角錐天線設(shè)計的非線性方程求解

江軼慧, 張謨杰

(上海無線電設(shè)備研究所,上海200090)

0 引言

角錐喇叭天線的設(shè)計方式通常是根據(jù)增益的指標(biāo),用經(jīng)驗公式估算出一個面的大致尺寸,查閱圖線圖表得到完整的尺寸值,再視計算出的性能接受與否繼續(xù)修正。雖然這樣不難得到一個可供多數(shù)情況下使用的角錐喇叭天線,但是未能做到性能對兩個主面的波束寬度θ0.5H、θ0.5E和增益G這三個指標(biāo)嚴(yán)格意義上的同時滿足。經(jīng)驗公式和圖線的適用范圍有限,得到的喇叭天線并非最佳,造成偏差加大。合理指標(biāo)的界限也從未被設(shè)計人員考察過。

本文從分析角錐喇叭天線的嚴(yán)格公式出發(fā),直接求解逆問題,尋找多維方程的解向量。以該解為尺寸的角錐天線,其性能的理論值能夠滿足任意合理的給定指標(biāo),實現(xiàn)了波束寬度和增益的任意控制。對于方程組無解的情形也能夠明確指出假想的解不存在,即要求的指標(biāo)不可實現(xiàn)。設(shè)計過程因此嚴(yán)格化。

在此基礎(chǔ)上,描畫收斂域的完整圖界并討論解向量的存在性和唯一性。從中看出口面分布,口面利用率,指標(biāo)界限和算法收斂域之間的關(guān)聯(lián)。

設(shè)計并加工、測量了一個S波段角錐天線,證實方法在應(yīng)用層面的效果。

1 基于逆問題求解的綜合方法

1.1 分析公式

根據(jù)角錐喇叭的內(nèi)外場兩步分析法以及口面場等效假定[1],主模工作頻率下喇叭開口面上的場為

等效源輻射的(未歸一化)遠場幅度和增益表達式為

主波束寬度為

其中:

式(6)中:

式中:DH為口面寬邊的長度;DE為口面窄邊的長度;H為喇叭高;R H為 H面斜徑;R E為E面斜徑;λ為工作波長;式(8)為菲涅爾積分。

1.2 約束方程組

選取口面長寬D H,D E和高度 H為決定式(2)和式(6)的獨立變量。將波束寬度(3)看作式(2)的必然結(jié)果,列出波束寬度和增益關(guān)于尺寸的形式表達式,迫使它們等于要達到的指標(biāo),就可建立起一組約束:

式中,左邊項G,θ0.5H和 θ0.5E僅代表增益和波束寬度關(guān)于尺寸D H,D E,H的可解析或不可解析的形式,右邊項G0,θ0.5H 0和θ0.5E0是要求達到的指標(biāo)數(shù)值。從中解出獨立尺寸D H,D E,H,就得到了設(shè)計值。

2 求解方法

方程(9)屬于 N個未知量的N個方程。常用多維方程求根的New ton-Raphson迭代法或由之發(fā)展而來的擬New ton迭代法可以給出其一個精確解[2]。但是,前提是迭代的初始預(yù)測向量必須足夠靠近真實解向量,否則x可能會偏離至無規(guī)則的遠處而使求解失敗。這種對初始值的明顯依賴會造成如下弊端:

a)需要事先獲知解的大致位置;

b)當(dāng)結(jié)果不收斂時,無法判斷是因為初始值取得不夠理想還是該問題本身就無解。

為克服這兩點,本文用New ton-Raphson法結(jié)合一種全局收斂的改進來求解[2],只需粗略的取定D H,D E,H三個尺寸的起始值就能迭代出滿足方程的一組解。

2.1 迭代方法

向量方程:

其中:

Taylor展開為

式中:偏導(dǎo)數(shù)構(gòu)成的Jaccobi矩陣為

忽略δx2及其更高階項,并置F(x+δx)=0,可以得到一個關(guān)于修正項δx的線性方程組:

對式(12)的矩陣方程求出的修正項添加到解向量中:

這一過程不斷迭代直到收斂為止。

2.2 全局收斂改進

引入輔助函數(shù):

