付麗娜，李寶毅，張 馳

（天津師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津 300387）

商品售價(jià)與包裝內(nèi)商品數(shù)量的函數(shù)關(guān)系探討

付麗娜，李寶毅，張 馳

（天津師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津 300387）

通常商品最小包裝內(nèi)的數(shù)量不同時(shí)其售價(jià)不同，通過對(duì)這類商品售價(jià)的市場調(diào)查，從利潤角度對(duì)售價(jià)與包裝內(nèi)商品數(shù)量間的關(guān)系進(jìn)行定性分析，建立了商品售價(jià)與包裝內(nèi)相對(duì)數(shù)量間的函數(shù)關(guān)系.以某品牌堿性5號(hào)電池的實(shí)際數(shù)據(jù)為例，通過最小二乘擬合估計(jì)參數(shù)，得到售價(jià)函數(shù)，并利用包裝費(fèi)對(duì)售價(jià)進(jìn)行校正，通過計(jì)算理論與實(shí)際相對(duì)銷售單價(jià)的相對(duì)誤差平方和，確定了售價(jià)函數(shù).本研究結(jié)果有助于商家對(duì)多包裝商品進(jìn)行合理定價(jià)，從而使其獲得較高利潤.

相對(duì)數(shù)量；相對(duì)單價(jià)；售價(jià)函數(shù)；利潤

通常同種商品有大小不同的包裝，傳統(tǒng)觀念往往認(rèn)為商品的售價(jià)與包裝內(nèi)商品數(shù)量的關(guān)系為正比例函數(shù).然而實(shí)際中一般大包裝（數(shù)量多）商品比小包裝（數(shù)量少）商品的相對(duì)單價(jià)（售價(jià)與包裝內(nèi)商品數(shù)量的比）略低，即當(dāng)商品數(shù)量按一定比例增加時(shí)，商品售價(jià)不是同比例增加的，相對(duì)單價(jià)也不是同比例降低的，這無疑是商家的一種價(jià)格策略［1］.有研究已經(jīng)對(duì)這類商品的定價(jià)現(xiàn)象進(jìn)行了定性分析.文獻(xiàn)［2］從提升消費(fèi)者效用感知角度解釋了多包裝商品的售價(jià)現(xiàn)象，即商家為了擴(kuò)大市場占有份額和提高消費(fèi)者的購買欲，采取不同數(shù)量的包裝形式進(jìn)行銷售，從而增加總利潤.文獻(xiàn)［3］從包裝成本大小對(duì)售價(jià)和利潤的影響角度，解釋了大包裝商品比小包裝商品相對(duì)單價(jià)略低的原因.文獻(xiàn)［4］從需求價(jià)格彈性等角度進(jìn)行了定性分析.本研究用數(shù)學(xué)方法定量計(jì)算這種售價(jià)與包裝內(nèi)商品數(shù)量間的函數(shù)關(guān)系，并以某品牌堿性5號(hào)電池為例，利用包裝費(fèi)校正前后的售價(jià)函數(shù)給出了一些新的包裝形式（按數(shù)量多少）的理論售價(jià)和利潤值，為商家制定多種包裝形式商品的售價(jià)提供參考.

1 理論模型的建立

1.1 符號(hào)說明及模型條件

設(shè)包裝內(nèi)數(shù)量最少時(shí)的商品為相對(duì)單包裝商品，記此時(shí)包裝內(nèi)商品的相對(duì)數(shù)量為單位1，其他商品包裝內(nèi)的數(shù)量以此相對(duì)單包裝商品的實(shí)際數(shù)量的倍數(shù)x為相對(duì)數(shù)量.設(shè)F（x）是相對(duì)數(shù)量為x時(shí)商品的售價(jià)，p為相對(duì)單包裝商品的實(shí)際售價(jià)，C為相對(duì)單包裝商品的相對(duì)銷售成本系數(shù)，則Cp為相對(duì)單包裝商品的銷售成本，R（x）為包裝內(nèi)商品相對(duì)數(shù)量為x時(shí)的商品利潤函數(shù).F（x）應(yīng)滿足的條件為：

2）商品利潤函數(shù)R（x）＝F（x）－Cxp關(guān)于x嚴(yán)格單調(diào)上升.

