楊立夫

（陜西理工學(xué)院 數(shù)學(xué)系，陜西，漢中 723000）

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)方法改革與實(shí)踐

楊立夫

（陜西理工學(xué)院 數(shù)學(xué)系，陜西，漢中 723000）

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是高等學(xué)校各專業(yè)的一門重要專業(yè)基礎(chǔ)課.本文結(jié)合多年的教學(xué)實(shí)踐，討論了在教學(xué)中如何讓學(xué)生更好地理解概率統(tǒng)計(jì)的概念、方法，同時(shí)將數(shù)學(xué)建模的思想融入到教學(xué)過程中，并介紹如何利用Matlab來解決數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題，培養(yǎng)學(xué)生利用概率思想分析、解決隨機(jī)問題的能力.

直觀性描述；數(shù)理統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)建模；Poisson分布

1 前言

概率論與數(shù)量統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門學(xué)科.隨機(jī)性，特別是隨機(jī)過程及其數(shù)學(xué)方法已經(jīng)廣泛而迅速地滲透到計(jì)算機(jī)科學(xué)、生物、醫(yī)學(xué)、工業(yè)工程、金融以及自然科學(xué)與高新技術(shù)等各領(lǐng)域.概率論與數(shù)量統(tǒng)計(jì)課程已成為理工科各專業(yè)一門必修的專業(yè)基礎(chǔ)課.在多年的教學(xué)實(shí)踐中，深感目前的教學(xué)側(cè)重于抽象的理論介紹及繁瑣的計(jì)算，強(qiáng)調(diào)理論的系統(tǒng)性而忽略了概率統(tǒng)計(jì)的思想方法及其應(yīng)用，從而造成了學(xué)生在后繼專業(yè)課程中不會(huì)用的尷尬局面.

2 從直觀描述到理性思考，使學(xué)生更好地理解概率論與數(shù)量統(tǒng)計(jì)的基本概念和方法

在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，許多概念的直觀性描述非常容易理解，如頻率、獨(dú)立性、條件概率、均值等，但相應(yīng)的抽象定義就不那么容易理解了.當(dāng)學(xué)生從直觀上感性地理解了這些概念后，如何經(jīng)過理性思考將它們抽象為嚴(yán)格的數(shù)學(xué)概念，這個(gè)過程不但可以使學(xué)生深刻地理解基本概念和基本公式，而且還可以和其它數(shù)學(xué)類課程一脈相承，在學(xué)習(xí)過程中逐步培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力以及歸納和類比的能力，為以后靈活地應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)理解和解決隨機(jī)問題打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).

例如：（1）從頻率→概率的統(tǒng)計(jì)定義→概率的公理化定義：由試驗(yàn)觀察得到的頻率穩(wěn)定性立即可以得到概率的統(tǒng)計(jì)定義，這也為以后數(shù)理統(tǒng)計(jì)的一些基本思想的理解打下基礎(chǔ)，然后通過對(duì)頻率性質(zhì)的分析，結(jié)合高等數(shù)學(xué)中極限的相關(guān)性質(zhì)，利用公理化思想抽象就可以得到概率的公理化定義；

（2）從平均值→離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望→連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望：在測(cè)量某一工件的長(zhǎng)度時(shí)，由于隨機(jī)誤差，我們通常取多次測(cè)量的平均值作為工件的長(zhǎng)度，即x軃=1+2+L m=n，x軃仍為隨機(jī)變量，而工件的長(zhǎng)度是一確定值，如何盡可能地求出其精確值呢？很自然就會(huì)想到測(cè)量次數(shù)越多就會(huì)越精確，也即n→∞，此時(shí)就趨近于xk出現(xiàn)的概率Pk，從而若用表示其長(zhǎng)度就精確了，結(jié)合前面概率的定義及事物的復(fù)雜性，很自然通過歸納就可得到離散型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望.再通過類比，由離散與連續(xù)的關(guān)系可得，當(dāng)X為連續(xù)性隨機(jī)變量時(shí)，Pk可用f(x)d x代替（其中f(x)為連續(xù)性隨機(jī)變量X的概率密度），此時(shí)連續(xù)性隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望可不嚴(yán)格地表示為d x，結(jié)合定積分定義立即得到連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望E等等.

