廣義加權(quán)二乘極小點(diǎn)的存在唯一性

劉學(xué)飛

（重慶三峽學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,重慶萬(wàn)州 404100）

在一維、二維、三維、向量空間上有關(guān)質(zhì)心及二乘極小點(diǎn)的討論已經(jīng)非常深入，如文[1]；但在更廣泛的空間上，關(guān)于質(zhì)心及二乘極小點(diǎn)的討論還有待深入.本文在線性內(nèi)積空間上給出廣義質(zhì)心及加權(quán)二乘極小點(diǎn)的定義，得到了與質(zhì)心相關(guān)的一個(gè)恒等式，討論了加權(quán)二乘極小點(diǎn)的存在及唯一性.

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)(Ω,*)是線性內(nèi)積空間，二元代數(shù)“*”： ? x,y ∈Ω ,x * y =＜ x,y＞表示x與y的內(nèi)積.“*”具有內(nèi)積的性質(zhì)

1）x * y = y *x

2）(kx) * y = k(y *x)

3）(x1+ x2)*y =x1*y +x2*y

4） x*x≥ 0,當(dāng)且僅當(dāng)x=0，等號(hào)成立，記 x*x=x2（其中k∈數(shù)域P : 實(shí)數(shù)域或子域）

定義2 ||x-y||叫做x與y的距離.

顯然上述定理滿足距離的三個(gè)性質(zhì).

2 主要結(jié)論

定義3 設(shè) x1,x2,… ,xN∈Ω，在每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)

為質(zhì)點(diǎn)系 x1,x2,… ,xN的質(zhì)心.

定理 1 （廣義質(zhì)心恒等式）(Ω,*)是數(shù)域 P上的線性內(nèi)積空間， x1,x2,… ,xN∈Ω,x0是質(zhì)心，則?y∈Ω，有

證明：由內(nèi)積空間的性質(zhì)及定義1，2，3有

當(dāng)Ω= R3時(shí)，上述結(jié)論就化歸文[1]的主要結(jié)論.

推論1 設(shè) x1,x2,… ,xN∈Ω，x0由（1）式定義，當(dāng)mi∈R，且 ∑ mi＞0，則?y∈Ω，有

定義4 設(shè) x1,x2,… ,xN∈Ω，?mi∈R，且∑ mi＞0，若?x0∈Ω，使?y∈Ω有

則稱x0為質(zhì)點(diǎn)系 x1,x2,… ,xN關(guān)于權(quán)m1, m2,… ,mN的加權(quán)二乘極小點(diǎn).

定理2 (Ω,*)是數(shù)域P上的線性內(nèi)積空間，?x1,x2,… ,xN∈Ω ， ?m1,m2,…,mN∈R ， 且∑ mi＞0， 則 質(zhì) 點(diǎn) 系 x1,x2,…,xN關(guān) 于 權(quán)m1, m2,… ,mN的加權(quán)二乘極小點(diǎn)存在且唯一.

證明 存在性有定義4及推論1立即可得.下證唯一 性 ： 設(shè) y0是 x1,x2,… ,xN關(guān)于權(quán)m1, m2,… ,mN的加權(quán)二乘極小點(diǎn)，按定義4，有

注：如果在定義4中，若把 ∑ mi＞0，改為∑ mi＜0，同樣可以定義加權(quán)二乘極大點(diǎn)的概念,并討論其存在唯一性.

∑mi||xi-x ||2=C 的點(diǎn)x的軌跡是

當(dāng)K＞0，點(diǎn)x的軌跡是線性內(nèi)積空間廣義的球面域；當(dāng)K=0，則軌跡退化為單點(diǎn)集{x0}；當(dāng)K＜ 0，其軌跡為虛球面域；這里x0按（1）式定義.

證明：根據(jù)定理1很容易證明.

例1 Gi(αi,βi,γi)是三維空間R3(i = 1,2,… ,

則

有

其中

其中

各種具體內(nèi)積線性空間中，類似的例子還很多，此處就不再一一枚舉了.

[1]續(xù)鐵權(quán).與質(zhì)心相關(guān)的一個(gè)恒等式[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，1998（11）：38-40.

[2]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組.高等代數(shù)（第三版）[M].北京：高教出版社，2003.

[3]張禾瑞，郝炳新.高等代數(shù)（第三版）[M].北京：高教出版社，1989.