沿每一次步長δx方向求f的極小值:

得到相應(yīng) λ,以 λδx代入式(16)中 δx。

2.3 求解結(jié)果

(G,θ0.5H,θ0.5E)對(D H,D E,H)是漸變的,使方程有解的指標(biāo)全體也描劃出一個連續(xù)的三維區(qū)域 ,其邊界使得(G,θ0.5H,θ0.5E)對 D H,D E,H 至少之一趨向一個極限。由此,固定指標(biāo)中的兩個值,允許另一個值變動,計算這一界限的三個兩維投影,如圖1～6所示。

圖1 尺寸隨增益變化(局部放大)

圖2 尺寸隨增益變化

圖3 尺寸隨H面波束寬度變化(局部放大)

圖4 尺寸隨H面波束寬度變化

圖5 尺寸隨E面波束寬度變化(局部放大)

圖中橫軸表示另兩個指標(biāo)固定前提下變動的一個指標(biāo),縱軸表示滿足指標(biāo)的一組尺寸。粗線表示主值,即實用段的尺寸;細(xì)線表示存在的另外多組解,是口面分布畸變后的結(jié)果。圖1,3,5顯示小尺寸結(jié)果;圖2,4,6給出完整結(jié)果。

圖6 尺寸隨E面波束寬度變化

3 結(jié)果分析

3.1 全局收斂

計算結(jié)果體現(xiàn)出該算法的全局收斂特性。只要在工作波長的尺度內(nèi)選擇,三個尺寸的迭代起始點總能收斂到一組結(jié)果,表現(xiàn)出足夠?qū)挿秶鷥?nèi)的全局收斂特性。雖然不會是絕對意義上的全局收斂,因為起始值的任意選擇也不能超出使分析公式有意義的限度,否則會引起波導(dǎo)截止或函數(shù)形態(tài)嚴(yán)重畸變導(dǎo)致計算緩慢。

3.2 收斂域的有界性和多值性

既然算法是全局收斂的,只要有解就必能找到,不收斂的情形只能代表問題本身就無解,而無解的原因只能是指標(biāo)規(guī)定的不合理。由圖可見:

a)使得方程組(9)有解的指標(biāo)存在一個上限和下限,超過這個界限迭代不會有結(jié)果;

b)滿足同一組指標(biāo)的尺寸取值并不是唯一的,即方程組是多解的。

考察粗線表示的主值支,它代表的解其實是口面上只有同相場情形下的尺寸。此時,當(dāng)增益或波束寬度之一過大到無法與其余指標(biāo)相適應(yīng)時,算法試圖通過無限延伸喇叭長度 H,趨近這樣不合理的指標(biāo),因為H越大,口面相差越趨于分布均勻,因此利用效率越高。但是,對于一定波束寬度的天線來說,增益的提高不可能是無限制的(或者對于一定增益的天線來說,波束寬度的增加也不可能是無限制的),因此天線就達到了某一指標(biāo)的上限,也就是此時結(jié)果不再能收斂的物理意義所在。

另一方面,當(dāng)增益或波束寬度之一減小,而其余指標(biāo)不變時,算法主要通過增加口面寬邊D H同時適當(dāng)調(diào)整DE和H來實現(xiàn),因為這樣會使得口面相差分布趨于不均勻,利用率降低。值得注意的是,隨著DH的增加,增益會到達一個極小值點,然后再次增大重復(fù)先前的數(shù)值,致使解向量第二分支的出現(xiàn)。這是由于此時邊緣相差已超過π,使得口面上出現(xiàn)反相場部分抵消了中心同相場的最外緣,相位不均勻性被削弱,反而使口面利用率再次回復(fù),并且隨著反相場的加強而增大。反相場剛出現(xiàn)的這一點也就規(guī)定了增益(或波束寬)指標(biāo)能夠到達的下限。同理,D H繼續(xù)增加會出現(xiàn)邊緣場的多次相位反轉(zhuǎn),增益也隨之波動達到多個極值點,其極小值不低于兩分支匯合處的第一極小值,極大值甚至超過主單值支的上限。此時,H面呈現(xiàn)的是從等效相位中心發(fā)出的近似球面波被該口面所截的n多個波長的投影,其整體幅度是沿DH的一個半波長余弦分布,相位從口面中心每隔一定間隔反轉(zhuǎn)一次。當(dāng)D H→∞,所有同相場和反相場的總體貢獻收斂于一個確定數(shù)值,因此由圖2,圖 4,圖 6 看出,G或 θ0.5H0,θ0.5E0最終趨于不再隨尺寸變動。

