基于Lévy過程的滬深300指數(shù)建模*

許業(yè)友

(華南理工大學(xué) 金融工程研究中心， 廣東 廣州 510006)

資產(chǎn)定價是數(shù)理金融學(xué)的重要內(nèi)容， 涉及到證券及其衍生產(chǎn)品的定價、 利率期限結(jié)構(gòu)理論。金融衍生產(chǎn)品定價過程中， 需要對標的資產(chǎn)的價格運動過程作出假設(shè)。著名的Black-Scholes期權(quán)定價模型就假設(shè)標的資產(chǎn)價格過程為幾何布朗運動， 也就是資產(chǎn)收益率服從正態(tài)分布。該模型在一系列嚴格假設(shè)的基礎(chǔ)上， 得出了數(shù)學(xué)上近乎完美的歐式看漲期權(quán)的閉形解析公式。但正態(tài)分布對市場數(shù)據(jù)的擬合出現(xiàn)較大偏差， Black-Scholes期權(quán)定價模型受到質(zhì)疑。實證研究表明金融資產(chǎn)的對數(shù)收益率的概率密布分布具有比正態(tài)分布大的峰度， 是有偏分布。收益率的波動率具有聚類現(xiàn)象， 并不為常數(shù)。為了更好地描述資產(chǎn)價格運動過程， 必須尋找能擬合市場的有偏、 超出峰度和波動率聚類等特征的分布。Lévy過程正是在這樣的背景下被引入到金融應(yīng)用中。本文擬利用Lévy過程中的Meixner過程對滬深300指數(shù)進行擬合， 并與正態(tài)分布進行比較。

一、 文獻綜述

大量實證研究表明股票市場收益率不符合正態(tài)分布， 而是明顯偏離正態(tài)分布， 具有尖峰和厚尾等特性。Osborne在1964年描繪股票市場收益率的密度函數(shù)時， 就注意到了密度函數(shù)的尾部比本來應(yīng)有的“近似正態(tài)”形狀要肥胖； Cootner主編的經(jīng)典文集《股票市場價格的隨機性》發(fā)表后， 一般人都接受了價格變化的分布形狀具有肥胖的尾部這一事實， 但對此正態(tài)性形狀的偏離含義卻無定論； Mandelbrot在1964年提出了收益率可能屬于“穩(wěn)定帕雷托”分布， 這種分布具有無定義或無限的方差， 嚴重動搖了股票市場收益率或價格變化的近似正態(tài)分布假說； Falma在1965年完整研究了股票日收益率， 發(fā)現(xiàn)收益率是負偏斜的， 在左邊的尾部比在右邊的尾部有更多的觀測值； Sharpe在《資產(chǎn)組合理論和資本市場》中也注意到了這一點； Turner和Weigel在1990年對1928-1990年的S&P指數(shù)的日收益率進行了研究， 發(fā)現(xiàn)與正態(tài)分布相比較， S&P指數(shù)的日收益率分布是負偏斜的， 在均值附近有更大的收益率頻數(shù)等。市場價格的非正態(tài)分布特性并不限于美國股票市場， Sterge在對歐洲美元合約的期貨價格的研究中發(fā)生了同樣的尖峰態(tài)分布， 非常大的價格變化出現(xiàn)次數(shù)相當于正態(tài)分布所預(yù)言的兩到三倍(Peters， EE.， 1994)。[1]

相關(guān)文獻對利用具體的Lévy過程擬合股票收益率作了詳細的研究。Madan and Seneta (1987， 1990)建議使用方差伽瑪過程(Variance Gamma process， VG process)。Eberlein和Keller (1995) 建議雙曲模型(Hyperbolic Model)， 而Barndorff Nielsen (1995)則選擇正態(tài)逆高斯分布。在一系列文獻中， Eberlein和他的合作者建立了廣義雙曲模型(Generalized Hyperbolic Model)， 前述三種模型是廣義雙曲模型的特例。Carr et al.(2002)引入CGMY模型， 有些研究人員也稱其為KoBoL模型。Schoutens(2002)利用Meixner過程對世界主要股票指數(shù)進行擬合， 相對于正態(tài)分布擬合， 取得了明顯的改進效果。[2]