1.2 模型的理論推導(dǎo)

根據(jù)模型滿足的條件推測商品售價(jià)與相對(duì)數(shù)量x的函數(shù)關(guān)系為

2 參數(shù)估計(jì)與應(yīng)用

2.1 參數(shù)估計(jì)與誤差分析

對(duì)某大型超市某品牌堿性5號(hào)電池的售價(jià)進(jìn)行調(diào)查，得到具體數(shù)據(jù)，見表1.

表1 堿性5號(hào)電池包裝內(nèi)的實(shí)際數(shù)量與實(shí)際售價(jià)（元）Table 1 Real quantity and selling price（yuan）of alkaline aa batteries in packing

其中i＝1，2，3，4，5，為方便，以2粒電池為單位1，此時(shí)單包裝售價(jià)p為4.9元.其他包裝內(nèi)的相對(duì)數(shù)量為xi＝x′i／2，相對(duì)銷售 單價(jià)為yi＝y(tǒng)′i／4.9xi.由表1可得表2.

表2 堿性5號(hào)電池包裝內(nèi)的相對(duì)數(shù)量與相對(duì)銷售單價(jià)Table 2 Relative quantity and selling unit price of alkaline aa batteries in packing

由式（1）得相對(duì)銷售單價(jià)為y＝C＋（A＋Bx）－α.利用表2數(shù)據(jù)對(duì)待定參數(shù)進(jìn)行估計(jì).

1）第一次搜索.將相對(duì)銷售單價(jià)變形為

顯然，成本C必小于最小的相對(duì)銷售單價(jià)0.812 93且大于0，而α∈（0，1］，即對(duì)在范圍內(nèi)給定的（C，α），就可得到一個(gè)確定的u.在Matlab軟件［5］中利用最小二乘法，進(jìn)行u關(guān)于x的線性擬合，以xi，ui的相似度的最大值為目標(biāo)函數(shù)，在精度10－4下搜索，確定參數(shù)如下：

2）第二次搜索.對(duì)第一次搜索得到的參數(shù)A＊，B＊，C＊，α＊，在其±30%鄰域內(nèi)重新搜索，計(jì)算實(shí)際與理論相對(duì)銷售單價(jià)的相對(duì)誤差平方和，以其最小值為目標(biāo)函數(shù)，即

易得相對(duì)單包裝商品的銷售成本Cp≈3.15元.于是相對(duì)銷售單價(jià)函數(shù)為

圖1 相對(duì)銷售單價(jià)與相對(duì)數(shù)量散點(diǎn)及函數(shù)關(guān)系Figure 1 Scattergram and functional image of relative selling unit price and relative quantity

下面考慮包裝費(fèi)對(duì)售價(jià)的影響，在式（1）基礎(chǔ)上考慮包裝費(fèi)校正后的售價(jià)函數(shù)關(guān)系：

其中，A，B，C，α為待定參數(shù)，p為相對(duì)單包裝商品的實(shí)際售價(jià)，Dx為包裝內(nèi)商品相對(duì)數(shù)量為x時(shí)的包裝費(fèi).由式（7）得含包裝費(fèi)的相對(duì)銷售單價(jià)為

實(shí)際調(diào)查5號(hào)電池知2粒、4粒、6粒裝的電池的外包裝硬紙殼大小相同（見圖2（a）），實(shí)際長a約為11.7cm，寬b約為8.1cm，可得面積為S＝94.77cm2.

