考慮共因失效的多態(tài)系統(tǒng)可靠性優(yōu)化

李春洋 陳 循 易曉山

國防科學(xué)技術(shù)大學(xué),長沙,410073

0 引言

常規(guī)系統(tǒng)可靠性分析中有兩個基本假設(shè):①系統(tǒng)或單元只有“正常工作”和“完全失效”兩種狀態(tài);②各單元的失效是相互獨立的。這樣的假設(shè)確實能夠為解決實際問題帶來很大的方便,但是這些假設(shè)又使得問題過于簡單,并不能真實地反映實際情況。首先,很多系統(tǒng)不僅有“正常工作”和“完全失效”兩種狀態(tài),在兩者之間還存在很多種工作狀態(tài),即系統(tǒng)是多態(tài)的[1,2];其次,系統(tǒng)中各單元的失效有時并不是相互獨立的,特別是一些大型、復(fù)雜的機(jī)電系統(tǒng),相關(guān)失效是一個普遍的特征。如果忽略系統(tǒng)失效的相關(guān)性,簡單地在系統(tǒng)各單元失效相互獨立的假設(shè)下進(jìn)行系統(tǒng)可靠性分析與計算,常常會導(dǎo)致過大誤差[3]。共因失效是相關(guān)失效中一種十分廣泛的形式,它是由于某種共同的原因?qū)е露鄠€單元同時失效,共因失效對利用單元冗余提高系統(tǒng)可靠性的方法有很大影響。

目前,國外學(xué)者對多態(tài)系統(tǒng)可靠性優(yōu)化做了不少研究工作。文獻(xiàn)[4-5]研究了多態(tài)串—并聯(lián)系統(tǒng)的可靠性冗余配置優(yōu)化問題,并分析了在可用度的約束下,針對資源需求固定情況,使系統(tǒng)費用最少的問題。文獻(xiàn)[6]研究了考慮維修策略的多態(tài)系統(tǒng)可靠性冗余配置優(yōu)化問題。文獻(xiàn)[7]利用物理規(guī)劃方法和遺傳算法解決了多態(tài)系統(tǒng)可靠性冗余配置多目標(biāo)優(yōu)化問題。但這些文獻(xiàn)中的優(yōu)化模型都是建立在多態(tài)系統(tǒng)各單元失效相互獨立的基礎(chǔ)上,而對于考慮共因失效的多態(tài)系統(tǒng)可靠性優(yōu)化沒有研究。雖然文獻(xiàn)[8-9]研究了考慮共因失效的可靠性優(yōu)化問題,但所分析的系統(tǒng)都是常規(guī)系統(tǒng)可靠性中的二態(tài)系統(tǒng),并不是多態(tài)系統(tǒng)。文獻(xiàn)[10]對考慮共因失效的多態(tài)系統(tǒng)可靠性進(jìn)行了分析,但對于在多態(tài)系統(tǒng)設(shè)計階段時如何進(jìn)行可靠性優(yōu)化設(shè)計沒有分析。本文在以上文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上,將共因失效分析和多態(tài)系統(tǒng)可靠性優(yōu)化相結(jié)合,分析考慮共因失效的多態(tài)系統(tǒng)可靠性冗余配置優(yōu)化問題,并利用遺傳算法對考慮共因失效的多態(tài)系統(tǒng)可靠性優(yōu)化問題進(jìn)行求解。

1 優(yōu)化模型

圖1所示的多態(tài)串—并聯(lián)系統(tǒng)含有n個子系統(tǒng),每個子系統(tǒng)i由mi種可供選擇的單元并聯(lián)組成。定義每種類型單元的性能為gij,可靠度為Rij,價格為cij,子系統(tǒng)i的單元冗余數(shù)量為ri,系統(tǒng)的費用為C,可靠度為R,假設(shè)子系統(tǒng)i由于受環(huán)境因素影響,形成共因失效組。

根據(jù)可供選擇的單元,研究在滿足一定約束條件下,通過確定最優(yōu)的單元類型和最優(yōu)的冗余數(shù)量,使系統(tǒng)費用最少或者可靠度最大的問題就是可靠性冗余配置優(yōu)化問題。對于圖1所示的系統(tǒng),以可靠度為約束條件,以費用最少為目標(biāo),建立優(yōu)化模型:

