s＊－擬正規(guī)嵌入子群

李長(zhǎng)穩(wěn)，於 遒

（1.徐州師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 徐州 221116；2.淮海工學(xué)院 理學(xué)院，江蘇 連云港 222001）

s＊－擬正規(guī)嵌入子群

李長(zhǎng)穩(wěn)1，於 遒2

（1.徐州師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 徐州 221116；2.淮海工學(xué)院 理學(xué)院，江蘇 連云港 222001）

引入s＊－擬正規(guī)嵌入子群，并利用s＊－擬正規(guī)嵌入子群研究有限群的結(jié)構(gòu)，推廣了前人的一些結(jié)果.

s＊－擬正規(guī)嵌入子群；s－擬正規(guī)；群系

群G的一個(gè)子群H稱為在G中s－擬正規(guī)的，如果H與G的每個(gè)Sylow子群可換.稱群G的子群H在G中s－擬正規(guī)嵌入的［1］，如果對(duì)于｜H｜的每個(gè)素因子p，H的Sylowp－子群也是G的某個(gè)s－擬正規(guī)子群的Sylowp－子群.顯然，s－擬正規(guī)嵌入是s－擬正規(guī)子群的推廣.1996年，王燕鳴教授引入了c－正規(guī)子群［2］的概念.近年來，人們將c－正規(guī)子群不斷推廣，引入了c－可補(bǔ)子群［3］，弱s－置換子群［4］，c＊－正規(guī)子群［5］，弱s－置換嵌入子群［6］等.本研究在前人的基礎(chǔ)上，將上述一系列概念進(jìn)一步推廣，引入s＊－擬正規(guī)嵌入子群的概念，利用極小子群以及2－極小子群的s＊－擬正規(guī)嵌入性研究有限群的p－冪零性，同時(shí)給出了一個(gè)群屬于給定的飽和群系的若干判別準(zhǔn)則.

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)F是一個(gè)群類.稱F是一個(gè)群系，如果1）若G∈F且N?G，則G／N∈F；2）若G／N∈F且G／M∈F，則G／M∩N∈F.稱F是一個(gè)飽和群系，如果G／Φ（G）∈F，則G∈F.群G的極大子群M稱為在G中F－偽正規(guī)的，如果G／MG?F.用ZF（G）表示G的所有非單位F－超中心正規(guī)子群的積，并稱為群G的F－超中心，特別地，Z∞（G）表示G的冪零超中心.

定義 稱群G的一個(gè)子群H在G中s＊－擬正規(guī)嵌入，如果存在G的一個(gè)子群K和包含在H中的G的一個(gè)s－擬正規(guī)嵌入子群Hse，使得G＝HK且H∩K≤Hse.

引理1［1］設(shè)U在G中s－擬正規(guī)嵌入，H≤G且K?G，則有

1）如果U≤H，則U在H中s－擬正規(guī)嵌入；

2）UK在G中s－擬正規(guī)嵌入，且UK／K在G／K中s－擬正規(guī)嵌入.

利用文獻(xiàn)［4］的引理2.10的證明方法和引理1可以得到下面的引理.

引理2 設(shè)G為群，則下列結(jié)論成立：

1）設(shè)H≤L≤G.若H在G中s＊－擬正規(guī)嵌入，則H在L中s＊－擬正規(guī)嵌入；

2）設(shè)N?G且N≤H≤G.若H在G中s＊－擬正規(guī)嵌入，則H／N在G／N中s＊－擬正規(guī)嵌入；

3）設(shè)H為G的π－子群，N為G的正規(guī)π′－子群.如果H在G中s＊－擬正規(guī)嵌入，則HN／N在G／N中s＊－擬正規(guī)嵌入.

引理3［7］設(shè)G是一個(gè)與A4無關(guān)的有限群，p是群G階的最小素因子，P是G的Sylowp－子群.如果p3不整除｜P｜，則G是p－冪零群.

引理4［8］設(shè)G是一個(gè)與A4無關(guān)的有限群，p是群G階的最小素因子.如果G有一個(gè)正規(guī)子群N，使得G／N是p－冪零的，且p3不整除｜N｜，則G是p－冪零群.

引理5［9］極小非p－冪零群為極小非冪零群.

引理6［9］設(shè)G為極小非冪零群，則G有如下特征：

1）G＝PQ，P為G的正規(guī)Sylowp－子群，Q為G的非正規(guī)Sylowq－子群；

2）P／Φ（P）為G／Φ（P）的極小正規(guī)子群；

3）如果p＞2，則expP＝p；如果p＝2，則expP≤4；

4）如果P交換，則expP＝p；

5）Φ（P）≤Z（G）.