圖2 堿性5號(hào)電池兩種包裝形式尺寸示意圖Figure 2 Graphic representation of sizes of two packing manners of alkaline aa batteries

圖2（a）中豎放區(qū)域可放2?；?粒，而在豎放4粒電池上面再加固2粒電池后得6粒裝的電池，它們僅是固定的外塑料殼有微小差別，則有D1≈D2≈D3.8粒、12粒裝電池外包裝的長a′約為17.9cm，寬b′約為8.1cm，面積為S′＝144.99cm2.具體尺寸見圖2（b），有S′≈1.53S.8粒包裝的電池是在橫放區(qū)域Ⅰ與Ⅱ分別橫放4粒，再在4粒上面分別加固2粒就得12粒包裝的電池.固定8粒裝電池的外塑料殼約為4粒裝電池的2倍大小，則綜合面積關(guān)系近似有D4≈D6≈1.6D1.

圖3 包裝費(fèi)校正后的相對(duì)銷售單價(jià)與相對(duì)數(shù)量散點(diǎn)及函數(shù)關(guān)系Figure 3 Scattergram and functional image of relative selling unit price and relative quantity regulated with packing charges

2.2 模型應(yīng)用

下面根據(jù)包裝費(fèi)校正前后的售價(jià)函數(shù)關(guān)系，給出一些新的包裝形式（數(shù)量不同）的理論售價(jià)F（x）及（x）.

根據(jù)實(shí)際包裝的尺寸（圖2（b）），橫放區(qū)域長5.7cm，寬5.1cm，實(shí)際測量兩區(qū)域之間距離為0.9cm，在圖2（b）的基礎(chǔ)上寬度不變，增加一個(gè)橫放區(qū)域，見圖4（a），長度增加5.7＋0.9＝6.6cm，包裝總長度為17.9＋6.6＝24.5cm.此時(shí)在橫放區(qū)域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ上分別橫放4粒電池，在每4粒電池上可再加固2粒包裝成14粒、16粒、18粒裝的電池.此時(shí)面積S1＝198.45cm2≈2.1S，考慮包裝固定的外塑料殼，則有包裝費(fèi)

在圖2（b）的基礎(chǔ)上長度不變，增加兩個(gè)橫放區(qū)域，見圖4（b），寬增加0.9＋5.1＝6cm，寬為8.1＋6＝14.1cm，在Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ區(qū)域中可分別固定5粒、6粒電池做成20粒、24粒的電池，此時(shí)面積S2≈252.4cm2≈2.7S，考慮包裝外塑料殼，則有包裝費(fèi)D10≈D12≈2.8D1≈0.25.綜合圖4（a）和（b），長度不變，為24.5cm，寬為14.1cm，此時(shí)有6個(gè)區(qū)域固定電池，見圖4（c），可在Ⅰ，Ⅱ固定6粒，其余的固定4粒，也可在Ⅰ，Ⅱ固定6粒，Ⅲ，Ⅳ固定5粒，Ⅴ，Ⅵ固定4粒，等，故可構(gòu)成28粒、30粒、32粒、34粒、36粒裝的電池.S3＝345.45cm2≈3.65S，考慮外塑料殼后有包裝費(fèi)

類似可以設(shè)計(jì)更多新包裝形式的電池.

圖4 堿性5號(hào)電池的3種新包裝形式尺寸示意圖Figure 4 Graphic representation of sizes of three new packing manners of alkaline aa batteries

由式（6）和（10）及包裝費(fèi)計(jì)算一些新包裝形式電池的具體售價(jià)見表3.

表3 堿性5號(hào)電池一些新包裝形式的理論售價(jià)（元）Table 3 Theoretic selling price（yuan）of alkaline aa batteries of some new packing manners

由表3可看出，理論售價(jià)隨包裝內(nèi)數(shù)量增多而逐漸增大，但是增加的幅度卻逐漸降低.商家在制定具體售價(jià)時(shí)可遵循自身的價(jià)格策略并根據(jù)包裝的具體大小微調(diào)售價(jià)，從而有利于銷售.消費(fèi)者可根據(jù)需求購買不同數(shù)量包裝的電池，從而得到實(shí)惠.

