簡(jiǎn)單雙足被動(dòng)行走模型仿真和分析

胡運(yùn)富，朱延河，吳曉光，趙 杰

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)器人研究所，哈爾濱150001，huyunfu134@yahoo.com.cn)

傳統(tǒng)雙足機(jī)器人的研究主要是基于ZMP 穩(wěn)定判據(jù)和工業(yè)機(jī)器人軌跡跟蹤的控制方法［1］.這些機(jī)器人依賴于大力矩，高增益反饋的驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)以及上層的軌跡規(guī)劃和姿態(tài)平衡控制.復(fù)雜的控制和驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)以及過高的能量消耗限制了此類機(jī)器人的實(shí)用化.相對(duì)于傳統(tǒng)機(jī)器人而言，被動(dòng)步行機(jī)器人以其結(jié)構(gòu)和控制簡(jiǎn)單，步態(tài)自然，節(jié)能和在非結(jié)構(gòu)化環(huán)境中具有更好的移動(dòng)能力等特點(diǎn)引起廣大學(xué)者的極大關(guān)注［2］.

Mochon 和McMahon 研究?jī)H依靠重力下坡的機(jī)器人［3］，指出人類在行走過程中，部分依靠了重力來驅(qū)動(dòng)擺動(dòng)腿運(yùn)動(dòng)，這與雙擺很相似.在1989 年，McGeer 發(fā)現(xiàn)［4-5］:完全不用驅(qū)動(dòng)和控制的機(jī)器人也能實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定的步行運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而提出了“被動(dòng)動(dòng)力步行”概念.在此之后，許多人開始對(duì)被動(dòng)機(jī)器人進(jìn)行了研究，Garcia［6］，Collins［7］等還對(duì)機(jī)器人行走的參數(shù)匹配問題進(jìn)行了研究.近年來美國(guó)Cornell 大學(xué)［8］，MIT［9］和荷蘭的Delft 大學(xué)［10］在被動(dòng)機(jī)器人研究方面成績(jī)突出［11］.被動(dòng)機(jī)器人具有自然的步態(tài)和類似于人類步行的能量效率，通過研究被動(dòng)步行可以更好地挖掘人類步行的本質(zhì).然而，被動(dòng)機(jī)器人理論研究尚不成熟，理論模型與實(shí)際樣機(jī)差異大，且所有的分析只能建立在機(jī)器人能成功行走的基礎(chǔ)上.

本文以此為出發(fā)點(diǎn)，從被動(dòng)機(jī)器人模型的建立、仿真過程和運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，都給出了詳細(xì)的闡述;利用數(shù)值仿真的結(jié)論，在Adams 中對(duì)實(shí)際樣機(jī)模型進(jìn)行驗(yàn)證，給出了從機(jī)器人建模到能行走的全過程分析;這將有助于快速理解被動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)，為進(jìn)一步深入研究被動(dòng)機(jī)器人打下基礎(chǔ).

1 模型

建立的最簡(jiǎn)單的被動(dòng)行走機(jī)器人模型如圖1，由兩個(gè)剛性的直腿并通過一個(gè)被動(dòng)鉸鏈聯(lián)結(jié).該模型中的兩個(gè)直腿具有完全相同的質(zhì)量和幾何參數(shù)，不同于以往研究的點(diǎn)足模型(點(diǎn)足模型與實(shí)際機(jī)器人差異很大)，該模型每條腿的質(zhì)量都是均勻分布的，大小為m，其相對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量均為J;腿長(zhǎng)均為l;質(zhì)心距離髖關(guān)節(jié)的距離為c;考慮到運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性，采用圓弧足，半徑為r.

圖1 簡(jiǎn)單被動(dòng)行走模型

為使仿真可行，作如下假設(shè):

1)腿是剛性的，沒有彈性變形且髖關(guān)節(jié)為無阻尼無摩擦;

2)將足與地面的碰撞理想化，認(rèn)為圓弧足不發(fā)生變形和滑動(dòng)，且碰撞是瞬時(shí)的，完全非彈性碰撞，無打滑和彈起現(xiàn)象;

3)認(rèn)為地面是剛性的、平坦的，且有小角度的斜坡.

