一維淺水波方程有限體積流通量限制方法的數(shù)值研究

劉紅霞 趙彥普

(1.東莞職業(yè)技術(shù)學(xué)院，廣東東莞 523808)

（2.中國科學(xué)院深圳先進(jìn)技術(shù)研究院，深圳 518055)

淺水波方程是水動力學(xué)中一個重要模型，在地球大氣、海洋、環(huán)境及水利工程、清潔能源的開發(fā)利用等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用.由于該模型是非線性守恒方程組，其解的結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，需借助于數(shù)值模擬的方法進(jìn)行求解.本文要討論的1維齊次淺水波模型方程為：

其中h代表水流高度，u代表水流速度，g代表重力加速度.上述方程組中第一個方程表示質(zhì)量守恒，第二個方程表示動量守恒.

有限體積法又稱為控制體積法.由該方法得到的離散方程，就是狀態(tài)變量在控制體積中的守恒原理.有限體積方法構(gòu)造守恒數(shù)值格式，在求解守恒方程方面有先天的優(yōu)勢.本文將針對幾種簡單實(shí)用的數(shù)值流通量以及幾種常用的流通量限制器之間的組合搭配進(jìn)行討論，以期得到針對一維淺水波方程組的更精確的數(shù)值求解計(jì)算方法.

1 有限體積方法以及算法實(shí)現(xiàn)

1.1 有限體積方法

設(shè)我們要求解的標(biāo)量或者向量雙曲守恒方程為：

1.2 數(shù)值流通量

有限體積方法的格式設(shè)計(jì)緊密依賴于數(shù)值流通量 fi+1/2(t)的選取，對于一維淺水波方程組，將用到以下幾種數(shù)值流通量：

1）Lax-Fridrichs（LF）數(shù)值流通量

2）Roe數(shù)值流通量

3）HLLE數(shù)值流通量

4）FORCE數(shù)值流通量

5）基于Lax-Wendroff格式和Roe線性化的數(shù)值流通量

1.3 數(shù)值算法

本文采用的數(shù)值流通量的一般形式為：

流通量限制器函數(shù)φ()θ定義為：

2 數(shù)值算例

2.1 一維潰壩問題

我們選取三種不同的淺水波方程（見表 1）來檢驗(yàn)本文方法的效果.以下重力加速度選取為g= 1，空間區(qū)域取為(-5,5)，邊界條件為Dirichlet邊界.

表1 三種不同的淺水波方程

2.2 模擬結(jié)果

以下計(jì)算結(jié)果均為計(jì)算到終止時間 t=1，均勻空間網(wǎng)格，單元數(shù)量為100.

圖1 問題I，固定數(shù)值流通量，不同流通量限制器函數(shù)下的計(jì)算結(jié)果

從圖1可以看出，對于問題I，在固定LF流通量，選取不同的限制器函數(shù)時，選取的流通量限制方法均能達(dá)到較好的抑制大梯度區(qū)域的非物理振蕩的效果.從局部放大效果來看，除Minmod限制器函數(shù)之外的三個限制器函數(shù)更能保持解在激波附近的大梯度變化.

圖2 問題I，固定流通量限制器函數(shù)，選取不同數(shù)值流通量的計(jì)算結(jié)果

從圖2可以看出，對于問題I，在固定van Leer限制器，F(xiàn)ORCE數(shù)值流通量計(jì)算結(jié)果在 2-激波的間斷附近出現(xiàn)了些許振蕩，其余幾個流通量函數(shù)表現(xiàn)相當(dāng)且沒有出現(xiàn)激波位置的振蕩，這說明FORCE數(shù)值耗散在5個流通量中最弱，但同時FORCE數(shù)值最能保持解在間斷附近的陡峭變化.LF數(shù)值流通量是這5個數(shù)值流通量中數(shù)值耗散作用最強(qiáng)的.

圖3 問題II，固定數(shù)值流通量，選取不同流通量限制器函數(shù)的計(jì)算結(jié)果

從圖3可以看出，對于問題II，在固定Roe流通量，選取不同的限制器函數(shù)時，所選取的方法均能達(dá)到抑制大梯度區(qū)域的非物理振蕩的效果；MC限制器函數(shù)最能保持解的大梯度變化；Superbee限制器下的數(shù)值解在x=-1附近出現(xiàn)了小的振蕩.

圖4 問題II，固定流通量限制器函數(shù)，選取不同數(shù)值流通量的計(jì)算結(jié)果

從圖4可以看出，對于問題II，在固定van Leer限制器，選取不同的數(shù)值流通量時：FORCE數(shù)值流通量計(jì)算結(jié)果在 2-激波的間斷附近出現(xiàn)了微小振蕩，其余幾個流通量函數(shù)表現(xiàn)相近且沒有出現(xiàn)激波位置的振蕩；對于不同的限制器函數(shù)，HLLE數(shù)值流通量計(jì)算結(jié)果比較精確.

圖5 問題III，固定數(shù)值流通量，選取不同流通量限制器函數(shù)的計(jì)算結(jié)果

從圖 5可以看出，對于問題 III，在固定 Roe流通量，選取不同的限制器函數(shù)時，此方法均能達(dá)到較好的抑制大梯度區(qū)域的非物理振蕩的效果；從局部放大效果來看，Superbee限制器函數(shù)更能保持解的銳利圖形.

圖6 問題III，固定流通量限制器函數(shù)，選取不同數(shù)值流通量的計(jì)算結(jié)果

從圖6可以看出，對于問題III，在固定van Leer限制器，選取不同的數(shù)值流通量時，均能得到較精確的計(jì)算結(jié)果.其中FORCE數(shù)值流通量在1-稀疏波與 2-稀疏波之間的常值區(qū)域出現(xiàn)了一些小的波動，其余幾個流通量函數(shù)結(jié)果相近.另外對于該初值問題，對于不同的限制器函數(shù)，LLF數(shù)值流通量表現(xiàn)比較準(zhǔn)確.

3 結(jié) 論

本文采用基于流通量限制器的有限體積方法，通過限制器函數(shù)使低階數(shù)值流通量與高階數(shù)值流通量得到有效結(jié)合.并且通過3個特殊的淺水波方程初值問題，對該方法的效果進(jìn)行了數(shù)值比較.比較結(jié)果顯示該方法能較好地計(jì)算出激波，稀疏波的結(jié)構(gòu)；對于不同初值，不同的限制器與不同的數(shù)值流通量有不同的表現(xiàn)；LLF流通量和Superbee的組合是數(shù)值耗散最弱的同時也能有效抑制非物理振蕩.

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