國內(nèi)實證研究方面， 王新宇等(2006)分別采用穩(wěn)定分布、 漸近帕累托分布和截斷列維分布擬合中國股票市場收益統(tǒng)計分布， 對我國滬深股市收益的統(tǒng)計分布特征和市場風(fēng)險規(guī)律進行了定量比較研究。實證研究發(fā)現(xiàn)中國股市收益分布的中間部分適合用穩(wěn)定分布描述， 分布的尾部適合用尾部指數(shù)大于2 的漸近帕累托分布描述， 即是具有尖峰厚尾特征的有限方差不對稱分布， 揭示出中國股市中高收益事件比低收益事件發(fā)生的更為頻繁， 深圳市場比上海市場的投資風(fēng)險要高。[3]李道葉(2007)則在非線性框架下研究了我國股市收益率特征。結(jié)論認為： 第一， 我國股票市場價格收益率行為不符合有效市場假定， 收益率分布存在明顯尖峰厚尾行為， 收益率存在長期相關(guān)性與持續(xù)性。第二， 我國股票市場價格收益率行為存在周期性現(xiàn)象， 具有一定數(shù)量的非規(guī)則周期。第三， 異方差模型在我國股票市場能得到很好的擬合， 好壞消息對指數(shù)收益率變化的沖擊是不對稱的， 交易成本的上調(diào)對股票市場價格波動性有明顯的影響， 而下調(diào)則影響甚微。第四， 如果把股票市場視為一個復(fù)雜性系統(tǒng)， 分形與混沌等理論檢驗表明我國股票市場價格收益率具有明顯非線性特征， 最少可用4個狀態(tài)變量建立滬深兩市大盤指數(shù)價格序列系統(tǒng)模型。第五， 兩市股價波動具有明顯的時變性、 聚類性及共動性， 風(fēng)險與收益間關(guān)系不顯著； 用ARIMA模型對我國股票市場收益率波動預(yù)測效果一般。[4]

馮雅琴等(2005)利用Esscher變換和風(fēng)險中性Esscher測度探討了復(fù)合泊松過程和Meixner過程驅(qū)動的歐式看漲期權(quán)定價公式。陳旭(2007)利用幾何Lévy過程研究了從屬市場的期權(quán)定價， 以及交換期權(quán)和外匯期權(quán)的定價問題。萬建平(2007)研究了基于雙指數(shù)跳擴散模型的可轉(zhuǎn)換債券定價。[5]

二、 滬深300指數(shù)的經(jīng)驗特征

滬深300指數(shù)是由上海和深圳證券市場中選取300只A股作為樣本編制而成的成份指數(shù)， 指數(shù)基期是2004年12月31日， 指數(shù)基點1000點。滬深300指數(shù)是上海證券文易所和深圳證券交易所第一次聯(lián)合發(fā)布的反映A股市場整體走勢的指數(shù)。它的推出， 豐富了市場現(xiàn)有的指數(shù)體系， 增加了一項用于觀察市場走勢的指標， 有利于投資者全面把握市場運行狀況， 也進一步為指數(shù)投資產(chǎn)品的創(chuàng)新和發(fā)展提供了基礎(chǔ)條件。我國擬推出的股指期貨就將以其為標的資產(chǎn)。研究滬深300指數(shù)的收益分布特征， 選擇合適的模型進行擬合， 對將來充分利用股指期貨套期保值功能、 有效規(guī)避股票現(xiàn)貨市場價格波動風(fēng)險來說， 具有重要的現(xiàn)實意義。

(一)數(shù)據(jù)描述

本文的研究對象為滬深300指數(shù)收益率序列。樣本周期為2005年4月8日至2009年10月22日， 共1104個觀測值， 然后把樣本數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為連續(xù)復(fù)利日收益率， 得到樣本容量為1103的收益率序列。統(tǒng)計分析表明， 滬深300指數(shù)收益率序列的分布具有超出峰度、 有偏等特征， 也具有其它金融序列中常見的波動聚類現(xiàn)象。

圖1 滬深300指數(shù)日對數(shù)收益率序列

表1是樣本收益率的描述性統(tǒng)計特征。樣本期間， 滬深300指數(shù)的日均收益率為0.11%， 年度化波動率為35%， 超出峰度5.04， 偏度0.018。

表1 樣本收益率的統(tǒng)計特征

(二)經(jīng)驗分布

為了獲得滬深300指數(shù)的經(jīng)驗概率密度分布， 本文采用高斯核密度估計方法估計其經(jīng)驗分布。估計的密度函數(shù)如下；

(1)

圖2給出了樣本的高斯核估計密度分布和正態(tài)分布(以樣本均值為均值， 樣本方差為方差的正態(tài)分布)。從圖中可知， 正態(tài)分布在擬合樣本數(shù)據(jù)方面， 尤其是對峰度的擬合， 表現(xiàn)出很大的差距。

圖2 樣本的核密度估計和正態(tài)分布密度

三、 Lévy過程建模

(一)Lévy過程的定義

具有連續(xù)樣本路徑的Brownian運動和純跳的Poisson過程均屬于Lévy過程。Lévy過程最本質(zhì)的特征是具有平穩(wěn)獨立增量。首先我們給出Lévy過程的定義。

令X=(X(t),t≥0)為一定義在概率空間(Ω， F，P)上的實值隨機過程， 若它滿足：

(1) 對?n≥1和0≤t0

(2)X(0)=0a.s，

(3)X(s+t)-X(s)的分布不依賴于s，

(4)X隨機連續(xù)， 即對?a>0,s≥0，

(2)

則X是一Lévy過程。

Lévy過程是具有無窮可分(infinitely divisible)分布函數(shù)的隨機過程。記Lévy過程的特征函數(shù)為φX(u)=E(eiuX)， 則累積量(cumulant)特征函數(shù)Ψ(u)=logφX(u)， 也稱為特征指數(shù)， 滿足Lévy-Khintchine公式：

