基于實物期權理論的露天采礦邊際品位最優(yōu)化

郝全明,羅業(yè)民

(內蒙古科技大學礦業(yè)工程學院,內蒙古包頭 014010)

基于實物期權理論的露天采礦邊際品位最優(yōu)化

郝全明,羅業(yè)民

(內蒙古科技大學礦業(yè)工程學院,內蒙古包頭 014010)

以實現(xiàn)礦山利潤最大化為目的,借助金融學里的實物期權理論建立了露天采礦邊際品位最優(yōu)化數(shù)學模型,并以一個案例驗證了所建模型的優(yōu)越性,為礦山開采品位決策提供了新途徑。

邊際品位;實物期權;最優(yōu)化數(shù)字模型

礦石品位的高低是采礦業(yè)管理中一個重要的決策問題。露天礦邊際品位在露天礦生產(chǎn)的過程中處于非常重要的地位,它關系到露天礦的可采礦量、剝巖量、生產(chǎn)能力、開采年限等,也與礦山投資,投產(chǎn)、達產(chǎn)時間,設備數(shù)量,礦山人員和礦石成本等一系列技術經(jīng)濟指標有密切聯(lián)系,以至最終影響礦山的經(jīng)濟效益[1]。為此,本文以實現(xiàn)礦山利潤最大化為目的,借助金融學實物期權理論來分析露天采礦邊際品位最優(yōu)化問題,并建立了經(jīng)濟數(shù)學模型,為礦山企業(yè)提供決策依據(jù)。

1 實物期權的期權定價理論估值模型

西方經(jīng)濟學中用期權定價理論對實物期權進行估值。期權定價理論是對金融期權估值的方法,以布萊克與肖萊斯為代表的布-肖期權定價模型是期權定價理論的重大突破。

t時刻,用 V表示某個投資項目的未來收益的現(xiàn)值,未來收益符合布朗幾何運動,則有:

式中:μ——期望收益率;

σ——標準差;

dz——維納過程增量。

當可用交易證券復制投資項目的現(xiàn)金流時,設交易證券的期望收益率為μ＊,令μ＜μ＊,并設δ=μ＊-μ,在這里可以把δ理解為與股票紅利相似的投資項目產(chǎn)出現(xiàn)金流。設投資項目基礎資產(chǎn)的實物期權的價值為 F,V為項目價值,F為時間 t和項目價值 V的函數(shù),記 r為無風險利率。因此,價值 F為該投資項目擁有的一個實物期權,?F/?V為已賣空的項目資產(chǎn)份額,?F/?V隨 V的變化而調整。由布朗幾何運動方程和伊藤引理,可得實物期權的估值模型[2,3]:

2 基于期權定價理論的露天采礦邊際品位優(yōu)化數(shù)學模型

2.1 連續(xù)變量期權定價數(shù)學模型的建立

在邊際品位優(yōu)化研究當中,邊際品位是一個變量,而且是連續(xù)變化的,針對邊際品位變量的連續(xù)性,可以從實物期權的內容中找出與之對應的期權類型,即可以引用連續(xù)變量期權來分析礦石價格變動情況下的邊際品位優(yōu)化問題。根據(jù)連續(xù)變量期權的定義,優(yōu)化時須依據(jù)礦石的市場價格來適時調整礦山的生產(chǎn)行為,以使礦山企業(yè)利潤最大化。

一個工程或者項目在運營的過程中,一般可根據(jù)外部或內部環(huán)境對項目的某些運營參數(shù)進行調整,比如在某個時間點,調整人力、物力和財力等投入以改善經(jīng)營狀況。在某一時間點或者時間段內,這種調整的最優(yōu)程度取決于那一時間點或者段內產(chǎn)出物的市場價格,達到利潤最大化時,要滿足邊際收益等于邊際成本這一必要條件。所以,反過來,當產(chǎn)品的市場價格變化時,要想實現(xiàn)最佳的效益,項目可通過調整其經(jīng)營參數(shù)來實現(xiàn),調整經(jīng)營參數(shù)后,對項目的估值也需調整[4]。

在市場經(jīng)濟條件下商品價格 K呈隨機變動,并且認為在價格變動的某一時刻可對項目的投入進行調整,其調整變量為 v,設 h(v)為其產(chǎn)出的生產(chǎn)函數(shù),c(v)為其相應產(chǎn)生的成本,I(K)為由此帶來的利潤。因此,使 I(K)最大時的 v即為最優(yōu)的,即:

根據(jù)一維柯布道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)[5],有:

并可得獲得最大利潤時,調整變量 v為:

其中,價格 K是變動的,c是不變量,為投入物價格。

將式(5)代入式(4)得產(chǎn)出物函數(shù) h(v):

由此可得最大利潤:

記 Φ=(1-θ)(θ/c)θ/(1-θ),γ=1/(1-θ),有 :

考慮到 K是隨機變動量,依據(jù)式(2),得:

由上式可得:

式中 :Φ=(1-θ)(θ/c)θ/(1-θ);

以上數(shù)學模型即為變量呈連續(xù)不斷變化時的期權定價數(shù)學模型。在投入不斷調整的時候,用此模型可對項目定價或估值。

2.2 露天采礦邊際品位優(yōu)化數(shù)學模型的建立

借助以上的期權定價數(shù)學模型對礦山采礦品位進行優(yōu)化研究。在礦山生產(chǎn)能力一定的時候,邊際品位的變動會影響到從爆堆礦巖中裝運到選礦廠處理的礦石量的多少,邊際品位定得越高,從單位爆堆中獲得的礦石量就越少,為了滿足選廠對礦石的需求,就必須增加爆堆礦巖量,這種對應關系正好與式(8)所表達的關系是一致的。

