對一道奧林匹克競賽試題的再加強及猜想

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(渦陽縣第一中學 安徽渦陽 233600)

對一道奧林匹克競賽試題的再加強及猜想

●張弓長蒲榮飛

(渦陽縣第一中學 安徽渦陽 233600)

2007年女子數(shù)學奧林匹克競賽試題中有這樣一道題目：

已知a,b,c≥0，a+b+c=1，求證：

文獻[1]給出了該題新的證明方法，文獻[2]通過對其證明過程的思考，作了如下加強：

已知a，b，c≥0，a+b+c=1，求證:

而文獻[3]給出了不能再放大的證明.筆者認為其證明過程存在2點值得商榷的地方.

(1)文獻[3]中題3向題4的轉(zhuǎn)化不是等價的.

由于0≤m2≤1，因此要使

恒成立，只需

即

(2)

恒成立.

式(2)是式(1)成立的充分條件，但是利用不等式恒成立求參數(shù)取值范圍要用到的是充要條件，必須是等價轉(zhuǎn)化才行.

(2)題4的處理值得商榷.

題4實質(zhì)上是二次不等式在一個閉區(qū)間上恒成立求參數(shù)取值范圍的問題.不能只用二次項系數(shù)、判別式求解,還應(yīng)考慮對稱軸與區(qū)間的關(guān)系.

1 試題的再加強

筆者進一步探究發(fā)現(xiàn)，該題還可再加強為：

已知a，b，c≥0，a+b+c=1，求證:

證明所證不等式等價于

(3)

又a+b+c=1，式(3)可整理得

(4)

(5)

下面證明不等式(5).

-1≤m≤1,0≤m2≤1，

則

即

又0≤m2≤1，所以

2 探究之后的猜想

[1] 宋慶．一道女子數(shù)學奧林匹克試題的再證[J]．中學數(shù)學，2008(4)：48.

[2] 周園,李青林．對一道奧林匹克競賽試題的“改造”[J]．中學教研(數(shù)學)，2009(1)：45-46．

[3] 李歆．對一道競賽題系數(shù)放大問題的最后證明[J]．中學教研(數(shù)學)，2009(10)：40-41.