姜立新

(德州職業(yè)技術(shù)學(xué)院,山東德州 253034)

Lap lace變換的應(yīng)用研究

姜立新

(德州職業(yè)技術(shù)學(xué)院,山東德州 253034)

利用Lap lace(逆)變換及其具有的積分性質(zhì)、微分性質(zhì)、卷積性質(zhì),來求解一些特殊類型的無窮積分,并討論了Lap lace變換在求解微分方程(組)、積分方程中的應(yīng)用.

拉氏變換;無窮積分;微分方程;積分方程＊

0 引言

Lap lace變換屬于積分變換的一種,它是通過積分運算把一個函數(shù)變成另一個函數(shù)的變換,它將函數(shù)的微積分運算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算,在力學(xué)、電學(xué)、控制論等工程技術(shù)與科學(xué)領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用.

1 預(yù)備知識

引理1 (拉普拉斯變換存在定理)[1～3] 如果函數(shù)f(t)滿足下面兩個條件:(1)在t≥0的任一有限區(qū)間上分段連續(xù);(2)存在常數(shù)M>0及c≥0,使得f(t)≤M ect(0≤t<+∞)成立;那么,f(t)的拉普拉斯變換F(s)=f(t)e-std t在半平面R e(s)>c內(nèi)一定存在,且是解析的.

符號說明:Y(s)=L[y(t)],X(s)=L[x(t)]

2 利用Lap lace變換求解無窮積分

分析:由拉氏變換像函數(shù)的積分性質(zhì)知:若F(s)=L[f(t)]且d t收斂,則

3 求解微分方程(組)初值問題

例4 求微分方程y″-3y′+2 y=2e-t,滿足初始條件y(0)=2,y′(0)=-1的特解.

解:設(shè)L[y(t)]=Y(s),對微分方程兩端取拉氏變換得

[s2Y(s)-sy(s)-y′(s)]-3[sY(s)-y(0)]+2Y(s)=,考慮到初始條件得

(s2-3 s+2)Y(s)=+2p-7,于是

對上述方程兩邊取拉氏逆變換,得

解:設(shè)L[y(t)]=Y(s),L[x(t)]=X(s),對微分方程組兩端取拉氏變換得

例6 求變系數(shù)微分方程ty″+2(t-1)y′+(t-2)y=0,滿足初始條件y(0)=0的解

解 方程兩邊同時實施拉氏變換,利用拉氏變換的微分性質(zhì)有

結(jié)合初始條件y(0)=0,化簡有

(s2+2s+1)Y′(s)+4(s+1)Y(s)=0,解之有

所以y(t)=L-1[Y(s)]=C t3e-t

4 求解積分方程

對積分方程兩邊同時實施拉氏變換并由卷積定理得

故

兩邊取拉氏逆變換得

所以,y(t)=L-1[Y(s)]=2-co s t-3 sin t

從以上幾個例子可以看出,用拉氏變換求解相關(guān)問題既方便又簡潔,但任何變換都有它的局限性,利用L ap lace變換時必須滿足它的存在定理.

[1]張元林.積分變換(第四版)[M].北京:高等教育出版社,2003.

[2]白艷萍,雷英杰,揚明.復(fù)變函數(shù)與積分變換[M].北京:國防工業(yè)出版社,2004.

[3]華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)系.復(fù)變函數(shù)與積分變換(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2003.

[4]錢學(xué)明.利用拉普拉斯變換求解幾個重要的廣義積分[J].河北北方學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版),2008,24(3):4-7.

[5]施曉紅.Lap iace變換在求解線性微分及積分方程中的應(yīng)用[J].昆明理工大學(xué)學(xué)報(理工版),2009,34(3):121-124

Abstract:Based on the concepts and the properties of Lap lace transformation,this paper solves some special types of infinite integral and discusses its applications in solving problems of differential equation with coefficients,solving integral eqution.

Keywords:Lap lace transformation;infinite integral;differential eqution;integral eqution

Application Research of The Lap lace Transformation

JIANG L i-xin
(De Zhou Vocational and Technical College,De zhou 253034,China)

O177.6

A

1004-7077(2010)02-0037-04

2010-01-23

姜立新(1966-),女,山東省寧津縣人,德州職業(yè)技術(shù)學(xué)院副教授,理學(xué)碩士,研究方向為數(shù)學(xué)物理方程.

[責任編輯:陳慶朋]