2 動(dòng)力學(xué)建模

給定初始條件，該簡(jiǎn)單被動(dòng)動(dòng)力模型在重力和自身的慣性作用下，可沿小坡度的斜面穩(wěn)定地向下行走.其每一步運(yùn)動(dòng)過程可分為如下兩部分:

1)當(dāng)擺動(dòng)腿離開地面時(shí)，支撐腿繞支撐足做倒立擺運(yùn)動(dòng)(支撐足與地面是純滾動(dòng))，而擺動(dòng)腿則繞髖關(guān)節(jié)做單擺運(yùn)動(dòng)，準(zhǔn)確的描述是該擺動(dòng)腿繞沿著弧線軌跡運(yùn)動(dòng)的支點(diǎn)做單擺運(yùn)動(dòng).此過程為連續(xù)運(yùn)動(dòng)階段.顯然該過程中只有重力做功，故其總的機(jī)械能是守恒的.

為使所建立的動(dòng)力學(xué)方程適用性更廣，將方程無量綱化:令KJ=J/ml2，Kr=r/l，KC=c/l，且將時(shí)間無量綱化為;由拉格朗日方程推導(dǎo)該階段的動(dòng)力學(xué)方程，可得

其中:

2)當(dāng)擺動(dòng)腿與地面碰撞后，擺動(dòng)腿和支撐腿角色互換，同時(shí)碰撞是瞬時(shí)的，完全非彈性(擺動(dòng)足與地面無滑動(dòng))，故在碰撞前后，兩腿角速度發(fā)生變化，而兩腿角度不變，系統(tǒng)滿足角動(dòng)量守恒.現(xiàn)可基于角動(dòng)量守恒方程，描述碰撞過程:設(shè)碰撞瞬間前后分別用上角標(biāo)“-”和“+”表示，系統(tǒng)角動(dòng)量用L 表示.

對(duì)于碰撞點(diǎn)B 和髖關(guān)節(jié)H 角動(dòng)量守恒:

由前述分析知:

該無膝被動(dòng)模型的擺動(dòng)方程和碰撞方程構(gòu)成了一個(gè)完整步態(tài)周期的動(dòng)力學(xué)模型，為后續(xù)的仿真和穩(wěn)定性分析打下基礎(chǔ).

3 MATLAB 數(shù)值仿真

只要設(shè)計(jì)的模型參數(shù)合理，并且所給的初始條件恰當(dāng)，該模型就能形成穩(wěn)定的行走步態(tài).現(xiàn)通過具體例子說明Matlab 仿真的過程.如設(shè)計(jì)的模型幾何參數(shù)如表1.

表1 每條腿的參數(shù)

非線性系統(tǒng)對(duì)初值極其敏感，且能控制的只是其初始條件，其以后的運(yùn)動(dòng)是可預(yù)知的被動(dòng)運(yùn)動(dòng).以機(jī)器人兩腳同時(shí)著地且碰撞發(fā)生后的瞬間為初始狀態(tài).被動(dòng)動(dòng)力行走機(jī)器人對(duì)初始狀態(tài)有嚴(yán)格的要求，它應(yīng)該滿足這樣的條件:機(jī)器人擺動(dòng)腿的初始傾角及角速度在完成一個(gè)完整步態(tài)周期后，應(yīng)具有與其上一步相同或相近的傾角和速度，從而可以實(shí)現(xiàn)周期性的行走運(yùn)動(dòng).其初始狀態(tài)可由3 個(gè)獨(dú)立的參數(shù)來表示，即

對(duì)機(jī)器人每個(gè)完整步態(tài)包括2 次碰撞.機(jī)器人穩(wěn)定行走時(shí)，在一個(gè)周期中重力所做的功ΔEP應(yīng)等于這兩次碰撞造成動(dòng)能的損失ΔEP.

其中λ 為步長(zhǎng).

通常采用迭代的方法尋找能使被動(dòng)行走機(jī)器人穩(wěn)定行走的初值，但是迭代初值的選取帶有隨機(jī)性，合適的迭代初值很難選取.若選取不好則迭代難于收斂，無法獲得仿真初值.對(duì)于該被動(dòng)行走模型的動(dòng)力學(xué)方程，通過能量分析的方法，利用方程(3)尋找迭代初值范圍.在該范圍取φ01=(0.133 61，-1.390 00，-1.310 00).在Matlab 中作出仿真曲線，如圖2 所示.