引理7［10］設(shè)P≤Op（G）.如果P在G中s－擬正規(guī)嵌入，則P在G中s－擬正規(guī).

引理8［10］設(shè)P是G的極小正規(guī)p－子群.如果P的每個(gè)p2階子群在G中s－擬正規(guī)，則｜P｜≤p2.

引理9［7］設(shè)F是所有具有超可解型Sylow塔群構(gòu)成的群系，G是一個(gè)與A4無關(guān)的有限群.如果G存在一個(gè)正規(guī)p－子群P，使得G／P∈F，并且｜P｜≤p2，則G∈F.

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)G是一個(gè)與A4無關(guān)的有限群，p是群G階的最小素因子.如果G存在一個(gè)正規(guī)子群N，使得G／N為p－冪零群，并且N的每個(gè)p2階子群在G中s＊－擬正規(guī)嵌入，則G是p－冪零群.

證明 假設(shè)定理不成立，G為極小階反例.

1）G為極小非冪零群，G滿足引理6的結(jié)論，p3整除｜P｜.

對(duì)于G的任意真子群H，H／H∩N?HN／N≤G／N，因此H／H∩N是p－冪零的.如果｜H∩N｜p≤p2，那么由引理4可知H是p－冪零的，所以假設(shè)｜H∩N｜p＞p2.由題設(shè)知H∩N的每個(gè)p2階子群在G中s＊－擬正規(guī)嵌入.由引理2，H∩N的每個(gè)p2階子群在H中s＊－擬正規(guī)嵌入.于是H滿足定理的條件，由G的選取知H為p－冪零群.于是G為極小非p－冪零群，由引理5，G為極小非冪零群，由引理4，p3整除｜P｜.

2）P的每個(gè)p2階子群在G中s＊－擬正規(guī)嵌入.

由于（P∩N）Φ（P）／Φ（P）?G／Φ（P），所 以（P∩N）Φ（P）＝Φ（P）或（P∩N）Φ（P）＝P.如果（P∩N）Φ（P）＝Φ（P），則P∩N≤Φ（P）.由于G／N和G／P為p－冪零群，故有G／Φ（P）是p－冪零群.又因?yàn)棣担≒）≤Φ（G），所以G是p－冪零群，矛盾.所以（P∩N）Φ（P）＝P，P∩N＝P，從而P≤N.由題設(shè)有P的每個(gè)p2階子群在G中s＊－擬正規(guī)嵌入.

3）P的每個(gè)p2階子群在G中s－擬正規(guī).

設(shè)L≤P且｜L｜＝p2.由2）知L在G中s＊－擬正規(guī)嵌入，于是存在G的一個(gè)子群K和包含在L中的G的一個(gè)s－擬正規(guī)嵌入子群Lse，使得G＝LK且L∩K≤Lse，從而P＝P∩G＝P∩LK＝L（P∩K）.因?yàn)镻／Φ（P）交換，所以（P∩K）Φ（P）／Φ（P）?G／Φ（P）.而P／Φ（P）是G的主因子，故P∩K≤Φ（P）或者P＝（P∩K）Φ（P）＝P∩K.如果P∩K≤Φ（P）成立，那么L＝P?G.顯然L在G中是s－擬正規(guī)的.如果P＝P∩K，則L≤P≤K，G＝LK＝K，于是L＝Lse在G中s－擬正規(guī)嵌入.因?yàn)镻?G，所以P＝Op（G）.由引理7，L在G中s－擬正規(guī).

4）導(dǎo)出矛盾.

在Z（P）中取一個(gè)元素a.如果expP＝p，則對(duì)于P＼〈a〉中任何元素x，〈x〉〈a〉就是P的p2階子群.因此由3）有〈x〉〈a〉在G中s－擬正規(guī)，〈x〉〈a〉Q≤G.由1）知，〈x〉〈a〉Q＜G，故〈x〉〈a〉Q＝〈x〉〈a〉×Q，因此〈x〉〈a〉≤NG（Q），從而P≤NG（Q），即G＝P×Q，矛盾.所以假設(shè)p＝2且expP＝4.利用上面的方法可證明P中的2階元在NG（Q）里.對(duì)于P中的4階元y，由3）和1）有〈y〉Q＝〈y〉×Q，即y也在NG（Q）中，故P≤NG（Q），同樣得到矛盾.

推論1 設(shè)G是一個(gè)與A4無關(guān)的有限群，p是群G階的最小素因子.設(shè)P是G的一個(gè)Sylowp－子群.如果P的每個(gè)p2階子群在G中s＊－擬正規(guī)嵌入，則G是p－冪零群.

