三次樣條插值在變徑內腔重建中的應用?

王會峰,劉上乾,汪大寶,盧 泉

(西安電子科技大學 技術物理學院 ,陜西 西安 710071)

0 引 言

藥室內腔容積是炮身的一個重要參數(shù),它會影響裝填密度,進而影響膛壓和初速的修正值.而這些參數(shù)的變化會直接影響著射程和彈丸的內外彈道軌跡及其彈著點的精度和發(fā)射的安全性,因此有必要對其進行高精度測量.從目前國內的測量方法來看,主要有音頻檢測、灌水法測量等;而這些方法都存在效率低下、操作復雜等缺點,無法滿足現(xiàn)代靶場和用戶對火炮容積參數(shù)的高效、自動化、高精度檢測的需求.

本文陳述的直徑-進深內腔容積檢測方法具有高效、高精度自動化等特點;然而,由于測量本身的特征,使得測量部在間歇進深移動過程中的各個測量點之間的直徑值難以準確地估計,同時由于采用傳統(tǒng)的分段低次線性插值法由于插值基函數(shù)的不連續(xù)性影響了容積重建的精度和重建后的視覺效果,為此提出了基于三次樣條插值函數(shù)的變徑內腔截面圓直徑的插值方法,該方法不僅使得插值后的重建效果得到了改善而且提高了容積的測量精度.

1 變徑內腔結構和直徑-進深測量原理

藥室內腔截面的結構形狀如圖1所示,包括圓錐體部分和過渡圓錐體部分等.隨著炮彈發(fā)射數(shù)目的增多,過渡圓錐體部分會發(fā)生變化,其位置會往身管方向移動,使內腔的體積增大.由幾何理論可知,內腔空間容積和長度要素以及該段橫截面的直徑有關,因此有必要從分析這兩個測量要素入手探索變徑內腔空間容積的高效測量手段.

圖1 藥室結構示意圖Fig.1 Structure of powd er chamber

圖2 直徑-進深藥室測量原理Fig.2 Diameter-length volume measurement principle

基于直徑-進深的內腔容積測量裝置主要由炮尾輔助裝置,進深高精度控制和測量機構,直徑測量光電成像測量部,圖像和數(shù)據(jù)處理單元等部分組成.如圖2所示,炮尾輔助裝置用來實現(xiàn)測量裝置和身管的連接;進深高精度控制測量機構實現(xiàn)高精度進深控制;直徑測量光電成像部完成光電圖像的獲取.測量部在進深系統(tǒng)的推動下進入標定機構,徑向相隔 90°安裝測量觸頭;測量觸頭先在標定環(huán)中進行標定,然后進入腔體內部在定中裝置的支撐下開始測量,高精度進深機構上裝有光柵尺用來記錄進深距離,測量部每隔一定的步長停下通過計算機讀取標尺靶的數(shù)據(jù),從而實現(xiàn)對直徑的測量.

設測得內腔截面的兩個直徑 d x,d y相對于標定環(huán)的變化量為Δx,Δy,因此,各截面兩個垂直方向的平均直徑為 di

式中:d cp為定標環(huán)直徑;Δdi為第 i個截面尺寸 d x,d y對定標環(huán)的變化量的平均值.

通過光柵編碼器可直接獲得測量部沿軸的高精度進深位移,在測量部進行第 i次間歇移動時的位移為hi,則第 i次移動測得的圓臺體積為

假設測量在 N步內完成,則藥室的容積可以由式 (4)得到

為了提高測量精度要需要提高測量步數(shù),但是步數(shù)越多測量效率就越低,因此在相鄰點之間需要對直徑-進深函數(shù)做必要的插值,以提高測量精度[1-2].

2 三次樣條插值模型[3-4]

根據(jù)變徑內腔的結構特點和實際測量數(shù)據(jù)的情況,對變徑內腔的結構形狀利用插值算法建立數(shù)學模型.當節(jié)點增多時,應用分段低次插值,有較好的局部性,插值函數(shù)具有一致的收斂性,能保證插值函數(shù)的連續(xù)性,但是光滑性差.根據(jù)藥室的結構特點,通過理論和實驗分析,利用藥室的長度數(shù)據(jù)和橫截面的直徑數(shù)據(jù),采用三次樣條函數(shù)插值算法,能保證各段之間連接處的足夠光滑性,既具有分段低次插值的一致收斂性和計算的穩(wěn)定性,又具有高次插值的整體的足夠光滑性,可以滿足測量要求,達到較好的效果.