3.3 解向量的存在條件和唯一與否

收斂域全圖表明,當(dāng)所給指標(biāo)不超出對應(yīng)的收斂域界限時,存在滿足式(9)的多個解向量,其中的最小尺寸值是口面場正常分布下的實用設(shè)計值。

主單值支的收斂域邊界對應(yīng)的指標(biāo)容限為:

a)當(dāng)固定 θ0.5H0=30°,θ0.5E0=30°時,G0 的容許變動范圍為[14.66611 dB,15.815 dB];

b)當(dāng)固定 G0=14.66611 dB,θ0.5E0=30°時,θ0.5H 0的容許變動范圍為[30°,38.726°];

c)當(dāng)固定 G0=14.66611 dB,θ0.5H 0=30°時,θ0.5E0的容許變動范圍為[30°,38.750°] 。

4 設(shè)計實例

設(shè)計S波段角錐喇叭天線。

4.1 設(shè)計要求

中心頻率 f0=3.08GH z,增益為15 dB。

饋電波導(dǎo)采用S波段標(biāo)準(zhǔn)波導(dǎo):a×b=72.14×34.04 mm2。

4.2 設(shè)計值

將增益 G0=15 dB,主波束寬度 θ0.5H 0=30°,θ0.5E0=28°代入式(8)的右端項,求解約束方程組得到一組尺寸:

4.3 結(jié)果對比

依據(jù)這組尺寸實際加工了二個角錐天線。對該天線作回代計算,HFSS仿真和實物測量。結(jié)果如下:

(1)遠場

圖7和圖8是歸一化遠場幅度的回代計算值、HFSS仿真值和測量值結(jié)果對比。說明:測量的頻率點是3.1GHz。

圖7 H-面歸一化遠場幅度

(2)主波束寬度

主波束寬度的計算值、仿真值和測量值如表1所示。

主面波束寬度的回代計算值與指定指標(biāo)相同,表明算法收斂;計算值與仿真或測量值間的誤差是分析式(2)本身引起的,與求根算法無關(guān)。

圖8 E-面歸一化遠場幅度

表1 主波束寬度的計算值、仿真值和測量值

(3)增益

a)計算值=15.001 dB;

b)仿真值=15.33 dB;

c)測量值=15.17 dB 1#;15.28 dB 2#。

同理,增益的回代計算值與指標(biāo)相同也表明了算法收斂;而計算值與仿真或測量值間的誤差是式(6)本身包含的,與求根算法無關(guān)。

5 結(jié)論

文章實現(xiàn)了全局收斂改進的New ton-Raphson算法在天線設(shè)計中的應(yīng)用,使多參數(shù)綜合的逆問題一次性嚴(yán)格求解成為可能;描畫出角錐天線設(shè)計尺寸收斂域的完整圖界。發(fā)現(xiàn)收斂域的分布顯示多值和有界兩個特征,是角錐天線尺寸形狀,口面場,天線性能之間物理關(guān)聯(lián)的呈現(xiàn)。由此回答了矢量方程(9)解向量的存在條件和唯一與否。采用本文論述的設(shè)計方法,通過實物研制與測試和仿真驗證了方法的正確性。易于推廣到已知分析函數(shù)的任何其它器件設(shè)計問題上。

[1] 廖承恩,微波技術(shù)基礎(chǔ)[M].西安:西安電子科技大學(xué)出版社,1994.

[2] 謝處方,邱文杰.天線原理與設(shè)計[M].西安:西北電訊工程學(xué)院出版社,1985.

[3] William H.Press,Saul A.Teukolsky,W illiam T.Vetterling.C數(shù)值算法[M].北京:電子工業(yè)出版社,2004.