周期復合材料振蕩系數(shù)雙曲問題的Galerkin多尺度有限元方法

孫艷萍， 宋士倉

(1.河南工程學院 數(shù)理科學系，河南 鄭州 451191; 2. 鄭州大學 數(shù)學系，河南 鄭州 450052)

許多科學和工程中的實際問題都有多尺度解，最典型的例子是具有細小微結構復合材料問題.一方面，由于數(shù)值計算需要巨大的計算存儲空間和CPU工作時間，我們很難直接得到帶有多尺度解問題的數(shù)值模型；另一方面，在實際應用當中，預測多尺度解時常常很難達到較高的精度.因此，各種多尺度方法和均勻化方法[1]逐漸發(fā)展起來，文獻[2]中給出了求解帶有小周期系數(shù)的橢圓混合邊值問題的高低階耦合雙尺度有限元方法，并給出了逼近誤差分析.文獻[3-5]提出的多尺度有限元方法提供了獲得粗糙網(wǎng)格上解的大尺度結構的有效方式，這種方法在計算上有很多優(yōu)點，對粗糙網(wǎng)格問題的求解更實用.

下面利用多尺度有限元方法求解周期復合材料振蕩系數(shù)雙曲問題.

(1)

1 算法構造和主要結果

(2)

(1)的弱形式為： 求uε∈W=

使得

(3)

使得

(4)

(5)

(6)

定理設uε(x,t)是問題(1)的原始解，

(7)

(8)

整理可得:

將上式中的t改為τ，然后關于τ在(0，t)?(0，T)上積分，考慮到eε的初邊值條件和a(.,.)的強制性，由Poincare不等式和帶權的Cauchy不等式可得:

再次利用帶權的Cauchy不等式和Gronwall不等式可得:

從而可得:

由下一節(jié)的引理1，引理6即得結論成立.

2 幾個引理的詳細證明

由文獻(2)可知，問題(1)的均勻化問題為：

(9)

利用(6)中的結論，我們知道問題(1)的漸近展開解為：

u*(x，t)=u0(x，y，t)+εu1(x，y，t)+ε2u2(x，y，t)=

(10)

其中,u0(x，y，t)=u(x，t)為問題(1)的均勻化問題(10)的解，Nkl(y)滿足如下方程：

(11)

同樣,可以假設上述問題的解具有如下展開式：

(12)

其中,uI1(x，t)滿足

(13)

uI0(x，t)滿足問題：

(14)

θIε(x，t)滿足問題：

(15)

利用uI1(x，t)的定義可知

uI0(x，t)=∏hu0x∈K

(16)

(17)

類似的有

(18)

對上面兩式右端前三項逐項進行分析，有如下引理2、3、4、5.

引理2 若u0(x,t),uI0(x,t)分別是問題(10)和(15)的解，則:

(19)

(20)

證明由(3)及插值定理，可以直接得到

引理3 若u1(x,t),uI1(x,t)分別滿足(10)和(13)，則:

(21)

(22)

引理4 若θε(x,t)滿足問題：

證明我們記Ωδ={x∈Ω,dist(x,?Ω)≥δ},并給出截斷函數(shù)ζ(x)，滿足

則在R2中， 0≤ζ(x)≤1;在Ω中，|ζ(x)|≤從而

將上式中的t改為τ，然后關于τ在(0,t)∈(0,T)上積分，考慮到θε的初邊值條件和a(.,.)的強制性，并利用帶權的Cauchy不等式可得:

(23)

(24)

由類似引理1的推導過程可得:

(25)

(26)

(27)

(28)

引理5 若θIε(x,t)是問題(15)的解，則

證明首先注意到問題(15)等價于下述問題：

(29)

類似引理4的證明，可得:

(30)

從而平行于(26)，(27)，(28)可得:

(31)

(32)

(33)

由(30), (31),(32),(33)可得:

所以

證明因為多尺度有限元空間是協(xié)調有限元空間，所以

再由引理2～5，可知引理6成立.

參考文獻：

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[2] CHEN J R, CUI J Z. Two-scale FEM for Elliptic Mixed Boundary Value Problems with Small Periodic Coefficients[J]. J. Comp. Math, 2001, 19(5): 549-560.

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[6] 孫濤，宋士倉.小周期復合材料波傳播問題的一個多尺度漸近展開及其收斂性分析[J]. 工程數(shù)學學報，2009, 26(1):159-162.