式中,R0為系統(tǒng)允許的最小可靠度;Ni為子系統(tǒng)i允許的最大冗余數(shù)量,i=1,2,…,n;j=1,2,…,mi。

要解決該問題,首先需要計算系統(tǒng)可靠度R,然后采用優(yōu)化算法對優(yōu)化模型進(jìn)行求解。由于該優(yōu)化問題是一個NP—hard問題,采用傳統(tǒng)的優(yōu)化算法難以求解,文本采用遺傳算法進(jìn)行求解。

2 多態(tài)系統(tǒng)可靠度計算

分析之前,做如下假設(shè):①系統(tǒng)和單元不可修;②各子系統(tǒng)內(nèi)的單元完全相同,且只有正常工作和完全失效兩種狀態(tài);③不同的單元失效會引起系統(tǒng)呈現(xiàn)多種狀態(tài),即系統(tǒng)是多態(tài)系統(tǒng)。

2.1 失效獨立的多態(tài)系統(tǒng)可靠度計算方法

多態(tài)系統(tǒng)可靠度計算有結(jié)構(gòu)函數(shù)法、馬爾科夫過程、蒙特卡羅仿真和通用生成函數(shù)(universal generating function)四種方法。通用生成函數(shù)是解決多態(tài)系統(tǒng)可靠度計算問題應(yīng)用較好的方法,它能夠明確地表達(dá)單元狀態(tài)概率、性能與系統(tǒng)狀態(tài)概率和性能的關(guān)系,并且可以通過簡單的運算由單元的通用生成函數(shù)得到系統(tǒng)的通用生成函數(shù),它具有計算速度快,適用范圍廣等特點,這在多態(tài)系統(tǒng)可靠性優(yōu)化分析中很有優(yōu)勢,所以通用生成函數(shù)在多態(tài)系統(tǒng)可靠性優(yōu)化中應(yīng)用廣泛[1]。

設(shè)單元有M種狀態(tài),單元的性能和對應(yīng)的狀態(tài)概率分別為{g1,g2,…,gM}、{q1,q2,…,qM},其中ql=Pr{G=gl},G為單元的性能參數(shù),l=1,2,…,M。則單元的通用生成函數(shù)(U函數(shù))為

U函數(shù)將單元的狀態(tài)和單元處于這些狀態(tài)時的概率聯(lián)系了起來,利用各單元的U函數(shù),采取復(fù)合運算就可以得到系統(tǒng)的U函數(shù):

式中,s為系統(tǒng)狀態(tài),s=1,2,…,M;Ms為系統(tǒng)的狀態(tài)數(shù);Ps為系統(tǒng)狀態(tài)為s時的狀態(tài)概率;Ws為系統(tǒng)狀態(tài)為s時的系統(tǒng)性能。

系統(tǒng)的U函數(shù)表示系統(tǒng)的狀態(tài)分布和系統(tǒng)處于各狀態(tài)時的概率,如果系統(tǒng)需求是系統(tǒng)性能不低于w,則可以得到系統(tǒng)的可靠度為

根據(jù)假設(shè)條件(2),即單元只有正常工作和完全失效兩種狀態(tài),則gij={gij,0},Rij={Rij,1—Rij},代入式(5),得單元的U函數(shù)為

若子系統(tǒng)的工作任務(wù)由各并聯(lián)單元共同分擔(dān),則子系統(tǒng)i的U函數(shù)為

系統(tǒng)的U函數(shù)通過復(fù)合運算式(6)即可得到。

2.2 考慮共因失效的多態(tài)系統(tǒng)可靠度計算方法

考慮共因失效時,需要對上面的計算過程進(jìn)行改進(jìn),分以下兩種情況[10]:

(1)發(fā)生共因失效時,共因失效組中所有單元全部失效。對于只存在單元獨立失效和共因失效組全部失效兩種失效形式的情況(如在爆炸和沖擊的作用下,單元全部失效),共因失效組子系統(tǒng)的通用生成函數(shù)為

式中,Ui(z)為單元獨立失效時,共因失效組的U函數(shù);β為共因失效的發(fā)生概率;xc為共因失效組發(fā)生共因失效時,共因失效組的輸出性能。

將Uic(z)與其他非共因失效組子系統(tǒng)的U函數(shù)通過復(fù)合運算式(6)進(jìn)行計算,即可得系統(tǒng)U函數(shù)。

(2)全面考慮共因失效組各重共因失效。此時,在U函數(shù)中加入指針矢量,將U函數(shù)式(5)改進(jìn)為V函數(shù):