通過這些一個(gè)個(gè)從直觀→抽象，從已知→未知的具體過程的展示，一方面可以使學(xué)生深刻地理解概念，同時(shí)又培養(yǎng)了抽象思維能力和數(shù)學(xué)素質(zhì)，為以后靈活地應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)分析和解決隨機(jī)問題以及創(chuàng)新思維打下了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).

3 注重實(shí)踐，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力和創(chuàng)新意識(shí)

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)在實(shí)際生活和科學(xué)研究中有著廣泛的應(yīng)用.注重概率統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用，通過解決生產(chǎn)實(shí)際中的一些現(xiàn)實(shí)問題，不但能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還能培養(yǎng)他們自主學(xué)習(xí)能力和動(dòng)手能力.這對(duì)培養(yǎng)高素質(zhì)的工程應(yīng)用型人才是很重要的一個(gè)環(huán)節(jié).

在教學(xué)過程中，我舉了一個(gè)“摸彩票”模型，在給出了摸彩規(guī)則和中獎(jiǎng)規(guī)則后，讓學(xué)生回答三個(gè)問題：（1）中獎(jiǎng)概率與摸彩次序有沒有關(guān)系？（2）假設(shè)發(fā)行了2 0 0萬張彩票，中一、二等獎(jiǎng)的概率各是多少？如果發(fā)行1 0 0 0萬張彩票中獎(jiǎng)的概率又是多少？（3）如果你打算摸彩中獎(jiǎng)，在什么條件下中獎(jiǎng)概率會(huì)大一些？學(xué)生很快給出了幾種答案，最后和學(xué)生一道邊分析邊講解，在已知條件下給出了問題解答，讓學(xué)生明白真正中獎(jiǎng)的概率是很小的，要科學(xué)看待“摸彩”這一現(xiàn)象.緊接著，又給了兩個(gè)問題：

(1)保險(xiǎn)公司在什么條件下才能盈利？

(2)利用閑暇時(shí)間觀察2 1路公交車各時(shí)段乘車人數(shù)，根據(jù)觀察數(shù)據(jù)，為該線路設(shè)計(jì)一個(gè)便于操作的公交車調(diào)度方案，包括發(fā)車時(shí)刻表；一共需要多少輛車；這個(gè)方案以怎樣的程度照顧到了乘客和公交公司雙方的利益.

要求學(xué)生任選一題統(tǒng)計(jì)調(diào)查寫出書面報(bào)告.學(xué)生們的興趣很高，通過查資料、觀察完成了作業(yè)，取得了較好的效果.通過統(tǒng)計(jì)調(diào)查，學(xué)生可真正深入實(shí)際，應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法觀察、了解社會(huì)，解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.一方面加強(qiáng)并擴(kuò)展了所學(xué)的知識(shí)，另一方面培養(yǎng)了學(xué)生的動(dòng)手能力和創(chuàng)新意識(shí).遺憾的是，由于課程內(nèi)容和學(xué)時(shí)的限制，這一活動(dòng)受到很大限制.

4 融數(shù)學(xué)建模思想于教學(xué)之中，提高學(xué)生的應(yīng)用能力

在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生對(duì)概念和公式記的很熟，但對(duì)一些分布如正態(tài)分布、P o i s s o n分布等是如何得到的感到困惑，因此一遇到實(shí)際問題就茫然不知所措，不知道該如何應(yīng)用所學(xué)知識(shí)來解決.針對(duì)這種情況，在教學(xué)中將數(shù)學(xué)建模的思想融入到教學(xué)過程之中，通過解決一些實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生的綜合應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力.如P o i s s o n分布在保險(xiǎn)理賠中的應(yīng)用.

例1 某保險(xiǎn)公司為對(duì)該公司的某一保單組合的經(jīng)營(yíng)風(fēng)險(xiǎn)做出評(píng)估，需要了解該保單組合在一給定的時(shí)間區(qū)間內(nèi)的索賠次數(shù)的分布.假定所觀察的這段時(shí)間為(0,t]，將這段時(shí)間中到來的索賠次數(shù)記為P(t)，請(qǐng)分析索賠發(fā)生的統(tǒng)計(jì)規(guī)律.