記單位爆堆礦巖的成本為 m,所以當邊際上增加 1t礦石時,它的邊界成本就是m。當?shù)V山生產(chǎn)能力一定并提高邊際品位時,礦山所獲得的金屬產(chǎn)量就增多,增加多少則取決于礦石的品位分布,從前面的分析可知,對于某個礦山,可以用生產(chǎn)函數(shù) h(v)來表示其金屬量的產(chǎn)出,這里的 h(v)由礦石品位分布確定,因此,在礦石價格變動情況下,借助式(8)就可以定價或評估采礦邊際品位優(yōu)化調整后的礦山價值。

當邊際品位為α時,按照礦山生產(chǎn)能力所需要的爆堆礦巖量為 Qα,設 h(Qα)為金屬量生產(chǎn)函數(shù),則有:

式中:Q——選礦生產(chǎn)能力(常數(shù));

ε——回收率(常數(shù));

b——常數(shù)。

式(9)即為金屬產(chǎn)量和爆堆礦巖量間的函數(shù)關系。將式(9)代入式(3)可得礦山利潤函數(shù)關系式:

將上式對 Qα求導,并令其等于零,有:

由此式解得 Qα為:

上式即為在礦石價格變動情況下,最優(yōu)的爆堆礦巖量計算式。因此有最大利潤函數(shù)式:

根據(jù)式(2),可得:

式(11)求解起來很復雜,為了簡化計算,在這里利用經(jīng)濟學中的一維柯布道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)[5]來近似金屬量生產(chǎn)函數(shù),即:

為了進一步簡化模型,可以不考慮入選成本 c和企業(yè)固定費用 f,因為它們與邊際品位的調整沒有關系。在這里只需考慮爆堆礦巖成本 m,所以,礦山利潤可表達為:

解得最優(yōu)的 Qα為:

對應的金屬產(chǎn)出量為:

由式(7)可得:

令 Φ=(1-lθ)(lθ/m)θ/(1-θ)

根據(jù)式(8),可構建出露天礦山價值的經(jīng)濟數(shù)學模型為:

式中:Φ′=(1-lθ)(lθ/m)θ/(1-θ)

h(Qα)噸金屬賣出后的收益為:

令 V(K)=V(K) ′,即

Φ′Kγ/δ′=QαεK,解得 :

式(14)即為最優(yōu)邊際品位的計算式,礦山以此邊際品位為根據(jù)來進行采礦活動,能夠使礦山利潤最大化。

3 案例分析

某金屬露天礦單位爆堆礦巖成本m=10元/t,單位礦石入選成本 c=10元 /t,礦山固定費用 f=1950萬元,選場處理礦石能力 Q=150萬 t/a,選礦回收率ε=95%,精礦價格 K=6000元 /t,邊際品位α=1.2%,無風險利率 r=0.8,標準差σ=0.15,rδ=0,b=300。

假設該金屬露天礦礦體品位分布函數(shù)為負指數(shù)函數(shù),那么由式(9)知,該礦金屬量生產(chǎn)函數(shù)為:

Qα和 h(Qα)存在一一對應關系,對 Qα取不同的值,就能得出不同 h(Qα)(見表1)。

表1 爆堆礦巖量與金屬產(chǎn)量對應關系

對金屬產(chǎn)量進行線性擬合,得該礦生產(chǎn)函數(shù)為:

所以,γ=1.5,δ′=0.0716,Φ′Kδ=5102(萬元)于是:

V(K)K=6000=71229(萬元)

扣除選礦費用和固定費用后,該礦項目價值為:

V(K)=71229-(1950+10×150)×1/0.08=28034(萬元)

按式(13)計算,其年利潤為 1797萬元,按式(12)計算,并以 0.08進行折現(xiàn)后,其年利潤為 2243萬元。所以,運用本文所建模型來決策礦山邊際品位,能夠使礦山多盈利約 446萬元。

4 結 論

本文運用實物期權理論建立了露天采礦邊際品位最優(yōu)化的數(shù)學模型,這一模型充分地體現(xiàn)了采礦邊際品位的經(jīng)濟意義,實現(xiàn)了礦山企業(yè)追求利潤最大化目標。在市場經(jīng)濟條件下,該模型為礦山的采礦品位決策提供了一個新的有效的途徑。

[1] 海躍華,何 琦.七寶山金礦合理邊際品位研究[J].礦冶工程,2009,3:8～12.

[2] 劉玉平.金融學[M].上海:復旦大學出版社,2007.

[3] 廖 奕.金融學[M].北京:機械工業(yè)出版社,2008.

[4] 張順堂.金屬礦山經(jīng)營參數(shù)動態(tài)優(yōu)化綜合模型研究[J].礦業(yè)研究與開發(fā),2005,25(3):1～2.

[5] 臧良運.西方經(jīng)濟學[M].北京:科學出版社,2008.

2010-05-18)

郝全明(1957-),男,內蒙古包頭人,教授,碩士生導師,主要從事礦業(yè)系統(tǒng)工程、采礦工藝與技術、礦業(yè)技術經(jīng)濟等研究。