推論2 設(shè)G是一個(gè)與A4無關(guān)的有限群.對(duì)于群G的階的每個(gè)素因子p，如果G的Sylowp－子群P的每個(gè)p2階子群在G中s＊－擬正規(guī)嵌入，則G有超可解型Sylow塔.

定理2 設(shè)F是所有具有超可解型Sylow塔群構(gòu)成的群系，G是一個(gè)與A4無關(guān)的有限群.如果G存在一個(gè)正規(guī)子群N，使得G／N∈F，并且N的每個(gè)Sylow子群的2－極小子群在G中s＊－擬正規(guī)嵌入，則G∈F.

證明 假設(shè)定理不成立，G為極小階反例.

1）GF是p－群，其中GF是G的F－剩余，p是某個(gè)素?cái)?shù).GF／Φ（GF）是G的主因子，exp（GF）＝p或者exp（GF）＝4（若p＝2且GF非交換）.

因?yàn)镚／N∈F，所以GF≤N.設(shè)M是G的任意F－偽正規(guī)極大子群，則MN＝MGF＝G.容易證明M滿足定理的條件.由G的極小選擇知M∈F.由引理2和推論2知N是超可解型Sylow塔群，從而GF≤N是可解群.又所有具有超可解型Sylow塔群構(gòu)成的群系是飽和群系，于是由文獻(xiàn)［9］中定理3.4.2知結(jié)論成立.

2）GF的每個(gè)p2階子群在G中s－擬正規(guī).

類似定理1的證明3）.

3）GF／Φ（GF）的每個(gè)p2階子群在ˉG＝G／Φ（GF）中s－擬正規(guī).

4）導(dǎo)出矛盾.

由引理8知｜GF／Φ（GF）｜≤p2.由于（G／Φ（GF））／（GF／Φ（GF））≌G／GF∈F，由引理9有G／Φ（GF）∈F.注意到F是飽和群系且Φ（GF）≤Φ（G），故G∈F，矛盾.

定理3 設(shè)p是｜G｜的素因子.如果G的每個(gè)p階極小子群包含于G的超中心Z∞（G），而4階循環(huán)群（若存在）在G中s＊－擬正規(guī)嵌入，則G是p－冪零群.

證明 假設(shè)定理不成立，G為極小階反例.

1）G為極小非冪零群，G滿足引理6的結(jié)論.

對(duì)于G的任意真子群H，H滿足定理的條件.由G的選取知H為p－冪零群.于是G為極小非p－冪零群，由引理5，G為極小非冪零群.

2）p＝2且P＼Φ（P）中無2階元.

如果P為初等交換群或p＞2，則P≤Z∞（G），故G／Φ（P）冪零，從而G冪零，矛盾.所以p＝2且expP＝4.若存在a∈P＼Φ（P）且a是2階的，令M＝〈aG〉≤P，那么MΦ（P）／Φ（P）?G／Φ（P）.注意到P／Φ（P）是G／Φ（P）的極小正規(guī)子群，則必有P＝MΦ（P）＝M≤Z∞（G），同樣得到矛盾.

3）P＼Φ（P）的每個(gè)4階循環(huán)子群在G中s－擬正規(guī).

類似定理1的證明3）.

4）導(dǎo)出矛盾.

對(duì)任意x∈P＼Φ（P），由3）知〈x〉Q＜G.由1）有〈x〉Q＝〈x〉×Q，因此〈x〉≤NG（Q），從而P≤NG（Q），矛盾.

推論3 如果G的每個(gè)極小子群含于G的超中心Z∞（G），而4階循環(huán)群在G中s＊－擬正規(guī)嵌入，則G是冪零群.

定理4 設(shè)F是包含所有冪零群的飽和群系，GF的每個(gè)4階循環(huán)群在G中s＊－擬正規(guī)嵌入，則G∈F當(dāng)且僅當(dāng)GF中每個(gè)極小子群含于ZF（G）.

證明 如果G∈F，則ZF（G）＝G，必要性得證.下證充分性.假設(shè)定理不成立，G為極小階反例.

1）GF是p－群，其中GF是G的F－剩余，p是某個(gè)素?cái)?shù).GF／Φ（GF）是G的主因子，exp（GF）＝p或者exp（GF）＝4（若p＝2且GF非交換）.