式中,sl為指針矢量,維數(shù)為n,用于表示該單元是否屬于共因失效組,以及屬于哪個共因失效組。

在計算系統(tǒng)的V函數(shù)過程中,屬于共因失效組的單元的狀態(tài)概率ql用1代替,非共因失效組的單元的狀態(tài)概率不予置換。通過類似U函數(shù)的復(fù)合運算,得到系統(tǒng)的V函數(shù)如下:

最后,將系統(tǒng)的V函數(shù)轉(zhuǎn)化為U函數(shù),通過下式實現(xiàn):

式中,~Pi,j(t)為共因失效組i中j重共因失效不發(fā)生的概率。

3 利用遺傳算法求解優(yōu)化模型

遺傳算法求解優(yōu)化模型式(1)～式(4)的相關(guān)流程和設(shè)置如下[12]:

(1)編碼。本文采用實數(shù)編碼,定義每個染色體的形式為vk=(bk1,bk2,…,bkn,rk1,rk2,…,rkn),其中,bki表示子系統(tǒng)i選擇的單元類型,rki表示選擇單元的冗余數(shù)量,兩者都為整數(shù)。

(2)產(chǎn)生初始群體。定義種群規(guī)模為pop_size,并隨機(jī)產(chǎn)生pop_size個染色體,其中,染色體的每個基因位在其取值范圍內(nèi)隨機(jī)取值,取值范圍為1≤bki≤mi,1≤rki≤Ni。

(3)計算適應(yīng)值。首先計算每個染色體所對應(yīng)的系統(tǒng)費用Ck和系統(tǒng)可靠度Rk,對于不滿足約束條件的染色體,定義如下的懲罰函數(shù):

如果滿足約束條件式(2),則適應(yīng)值為 fk=Ck,不予懲罰;如果不滿足約束條件式(2),給予懲罰,則適應(yīng)值為 fk=Ck+K(R0—Rk),其中K是一個很大的正數(shù)。定義懲罰函數(shù)的目的是將優(yōu)化算法引導(dǎo)到臨近的最優(yōu)可行解上,逐漸淘汰不可行解。

(4)選擇。首先對適應(yīng)值進(jìn)行正規(guī)化標(biāo)定:

式中,fmax和fmin分別為種群中最好和最壞的適應(yīng)值;γ為很小的正實數(shù),以防止分母為零。

對適應(yīng)值進(jìn)行正規(guī)化標(biāo)定之后,采用賭輪盤法選擇染色體進(jìn)行交叉。

(5)交叉。對父代采用單點交叉以產(chǎn)生子代。定義交叉概率為Pc,選擇兩個父代,隨機(jī)產(chǎn)生一個交叉點,交換兩個父代染色體交叉點后的基因位,從而產(chǎn)生兩個子代。

(6)變異。采用隨機(jī)攝動進(jìn)行變異。定義變異概率為Pm,在種群所有染色體的基因位中產(chǎn)生[0,1]之間的隨機(jī)數(shù),所有小于Pm的隨機(jī)數(shù)所對應(yīng)的基因位作為變異的基因位。對于一個選取變異的基因位Ji,用該基因位取值范圍內(nèi)的一個隨機(jī)整數(shù)進(jìn)行替代。

(7)產(chǎn)生新一代種群。為了避免最優(yōu)的染色體經(jīng)過交叉、變異之后,產(chǎn)生適應(yīng)值較小的染色體,將當(dāng)前群體中最優(yōu)的部分染色體保留到下一代,和變異之后的染色體一起組成新一代種群。

(8)終止。遺傳算法是一個反復(fù)迭代的過程,每一次迭代都要執(zhí)行適應(yīng)值計算、選擇、交叉、變異等操作,直到滿足終止條件。終止條件可以是規(guī)定的最大迭代代數(shù)或規(guī)定的最小偏差。