下面根據(jù)商品利潤函數(shù)R（x）＝F（x）－Cxp＝（A＋Bx）－αxp計(jì)算在上述售價(jià)關(guān)系下的利潤.即

根據(jù)式（11）—（12）計(jì)算包裝費(fèi)校正前后的部分電池理論利潤值R（x）與~R（x），見表4.

表4 堿性5號(hào)電池不同數(shù)量包裝時(shí)銷售的理論利潤（元）Table 4 Theoretic profits（yuan）of alkaline aa batteries of different numbers in packing

由表4可知，利潤隨包裝內(nèi)數(shù)量的增多而逐漸增大.

3 結(jié)語

商場中其他多包裝商品也有與堿性5號(hào)電池的上述售價(jià)函數(shù)相類似的售價(jià)與數(shù)量關(guān)系，因此以上研究模型得到的具體售價(jià)函數(shù)可應(yīng)用到其他商品的售價(jià)制定中，為消費(fèi)者提供更多包裝形式的商品選擇，從而有利于提高商場的利潤和市場地位.另外，還考慮了形如F（x）＝［C＋（A＋Bxα）－1］px的售價(jià)函數(shù)，利用上述堿性5號(hào)電池的數(shù)據(jù)及相同的參數(shù)估計(jì)方法，得到相對(duì)單包裝商品的相對(duì)銷售成本系數(shù)C≈0.336 86，則相對(duì)單包裝商品的銷售成本Cp≈1.65元，而實(shí)際售價(jià)為4.9元，此時(shí)Cp過小，與實(shí)際銷售成本不符，因此這種售價(jià)函數(shù)不合理.

［1］ 劉東山.超市競爭中價(jià)格策略研究［J］.黃岡職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2009，11（4）：96－97.

［2］ 王欣，胡正明.價(jià)格促銷中的消費(fèi)者效用感知研究［J］.山東社會(huì)科學(xué)，2010（3）：141－143.

［3］ 姜興武.商品單價(jià)的數(shù)學(xué)模型［J］.吉林商業(yè)高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)，2000（1）：49－50.

［4］ 馬衛(wèi)東，游玲杰.需求價(jià)格彈性、銷售收益和企業(yè)利潤的關(guān)系研究：基于成本策略［J］.經(jīng)濟(jì)研究導(dǎo)刊，2010（4）：55－56.

［5］ 王家文，王皓.MATLAB7.0編程基礎(chǔ)［M］.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2005.

［6］ 姜啟源，謝金星.數(shù)學(xué)模型［M］.北京：高等教育出版社，2005.

Research on function relationship between selling price and number of commodity in packing

FULina，LIBaoyi，ZHANGChi
（College of Mathematical Science，Tianjin Normal University，Tianjin 300387，China）

The selling prices of commodity are usually different according to the quantity of commodity in the smallest package.By the investigation of the selling price of this kind of commodity and the qualitative analysis of the relationship between the selling price and the quantity of commodity in the view of profit，a concrete function between the selling price and the relative quantity in the package is defined.Take a certain brand of alkaline aa batteries'real statistics for example，the parameters in the function by least squares method are estimated and the function of the selling price is obtained.Then the selling price is regulated using the batteries'packing charge，and the function of the selling price is gained by calculating the sum of squares of the relative error of the theoretical and practical relative selling unit price.The results can help the market make reasonable pricing for the commodity and make much higher profits.

relative quantity；relative unit price；function of selling price；profit

F224

A

1671－1114（2011）03－0017－05

2010－10－18

付麗娜（1986—），女，碩士研究生.

李寶毅（1963—），男，教授，主要從事常微分方程定性理論及其應(yīng)用方面的研究.

（責(zé)任編校 馬新光）