設(shè)x是GF中的任意素?cái)?shù)階元，則由文獻(xiàn)［9］推論3.2.9知x∈ZF（G）∩GF?Z（GF）.由引理2，GF中每個(gè)4階循環(huán)群在GF中s＊－擬正規(guī)嵌入.由推論3有GF是冪零的.設(shè)M是G的一個(gè)F－偽正規(guī)極大子群，則MGF＝MF（G）＝G.斷言M滿足定理的條件.事實(shí)上，M／M∩GF?MGF／GF＝G／GF∈F，故MF?GF.由M的F－偽正規(guī)性知G／MG不是F－群，故ZF（G）≤M，而且ZF（G）的每個(gè)G－主因子A／B事實(shí)上也是M－主因子.由于F（G）≤CG（A／B），所以 AutM（A／B）?AutG（A／B），因 此ZF（G）≤ZF（M）.故M滿足定理的條件.由G的極小選擇知M∈F.于是由文獻(xiàn)［9］定理3.4.2知結(jié)論成立.

2）GF＼Φ（GF）的每個(gè)4階循環(huán)群在G中s－擬正規(guī).

如果GF為初等交換群或p＞2，則GF≤ZF（G），故G∈F，矛盾.所以p＝2且exp（GF）＝4.若GF＼Φ（GF）中存在2階元素a，令K＝〈aG〉，則K?G且K≤Ω1（GF）≤ZF（G）.另一方面，由于GF／Φ（GF）是G的主因子，故GF＝KΦ（GF）＝K，矛盾.這表明GF＼Φ（GF）中的每個(gè)元素x都是4階的.設(shè)L＝〈x〉，類似定理1的證明3）可得L在G中s－擬正規(guī).

3）導(dǎo)出矛盾.

設(shè)〈x〉是GF＼Φ（GF）中的任一4階循環(huán)群.對(duì)于q∈π（G），q≠2，設(shè)Q是M的任意Sylowq－子群.由2）有〈x〉Q＝Q〈x〉.因?yàn)椤磝〉??GF，而GF?G，所以〈x〉??G，〈x〉??〈x〉Q，進(jìn)而有〈x〉?〈x〉Q，即Q≤NG（〈x〉）.換句話說，Q可看作為通過共軛作用在〈x〉上的一個(gè)群.而4階循環(huán)群的自同構(gòu)群是2階循環(huán)群，所以Q平凡作用在〈x〉上，這表明了O2（M）中心化〈x〉，因而O2（M）也中心化GF.因此由G＝MGF得到O2（M）?G，故G／MG是2－群，從而G／MG冪零，G／MG∈F，矛盾.

［1］ Ballester－Bolinches A，Pedraza－Aguilera M C.Sufficient conditions for supersolvability of finite groups［J］.J Pure Appl Algebra，1998，127：113－118.

［2］ Wang Y M.c－normality of groups and its properties［J］.J Algebra，1996，180：954－965.

［3］ Wang Y M.Finite groups with some subgroups of Sylow subgroupsc－supplemented［J］.J Algebra，2000，224：467－478.

［4］ Skiba A N.On weaklys－permutable subgroups of finite groups［J］.J Algebra，2007，315：192－209.

［5］ Wei H Q，Wang Y M.Onc＊－normality and its properties［J］.J Group Theory，2007，10：211－223.

［6］ Li Y M，Qiao S H，Wang Y M.On weaklys－permutably embedded subgroups of finite groups［J］.Comm Algebra，2009，37：1086－1097.

［7］ Guo X Y，Shum K P.Cover－avoidance properties and structure of finite groups ［J］. J Pure Appl Algebra， 2003，181：297－308.

［8］ Xu Y，Li X H.Weaklys－semipermutable subgroups of finite groups［J］.Front Math China，2011，6（1）：161－175.

［9］ Guo W B.The Theory of Classes of Groups［M］.Beijing：Science Press－Kluwer Academic Publishers，2000.

［10］ Li Y M，Wang Y M，Wei H Q.Onp－nilpotency of finite groups with some subgroupsπ－quasinormally embedded［J］.Acta Math Hungar，2005，108（4）：283－298.

s＊－quasinormally embedded subgroups

LIChangwen1，YUQiu2
（1.School of Mathematical Science，Xuzhou Normal University，Xuzhou 221116，Jiangsu Province，China；
2.School of Science，Huaihai Institute of Technology，Lianyungang 222001，Jiangsu Province，China）

s＊－quasinormally embedded subgroups is introduced，and the influences ofs＊－quasinormally embedded subgroups on the structure of finite groups are investigated.Some recent results are generalized.

s＊－quasinormally embedded subgroups；s－quasinormal；formation

O152

A

1671－1114（2011）02－0006－03

2010－03－22

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（10771180）

李長(zhǎng)穩(wěn)（1978—），男，講師，主要從事有限群方面的研究.

（責(zé)任編校 馬新光）