由于遺傳算法的優(yōu)化結(jié)果與初始種群的選擇有關(guān)系,不同的初始種群可能會收斂于不同的局部最優(yōu)解,而不是全局最優(yōu)解。為了解決該問題,本文首先循環(huán)運算遺傳算法pop_size次,計算出pop_size個解,然后將所得到的pop_size個解作為新的初始種群,再利用遺傳算法求解,從而得到最終解,這樣可以防止收斂于局部最優(yōu)解。當(dāng)然,這樣處理時計算時間相對較長,可以通過調(diào)整種群規(guī)模pop_size和迭代代數(shù)來控制計算時間。

4 算例分析

分析文獻(xiàn)[4]中的電力供煤系統(tǒng),由主進(jìn)料器和傳送帶子系統(tǒng)、堆垛運輸機(jī)和次進(jìn)料器子系統(tǒng)、卸料器子系統(tǒng)、鍋爐子系統(tǒng)這4個部分串聯(lián)而成,每個子系統(tǒng)由市場上可供選擇的單元并聯(lián)組成,每個子系統(tǒng)只能選擇一種類型的單元。每種類型的單元有其對應(yīng)的性能、可靠度和價格,如表1所示。要求系統(tǒng)的輸出性能水平不小于0.8,并且系統(tǒng)可靠度不小于0.9,以市場上可供選擇的單元進(jìn)行合理搭配,實現(xiàn)費用最少的目標(biāo)。

表1 可供選擇單元的相關(guān)參數(shù)

假設(shè)各子系統(tǒng)允許的最大冗余數(shù)量為5,則可以建立如下的優(yōu)化模型:

令種群規(guī)模pop_size=20,懲罰函數(shù)的系數(shù)K=100,正規(guī)化標(biāo)定函數(shù)的參數(shù)γ=0.001,交叉概率Pc=0.8,變異概率Pm=0.02,終止條件為規(guī)定的迭代代數(shù)500。根據(jù)失效形式,分以下三種狀況進(jìn)行分析:

(1)不考慮共因失效。

(2)發(fā)生共因失效時,共因失效組中所有單元全部失效。假設(shè)子系統(tǒng)1、3會發(fā)生共因失效,發(fā)生共因失效的概率分別為0.010和0.015,發(fā)生共因失效時子系統(tǒng)1、3的所有單元均失效。

(3)全面考慮共因失效組各重共因失效。假設(shè)子系統(tǒng)1、3發(fā)生共因失效,發(fā)生各重共因失效的概率與所選擇的單元有關(guān),發(fā)生2重共因失效的概率為單元獨立失效概率的1/2,發(fā)生3重共因失效的概率為 2重共因失效概率的1/2,依此類推。

三種狀況的優(yōu)化結(jié)果對比情況如表2所示。

表2 三種狀況的優(yōu)化結(jié)果對比

從三種狀況的優(yōu)化結(jié)果可以看出,在不同條件下,優(yōu)化的結(jié)果相差很大。將不考慮共因失效的優(yōu)化結(jié)果,分別代入考慮共因失效的狀況2和狀況3,可靠度為0.8859和0.8450,是不滿足可靠度不小于0.9的約束條件的。這說明在考慮共因失效時,為了提高系統(tǒng)的可靠度,單純地使用冗余已經(jīng)不是一個很好的辦法,而使用較高可靠度的單元有更好的效果。上面的分析中,考慮各重共因失效時,子系統(tǒng)3選擇單元2而不選擇獨立失效時選擇的單元1就是一個很好的說明。

5 結(jié)論

(1)本文利用遺傳算法對考慮共因失效的多態(tài)系統(tǒng)可靠性優(yōu)化問題進(jìn)行了分析和求解,并且與不考慮共因失效的多態(tài)系統(tǒng)可靠性優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行了對比。對比顯示,兩者的優(yōu)化結(jié)果有較大的差別。由于共因失效削弱了冗余的效果,使得在進(jìn)行可靠性優(yōu)化設(shè)計時,對于易于發(fā)生共因失效的系統(tǒng),需要采取與獨立失效系統(tǒng)不同的可靠性設(shè)計方案,即不能簡單地利用冗余設(shè)計提高系統(tǒng)可靠性,而應(yīng)該根據(jù)費用情況選擇更加可靠的單元。

(2)本文在分析中,假設(shè)單元只有兩種狀態(tài),而且是不可修的,以后的研究可以進(jìn)一步深入。

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