2.1 三次樣條函數(shù)定義

設 [a,b]上有插值節(jié)點 a≤x0＜x1＜… xn≤b,對應值為 y0,y1,… ,yn,若函數(shù) S(x)滿足:

2)S(x)在每一小區(qū)間 [xj,xj+1]上是三次多項式,其中 j=0,1,2,… ,n-1;

3)S(x)在 [a,b]上有連續(xù)的一階、二階導數(shù),則稱 S(x)為三次樣條插值函數(shù).

2.2 插值函數(shù)的表達式

三次樣條函數(shù) S(x)是一個分段三次多項式,在每一個子區(qū)間 [x j-1,x j]上分別是一個三次多項式,因此 S″(x)在每個子區(qū)間 [xj-1,xj]上是一個一次多項式.如果 S″(x)在小區(qū)間 [xj-1,xj]的兩個端點值已知,為

設各子區(qū)間的長度 hj=xj-xj-1,j=1,2,…,n.根據(jù)拉格朗日插值多項式,則函數(shù) S″(x)在子區(qū)間[x j-1,x j]上的一次拉格朗日插值多項式為

將式 (7)積分兩次得

式中:c1,c2可由插值條件 S(xj)=yj確定.因此插值函數(shù) S(x)的表達式

式 (9)是利用二階導數(shù) Mj(j=0,1,… ,n)來表示插值函數(shù) S(x),稱為 S(x)的 M表達式.

2.3 M關系式

式 (9)是 S(x)的函數(shù)表達式,其中含有參數(shù) Mj(j=0,1,…,n),而實際上是未知的,只有求出 Mj之后,S(x)才能確定.由式 (9)的推導過程可知,S(x)滿足插值條件式 (5),因而 S(x)在整個區(qū)間[a,b]連續(xù);由式 (6)可知,S″(x)在節(jié)點連續(xù),顯然 S(x)在每個子區(qū)間上是三次多項式.因此利用 S′(x)在節(jié)點的連續(xù)性來確定參數(shù) Mj.對式 (9)兩邊求一階導數(shù),得

由此可得 S(x)在 xj的左導數(shù)為

將式 (12)中的 j換成 j+1,即得 S(x)在 x j的右導數(shù)

由于 S′(x)在區(qū)間 [a,b]連續(xù),故在 x j的左右導數(shù)相等,即式 (12)和式 (13)得

式中:

式 (15)表達 S(x)在插值節(jié)點的二階導數(shù) Mj(j=0,1,…,n)之間的關系,因而稱為 M關系式.

2.4 邊界條件與基本方程組

式 (15)中有 n-1個方程,但有未知數(shù) Mj(j=0,1,…,n)n+ 1個.要得到唯一解需增加兩個方程,或減少兩個未知數(shù).根據(jù)火炮藥室的結構特點,在藥室的兩端,即區(qū)間 [a,b]的端點 a和 b(即 x0和 xn)處對插值函數(shù)附加限制條件,稱為邊界條件.通過分析藥室的邊界條件,應滿足

因此關于 Mj的基本方程組為

在 xj-1的右導數(shù)為

此方程組是三對角形方程組,可采用追趕法求解(略).

2.5 插值函數(shù)計算

由上述分析可知,插值函數(shù) S(x)的具體表達式不僅決定于對區(qū)間 [a,b]的剖分和被插函數(shù)在各分點的函數(shù)值,而且決定于 S(x)在各分點的二階導數(shù)值 Mj(j=0,1,…,n);而求 Mj(j=0,1,…,n),需先解基本方程組;要使基本方程組有唯一解,又需要預先給定邊界條件并根據(jù)邊界條件調整基本方程組.因此,該函數(shù)插值的基本計算步驟可歸納為:

第一步.輸入初始數(shù)據(jù) xj,yj(j=0,1,…,n);

第二步.對于 j=1,2,… ,n,按式 (6)計算 hj;

第三步.對于 j=1,2,… ,n-1,按式 (16)計算 _j,λj,d j;

第四步.根據(jù)邊界條件,用追趕法解基本方程組式 (18),求出 Mj(j=0,1,…,n);

第五步.對于 j=1,2,… ,n,按式 (9)計算 S(x)各項的系數(shù),并求得 S(x)在各子區(qū)間 [xj-1,x j]上的表達式;

第六步.根據(jù)需要輸入若干個插值點x～i(i=1,2,…,N),分別按x～i(i=1,2,…,N)所在子區(qū)間S(x)的表達式計算S(x～i)(i=1,2,…,N),并輸出結果.