圖2 中反映了該模型運(yùn)動(dòng)前15 步的曲線變化，實(shí)線和虛線分別對(duì)應(yīng)圖1 中的腿1 和腿2.可看出該模型在經(jīng)過前幾步調(diào)整后，運(yùn)動(dòng)逐漸穩(wěn)定.上圖中的小圓圈“o”分別表示雙足同時(shí)著地時(shí)各腿所對(duì)應(yīng)的角度和角速度.

從圖2(a)中可看出擺動(dòng)腿的角位移變化幅度大，而支撐腿的角位移變化幅度小，雙腿重合時(shí)角位移大于零，這說明雙腿在所行走的斜面垂直位置左側(cè)重合.對(duì)于擺動(dòng)腿在一個(gè)周期內(nèi)的角度變化曲線可以看出:擺動(dòng)腿離地時(shí)首先有個(gè)反向回?cái)[的過程，然后向前擺動(dòng)，最后回落與地面碰撞.

從圖2(b)中可看出支撐腿的角速度時(shí)刻小于擺動(dòng)腿的角速度.擺動(dòng)腿的角速度變化范圍比較大，從負(fù)值到正值，再減小到負(fù)值;而支撐腿的角速度始終為負(fù)值，這說明支撐腿是始終向前運(yùn)動(dòng)的.碰撞時(shí)兩腿速度的絕對(duì)值同時(shí)減小，故此刻機(jī)器人動(dòng)能是減小的.

圖2 雙腿運(yùn)動(dòng)狀態(tài)隨時(shí)間的變化曲線

圖3(a)反映了該被動(dòng)模型在所給的初始條件下，腿1 隨時(shí)間變化的相圖，每個(gè)線圈對(duì)應(yīng)一個(gè)完整步態(tài)，該圖中體現(xiàn)了模型運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)階段:A點(diǎn)為初始狀態(tài)，從A 到B 階段為腿1 是支撐腿階段;在B 點(diǎn)擺動(dòng)腿(腿2)與地面碰撞造成支撐腿(腿1)角速度突變(絕對(duì)值變小)，同時(shí)支撐腿和擺動(dòng)腿角色互換，故從B 到A 腿1 為擺動(dòng)腿階段，在A 點(diǎn)腿1 與地面碰撞其角速度突變(絕對(duì)值變小)，此時(shí)兩腿角色再次互換.從圖中還可看出腿1 作為支撐腿時(shí)因擺動(dòng)腿與地碰撞造成的速度損失要大于其自身作為擺動(dòng)腿時(shí)與地面碰撞造成的速度損失.經(jīng)過前2 圈的調(diào)整后，腿1 的狀態(tài)隨時(shí)間變化，收斂到同一個(gè)線圈中，這是后面要說的“極限環(huán)”，它反應(yīng)了該機(jī)器人的行走能呈現(xiàn)穩(wěn)定步態(tài).

圖3 腿1 的相圖

當(dāng)經(jīng)過幾個(gè)步態(tài)后，如果機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)在其對(duì)應(yīng)的相圖中重復(fù)在一個(gè)環(huán)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，該機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)就是穩(wěn)定的，該環(huán)線即為“極限環(huán)”.該環(huán)線上所對(duì)應(yīng)的起始點(diǎn)為“不動(dòng)點(diǎn)”;如果所給的初始條件偏離不動(dòng)點(diǎn)在一個(gè)小的范圍內(nèi)，那么經(jīng)過若干步后，機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)相圖軌跡會(huì)回到“極限環(huán)”上，形成穩(wěn)定步態(tài).那么多小的范圍能保證運(yùn)動(dòng)收斂到極限環(huán)?這就需要求該不動(dòng)點(diǎn)的吸引盆，這不在本文討論范圍內(nèi).