(3)

其中，γ∈R，σ2≥0，ν是列維測度。(γ，σ2，ν(dx))稱為列維特征三元組。

從Lévy-Khintchine公式可知， 一個Lévy過程由三個部分組成： 線性確定性部分、 布朗運動和純跳躍過程， Lévy測度控制跳是如何發(fā)生的。

(二)Meixner過程

Lévy過程在應(yīng)用中產(chǎn)生了很多具體的概率密度分布， 如VG分布、 NIG分布、 CGMY分布、 Hyperbolic Model， 以及Meixner分布。文獻[2]利用多個分布對多個股票指數(shù)建模， 發(fā)現(xiàn)Meixner過程對指數(shù)的擬合較好。本文選擇Meixner過程對滬深300指數(shù)的收益率系列進行建模。

Meixner過程源自正交多項式理論， 首先由Schoutens和Teugels(1998)提出， Grigelionis(1999)認為Meixner過程可以更好的擬合股票收益率。Meixner過程的分布密度函數(shù)為：

fMeixner(x;a,b,d,m)

(4)

其中a>0； -π 0，m為實數(shù)。Meixner過程的特征函數(shù)為：

φMeixner(u;a,b,d,m)

(5)

Meixner過程的Lévy特征三元組為(γ， 0，v(dx))， 其中：

(6)

(7)

從Meixner過程的Lévy特征三元組可知， Meixner過程是不含布朗運動的純跳躍過程。 表2給出了Meixner分布的均值等數(shù)字特征量的參數(shù)表達式。 從公式可知， 當參數(shù)b=0時， Meixner分布為對稱分布(未進行均值校正)， 均值和偏度為零。

表2 Meixner過程的數(shù)字特征

(三)市場模型與擬合

假設(shè)金融市場中風(fēng)險資產(chǎn)的價格運動過程St=S0exp(Xt)， 其中Χ={Χt，t≥0}為Meixner過程。因此該模型中風(fēng)險資產(chǎn)的對數(shù)收益率log(St+1/St)是一個具有獨立和平穩(wěn)分布增量的隨機序列， 即服從Meixner分布的隨機過程。本文采用Meixner過程對樣本數(shù)據(jù)的收益率序列進行擬合。首先用最大似然估計法(MLE)對Meixner分布的參數(shù)進行了估計， 結(jié)果如表3。

表3 Meixner分布的參數(shù)估計

圖3 樣本的核密度估計和擬合的Meixner分布

圖3是根據(jù)估計的Meixner分布參數(shù)繪出的Meixner分布的概率密度函數(shù)。為了便于比較， 也繪制了樣本數(shù)據(jù)的高斯核估計分布密度。與圖2的正態(tài)分布相比， Meixner分布較好地擬合了樣本數(shù)據(jù)的超出峰度、 偏度和半厚尾現(xiàn)象。

滬深300指數(shù)作為我國未來股指期貨的標的資產(chǎn)， 研究其分布特征， 尋找相應(yīng)的隨機過程模擬其隨機行為， 對未來進行股指期貨投資， 構(gòu)建于其上的權(quán)證等衍生產(chǎn)品設(shè)計、 開發(fā)、 投資等具有重要意義。

本文利用滬深300指數(shù)樣本數(shù)據(jù)， 首先用高斯核密度法估計了樣本的經(jīng)驗分布， 證實滬深300指數(shù)收益率序列的分布具有超出峰度、 有偏， 收益率的波動率有聚類特征， 正態(tài)分布在擬合滬深300指數(shù)收益率時出現(xiàn)較大偏差。在此背景下， 提出采用Lévy過程中的Meixner過程對市場進行建模， 并對樣本數(shù)據(jù)進行了擬合。實證結(jié)果表明： Meixner過程能較好地擬合樣本數(shù)據(jù)的超出峰度和偏度。

參考文獻：

[1] Wim Schoutens. The Meixner Process: Theory and Applications [R]. Eindhven: EURANDOM, 2002.

[2] Wim Schoutens. Lévy Processes in Finance [M]. Chichester: WILEY, 2003.

[3] 王新宇. 擬合中國股票市場收益的統(tǒng)計分布 [J]. 系統(tǒng)工程理論與實踐， 2006(12)： 40-46.

[4] 李道葉. 非線性框架下中國股票市場價格收益率特征分析 [D]. 暨南大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院， 2007.

[5] 陳旭. 基于幾何Lévy過程的期權(quán)定價 [D]. 華中科技大學(xué)數(shù)理與統(tǒng)計學(xué)院， 2007.

[6] David Applebaum. Lévy Processes and Stochastic Calculus [M]. London: Cambridge University Press， 2004.

[7] Luis Valdivieso. Maximum likelihood estimation in processes of Ornstein-Uhlenbeck type [J]. Statistical Inference for Stochastic Processes, 2009(12): 1-19.