本函數(shù)插值具有明顯的優(yōu)點,當 max hj→0時,S(x)一致收斂于 f(x),且 S(x)的一階和二階導數(shù)也分別收斂于 f(x)的一階和二階導數(shù),因而只需對區(qū)間 [a,b]細分就可以提高精度,不必提高樣條函數(shù)的次數(shù).又基本方程組的系數(shù)矩陣總是嚴格對角占優(yōu)的,因此基本方程組的解存在且唯一,S(x)存在且唯一.并且解基本方程組和計算插值S(x～)的穩(wěn)定性都很好.

3 藥室容積高精度修正重建和計算算法

設以上插值函數(shù)的區(qū)間 [a,b]中的 a和 b分別對應于藥室的兩端,x0,x1,…,xn對應于由測長機構測出藥室的進深位置數(shù)據(jù),2y0,2y1,…,2yn分別對應于在位置 x 0,x 1,…,xn時該橫截面藥室的直徑數(shù)據(jù).利用以上研究的插值函數(shù),可得火炮藥室體積的計算公式

式中:x0=a,xn=b.

可根據(jù)測量數(shù)據(jù)按被測管狀容器的實際形狀建立起空間三維模型,并可同時以不同的顏色在同一幅圖像中按管狀容器的設計參數(shù)建立理想的空間三維模型,以便直觀而準確地了解其實際狀況以及其變化情況.

在三維空間直角坐標系 Oxyz中,根據(jù) 3節(jié)中得到的插值函數(shù) S(x),可得 xy平面上的插值曲線y=S(x),即可寫成如下方程的形式

則以 x軸為旋轉軸,以插值曲線 y=S(x)為母線得到的旋轉面方程為

因此,此曲面就是其實際空間的三維結構模型.

4 試驗結果

實驗選用某變徑內腔為測試對象,圖3是根據(jù)表1的采樣數(shù)據(jù),利用以上研究的算法繪出的插值函數(shù)曲線圖,和根據(jù)插值函數(shù)建立的空間三維表面效果圖.圖4是利用分段低次線性插值算法插值曲線和表面重建效果.可知經過樣條插值后的三維重建效果優(yōu)于分段低次線性插值的結果.

通過式 (19)分別對圖3和圖4插值后的曲線進行容積值的計算,并且和灌水法測試結果進行對比,

如表2所示.

圖3 樣條插值三維表面重建Fig.3 Three dimension surface reconstruction with cubic spline

圖4 分段低次插值三維表面重建Fig.4 Three dimension surface reconstruction with subsection low order interpolation

表1 試驗采樣數(shù)據(jù)Tab.1 Sampling data (mm)

表2 不同插值方法容積計算結果Tab.2 Volume results calculated by differentinterpolation algorithms

5 結 論

將三次樣條插值算法引入基于直徑-進深光電成像式變徑內腔容積測量和三維重建中,有效地克服了直接累加和分段低次線性插值法,由于插值基函數(shù)的不連續(xù)性對變徑內腔容積重建的精度和重建后的視覺效果.該方法不僅使得插值后的重建效果得到了改善,而且在一定程度上提高了容積的測量精度[5-6].實踐證明:該算法穩(wěn)定運算量小,可用于工程上實時計算.

[1]吳文明,高立民,吳易明,等.利用三次樣條插值提高自準直儀的準確度[J].光子學報,2007,36(8):1561-1564.Wu Wenming,Gao Limin,Wu Yiming,et al.Improving precision of autocollimation with cubic spline interpolation functions[J].Acta Photonica Sinica,2007,36(8):1561-1564.(in Chinese)

[2]王永仲.智能光電系統(tǒng)[M].北京:科學出版社,1999:34-40.

[3]李慶揚,王能超,易大義.數(shù)值分析[M].武漢:華中理工大學出版社,1986:16-26.

[4]鄧建中,劉行之.計算方法[M].西安:西安交通大學出版社,2001:48-88.

[5]Heras H D L.Comparison of interpolation functions to improve a rebinning-free CT-reconstruction algorithm[J].Zeitschrift Für Medizinische Physik,2008,18:7-16.

[6]Kong V P,Ong B H.Constrained space curve interpolation with onstraint planes[J].Computer Aided Geometric Design,2007,22(6):531-550.