現(xiàn)考慮如何求不動(dòng)點(diǎn).假設(shè)“相空間”中的不動(dòng)點(diǎn)為φfP，由于系統(tǒng)強(qiáng)的非線性，故可以用非線性函數(shù)S 來表示空間中的點(diǎn)

這里的S 是包括碰撞在內(nèi)的一次完整的動(dòng)態(tài)步行的表達(dá)式，它反映了φn+1和φn之間的關(guān)系，所有的初始條件可以寫為不動(dòng)點(diǎn)和偏差的和:

雖然S 高度非線性，但對(duì)于偏離不動(dòng)點(diǎn)的小的偏差Δφn，仍然可用線性化的方法來估計(jì)相空間

重復(fù)

直到

對(duì)于上面所給的初值φ01= (0.133 61，-1.390 00，-1.310 00)，求得不動(dòng)點(diǎn)為φfP=(0.133 61，-1.429 90，-1.273 00)，將該不動(dòng)點(diǎn)作為模型運(yùn)動(dòng)的初始條件，由圖3(b)知此時(shí)腿1 的相圖軌跡完全重復(fù)同一個(gè)線圈，此線圈也為腿1 所在相平面的“極限環(huán)”.

圖4 從能量的角度給出了模型在運(yùn)動(dòng)過程中，動(dòng)能、勢(shì)能及其總的機(jī)械能的變化曲線，從圖中可以看出:在一步過程中，動(dòng)能是先減小，后增大，再減小，最后再增大;而勢(shì)能的曲線變化趨勢(shì)正好相反，這說明擺動(dòng)腿和支撐腿之間存在某種耦合關(guān)系.每步結(jié)束時(shí)的動(dòng)能幾乎和該步開始時(shí)的動(dòng)能大小一樣;每步結(jié)束時(shí)的勢(shì)能幾乎相當(dāng)該步開始時(shí)的勢(shì)能的等差遞減.在每一步的擺動(dòng)階段，因?yàn)橹挥兄亓ψ龉?，故總的機(jī)械能守恒;在碰撞階段，因?yàn)閯?dòng)能突變，而勢(shì)能不變，故總的機(jī)械能也突變(減小).在一個(gè)完整的步態(tài)周期中，重力對(duì)系統(tǒng)所做的功等于因碰撞損失的動(dòng)能.

圖4 模型運(yùn)動(dòng)過程中能量變化曲線

4 Adams 仿真驗(yàn)證

由于雙足被動(dòng)行走機(jī)器人系統(tǒng)是復(fù)雜的非線性動(dòng)力系統(tǒng)，建立其動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型時(shí)需要對(duì)機(jī)械結(jié)構(gòu)參數(shù)、行走環(huán)境參數(shù)進(jìn)行簡(jiǎn)化、優(yōu)化，而ADAMS 的仿真環(huán)境更逼近實(shí)際的實(shí)物試驗(yàn)環(huán)境.為了驗(yàn)證以上所分析的結(jié)果對(duì)以后實(shí)際物理樣機(jī)的成功行走有實(shí)際的指導(dǎo)意義，可將由Matlab 求出的不動(dòng)點(diǎn)

帶入Adams 的虛擬樣機(jī)中作為初始條件，來驗(yàn)證分析的合理性.

根據(jù)圖1 的模型，設(shè)計(jì)出該模型相對(duì)應(yīng)的實(shí)際的物理樣機(jī)造型，其可通過兩對(duì)對(duì)稱的腿做成一個(gè)“兩直腿”模型如圖5 所示.該模型的建立，解決了模型行走過程中側(cè)向平衡問題;同時(shí)圖中棋盤路面的設(shè)計(jì)，避免了運(yùn)動(dòng)過程中擺動(dòng)腿與地面相碰的“擦地”現(xiàn)象.下面在Adams 中通過一些仿真曲線來分析樣機(jī)模型的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn).

圖5 Adams 虛擬樣機(jī)仿真模型

從圖6(a)可以看出經(jīng)過及其短暫的調(diào)整(幾乎不用調(diào)整)，機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)很快收斂到“極限環(huán)”上，呈現(xiàn)穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng).可見，通過數(shù)值仿真獲得的不動(dòng)點(diǎn)，可作為相應(yīng)的實(shí)際的樣機(jī)行走的初值條件.

從圖6(b)中可看出，在同一完整步態(tài)周期中，腿1(實(shí)線)作為擺動(dòng)腿時(shí)角速度極值大于腿2(虛線)作為擺動(dòng)腿時(shí)的角速度極值，可見雖然腿1 和腿2 在結(jié)構(gòu)上是對(duì)稱的，但在實(shí)際的運(yùn)動(dòng)過程中表現(xiàn)出的運(yùn)動(dòng)形態(tài)并不對(duì)稱.