解 通過分析，可作如下假設(shè)：

（1）在互不相交的各時(shí)段內(nèi)，索賠的發(fā)生是相互獨(dú)立的；

（2）在相同長(zhǎng)度的時(shí)間段內(nèi)，索賠發(fā)生的統(tǒng)計(jì)規(guī)律是相同的；

（3）在每一小段時(shí)間(t,t+△t)內(nèi)索賠發(fā)生的概率為λ△t+o(△t)

若計(jì)Pk(t)為時(shí)間段(0,t]內(nèi)的索賠次數(shù)，則有

若令t=1就得到在單位時(shí)間段(0,t]內(nèi)的索賠次數(shù)為pk(t)即為 P o i s s o n分布.

通過這個(gè)問題的解決，一方面讓學(xué)生了解常見的分布在我們現(xiàn)實(shí)生活中生活大量存在的，為日后利用常見分布如正態(tài)分布、P o i s s o n分布、指數(shù)分布等解決問題樹立了一種理念，另一方面，本問題的解決綜合應(yīng)用了微積分、常微分方程、概率統(tǒng)計(jì)等知識(shí)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的綜合應(yīng)用能力也是一種鍛煉.

5 Matlab在教學(xué)中的應(yīng)用

隨著計(jì)算機(jī)的廣泛使用，將人們從大量繁復(fù)的計(jì)算中解脫出來，在教學(xué)中，通過使用M a t l a b的數(shù)據(jù)處理功能，將數(shù)理統(tǒng)計(jì)中大量的數(shù)據(jù)處理交由計(jì)算機(jī)處理，學(xué)生將主要精力放在理解概率統(tǒng)計(jì)的概念、思想和方法上.M a t l a b在教學(xué)中的應(yīng)用主要有兩種形式：

（1）模擬試驗(yàn)：如拋擲硬幣試驗(yàn)，正態(tài)分布模擬試驗(yàn)等；

（2）數(shù)據(jù)處理：如參數(shù)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)、方差分析、回歸分析等等.

例2（正態(tài)分布模擬試驗(yàn)）>>p=r a n d n(3 0 0 0 0,1);

例3（概率計(jì)算）已知二維隨機(jī)變(x,y)的聯(lián)合概率密度為

例4[1,4]（假設(shè)檢驗(yàn)問題）某車間用一臺(tái)包裝機(jī)包裝葡萄糖，包得的袋裝糖重是一個(gè)隨機(jī)變量，它服從正態(tài)分布.當(dāng)機(jī)器正常時(shí)，其均值為0.5公斤，標(biāo)準(zhǔn)差是0.0 1 5公斤.某日開工后為檢驗(yàn)包裝機(jī)是否正常，隨機(jī)抽取它所包裝的9袋糖，稱 得 凈 重 為 （ 公 斤）：0.4 9 7，0.5 0 6,0.5 1 8，0.5 2 4，0.4 9 8,0.5 1 1，0.5 2 0，0.5 1 5，0.5 1 2.問機(jī)器是否正常工作？

解 用M a t l a b解決如下：

當(dāng)然，這樣做與課程的最后考核方式也緊密相關(guān)，必須改變傳統(tǒng)單一的考核方式.考核結(jié)果有兩部分組成：一是閉卷考試，主要考察學(xué)生對(duì)基本概念、基本思想方法的理解和掌握程度，二是開放性考核，給學(xué)生一個(gè)實(shí)際問題，通過簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)建模并借助計(jì)算機(jī)處理大量數(shù)據(jù)得到問題的解.

實(shí)踐證明,通過以概率思想為主線,加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模在教學(xué)過程中的滲透,并適當(dāng)介紹數(shù)學(xué)軟件的應(yīng)用,可以使原本抽象、枯燥難懂的數(shù)學(xué)理論變得有滋有味,激發(fā)學(xué)生的求知欲望,提高學(xué)生對(duì)該課程的學(xué)習(xí)興趣，從而提高課堂教學(xué)質(zhì)量.

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