻率響應(yīng)的一致性

(1)利用相量法求解系統(tǒng)頻率響應(yīng)。由電路圖可知，輸出電容電壓相量與輸入電源電壓相量之比即為該系統(tǒng)頻率響應(yīng)，利用電路分壓定律得：

(2)利用傅里葉變換法求解系統(tǒng)頻率響應(yīng)

根據(jù)電路圖1列出電路方程式：

兩端進(jìn)行傅里葉變換得

解得頻率響應(yīng)為

由結(jié)果可知兩種方法求解頻率響應(yīng)是一致的。

2.求解零狀態(tài)響應(yīng)的不一致性：

(1)利用相量法求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)

故得

得相應(yīng)的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為

分析可知，穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)中，利用相量法只能求解得出系統(tǒng)正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，實(shí)際上就是零狀態(tài)響應(yīng)中的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，而無(wú)法得到零狀態(tài)響應(yīng)中的暫態(tài)響應(yīng)，這正是學(xué)生在學(xué)習(xí)電路課程中容易忽略的知識(shí)點(diǎn)。

(2)利用頻域分析法求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)

對(duì)上式直接求解傅里葉逆變換比較麻煩，由傅里葉變換性質(zhì)，知

對(duì)式（11）查找卷積積分表可得

分析可知，利用頻率響應(yīng)法所得解第一項(xiàng)與用相量法所得穩(wěn)態(tài)響應(yīng)解是完全相同的，實(shí)際是零狀態(tài)解的特解分量，第二項(xiàng)不能由相量法求得，為零狀態(tài)響應(yīng)中的暫態(tài)響應(yīng)。這就表明兩者在求解系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)時(shí)并不是完全一致的，這也正是學(xué)生在學(xué)習(xí)信號(hào)與系統(tǒng)課程中容易誤解的地方。

(3)利用拉普拉斯變換法求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)

對(duì)上式求拉氏逆變換，查表可得：

分析可知，前面所解結(jié)果與拉普拉斯變換法所得是一致的。

二、結(jié)束語(yǔ)

1.在求解系統(tǒng)的頻率響應(yīng)方面，相量法與傅里葉變換法是統(tǒng)一的，而且在已知具體網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)時(shí)，可以直接使用電路的基本定理來(lái)進(jìn)行計(jì)算，比傅里葉變換法更簡(jiǎn)便。

2.在分析系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)方面兩者是不等價(jià)的,相量法只是將正弦穩(wěn)態(tài)的輸出相量與輸入相量聯(lián)系起來(lái),尤其需要重點(diǎn)指出的是該方法僅能確定系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)中的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量,而無(wú)法求出暫態(tài)響應(yīng),且只適用于正弦激勵(lì)情況。頻域分析法是可以求解系統(tǒng)的整個(gè)零狀態(tài)響應(yīng),且物理意義明顯,但頻域分析法存在一些不足,如傅里葉變換一般比較復(fù)雜且有時(shí)某些信號(hào)不存在傅里葉變換,無(wú)法利用頻域分析法。

3.拉普拉斯變換法克服了頻域分析法的不足，運(yùn)算非常簡(jiǎn)潔，最具有普遍適用性。

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The relationship and differences between phasor method and Fourier transform method

Dang Jianliang, Lin Aiying, Zhu Lianxuan, Wu Lili, Yuan Chao
Henan agricultural university, Zhengzhou, 450002, China

In this paper, the relationship and differences are mainly analyzed between phasor method and Fourier transform method in the"Circuit" and "Signals and Systems" courses. Phasor method, sine steady-state circuit analysis, frequency response and zero-state response analysis not only are focus and difficulties of their subjects respectively, but also play a key role in the follow-up courses. Based on the specific examples of teaching practice, the unity of phasor method and Fourier transform method in solving the frequency response is discussed, and the difference of them in analyzing zero-state response is researched in detail which many students misunderstood easily and not be explained concretely on many textbooks.

phasor method; Fourier transform; Zero-state response

2009-08-25

黨建亮，碩士，講師。

*本文系河南省教育廳自然科學(xué)研究指導(dǎo)計(jì)劃(編號(hào)：2008B510010)。