圖6 雙腿運(yùn)動(dòng)狀態(tài)隨時(shí)間的變化關(guān)系曲線

圖7 中實(shí)線為腿2 的足距離地面的高度，兩條虛線為兩腿運(yùn)動(dòng)過程中的角度曲線.當(dāng)高度小于0時(shí)，說明腿2 在擺動(dòng)過程中足有“擦地”現(xiàn)象，該現(xiàn)象起始于C 點(diǎn)，在E 點(diǎn)處結(jié)束，圖中D 點(diǎn)兩腿角度相等，即兩腿重合，可見“擦地”發(fā)生在兩腿重合之前;“擦地”現(xiàn)象在實(shí)際的機(jī)器人行走中是不允許的，而棋盤狀路面的運(yùn)用，可避免這種現(xiàn)象.

圖7 穩(wěn)定行走時(shí)雙腿角度變化曲線和腿2 的足距地面高度

5 結(jié) 論

1)采用拉格朗日法建立了簡(jiǎn)單兩桿直腿圓弧足機(jī)器人行走步態(tài)的數(shù)學(xué)模型.

2)Matlab 仿真分析并得出了理想化模型能夠行走的初值條件、運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)和運(yùn)動(dòng)過程中的能量變化關(guān)系，體現(xiàn)了雙足機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)特征.

3)將Matlab 仿真結(jié)果作為Adams 仿真的初始條件，獲得了更加接近真實(shí)機(jī)器人樣機(jī)穩(wěn)態(tài)行走步態(tài)分析.而且在此虛擬樣機(jī)平臺(tái)上，可方便地進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化和性能預(yù)測(cè)，提早發(fā)現(xiàn)設(shè)計(jì)問題，減少時(shí)間和經(jīng)費(fèi)的消耗，也可減少對(duì)物理樣機(jī)的危險(xiǎn)操作.

4)仿真所提供的腿的長(zhǎng)度、質(zhì)量以及質(zhì)心位置等參數(shù)，為最終做出物理樣機(jī)，成功在路面行走奠定了基礎(chǔ).

［1］ESPIAN B，SARDAIN P.The anthropomorphic biped robot B IP2000［C］//Proceedings of the 2000 IEEE Conference on Robotics and Automation.San Francisco，CA:［s.n.］，2000:3997-4002.

［2］HUANG Q，YOKOI K，KAJITA S，et al.Planning walking pattems for a biped robot［J］.IEEE Transactions on Robotics and Automation，2001，17(3):280-289.

［3］MOCHON S，MCMAHON T A.Ballistic walking［J］.Biomechan，1980，13:49-57.

［4］MCGEER T.Passive dynamic walking［J］.International Journal of Robotics Research，1990，9(2):62-82.

［5］MCGEER T.Passive dynamic biped catalogue［C］//Proc Experiment Robotics II:The 2nd International Symposium.Berlin:Springer-Verlag，1992:465-490.

［6］GARCIA M，CHATTERJEE A，RUINA A，et al.The simplest walking model:stability，compiexity，and scaling［J］.ASME Journal of Biomechanic Engineering，1998，120(2):281-288.

［7］COLLINS S H，WISSE M，RUINA A.A 3-d passive dynamic walking robot with two legs and knees［J］.International Journal of Robotics Research，2001，20(7):607-615.

［8］COLLINS S H，RUINA A.A bipedal walking robot with efficient and human-like gait［C］//Proceedings of the IEEE Conferenceon Robotics and Automation.Piscataway，NJ，USA:IEEE，2005:1983-1988.

［9］TEDRAKE R，ZHANG T W，SEUNG H S.Stochastic policy gradient reinforcement learning on a simple 3D biped［C］//Proceedings of the IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems.New York，NY，USA:IEEE，2004:2849-2854.

［10］SCHUITEMA E，HOBBELEN D G E，JONKER P P，et al.Using a controller based on reinforcement learning for a passive dynamic walking robot［C］//Proceedings of the IEEE/RAS International Conference on Humanoid Robots.New York，NY，USA:IEEE，2005:232-237.

［11］COLLINS S，RUINA A.Efficient bipedal robots based on passive-dynamic walker［J］.Science Magazine，2005，307:1082-1085.