低滲透儲(chǔ)層容易產(chǎn)生高速非Darcy流嗎？

李傳亮

（西南石油大學(xué)油氣藏地質(zhì)及開(kāi)發(fā)工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室）

0 引言

符合Darcy方程的流動(dòng)，稱(chēng)作Darcy流。Darcy流的滲流速度與壓力梯度呈線(xiàn)性關(guān)系，因此也稱(chēng)作線(xiàn)性流。不符合Darcy方程的流動(dòng)，稱(chēng)作非Darcy流。非Darcy流的滲流速度與壓力梯度呈非線(xiàn)性關(guān)系，因此也稱(chēng)作非線(xiàn)性流［1］。Darcy流是層流所致，而非Darcy流則由湍流（紊流）所致，湍流只發(fā)生在較高的Reynolds數(shù)下，而在生產(chǎn)過(guò)程中高Reynolds數(shù)對(duì)應(yīng)較高的滲流速度。

與Darcy流相比，高速非Darcy流消耗更多的地層能量，流動(dòng)效率較低，因此，生產(chǎn)過(guò)程中一般應(yīng)避免出現(xiàn)高速非Darcy流。

現(xiàn)在的問(wèn)題是，到底是高滲透儲(chǔ)層容易出現(xiàn)高速非Darcy流，還是低滲透儲(chǔ)層容易出現(xiàn)？高速非Darcy流出現(xiàn)的條件是什么？這是一個(gè)沒(méi)有得到很好解決的理論問(wèn)題，筆者擬對(duì)此進(jìn)行研究，以便更好地指導(dǎo)生產(chǎn)。

1 非Darcy流

1886年Darcy建立的Darcy方程為［2-3］

式中：q 為流量，m3/ks；A 為巖石滲流截面積，m2；μ為流體黏度，mPa·s；Δp 為流動(dòng)壓差，MPa；ΔL 為巖石長(zhǎng)度，m；k為巖石滲透率，D。

式（1）也可以寫(xiě)成微分方程的形式：

式中：V 為滲流速度，m/ks；dp/dx為壓力梯度，MPa/m。

由圖1可看出，落在Ⅰ區(qū)的數(shù)據(jù)符合Darcy方程，為 Darcy 流，可用式（1）或式（2）描述，而落在Ⅱ區(qū)的數(shù)據(jù)不符合Darcy方程，為非Darcy流，不能用式（1）或式（2）描述。顯然，非Darcy流需要消耗更

圖1 滲流指示曲線(xiàn)Fig.1 Flow index curve

式中：β為非Darcy滲流系數(shù)，pm-1，通常稱(chēng)作慣性阻力系數(shù)或湍流系數(shù)。

由式（3）可看出：當(dāng) β=0 時(shí)，F(xiàn)orchheimer方程變成Darcy方程，亦即為Darcy流；β的數(shù)值越大，非Darcy流越嚴(yán)重；β的大小反映了儲(chǔ)層中高速非Darcy流的程度。

β沒(méi)有理論計(jì)算公式，前人的一些實(shí)驗(yàn)研究給出了以下形式的統(tǒng)計(jì)規(guī)律［4］多的能量，才能產(chǎn)生與Darcy流相同的滲流速度或流量。

由圖1還可看出，非Darcy流發(fā)生在較高的滲流速度條件下。人們通常采用Forchheimer提出的方程描述高速非Darcy流，F(xiàn)orchheimer方程為［4］

另外一些實(shí)驗(yàn)結(jié)果為［5］

式中：c，m，m1，m2為曲線(xiàn)擬合常數(shù)；φ 為孔隙度，%。

式（4）—式（5）顯示，滲透率或孔隙度越低，儲(chǔ)層越容易產(chǎn)生高速非Darcy流。

2 非Darcy流產(chǎn)生的條件

式中：Re 為 Reynolds數(shù)，dless；ρ為流體密度，g/cm3；d為管道直徑，m；v為流體速度，m/s。

根據(jù)大量的實(shí)驗(yàn)結(jié)果繪制的阻力系數(shù)λ與Reynolds數(shù)之間的關(guān)系曲線(xiàn)見(jiàn)圖2。當(dāng)Reynolds數(shù)較低時(shí)，阻力系數(shù)與Reynolds數(shù)之間呈線(xiàn)性關(guān)系，此時(shí)為層流。當(dāng)Reynolds數(shù)增大到一定數(shù)值后，阻力系數(shù)與Reynolds數(shù)之間呈非線(xiàn)性關(guān)系，此時(shí)為湍流。顯然，湍流的阻力系數(shù)比相同Reynolds數(shù)時(shí)的層流的阻力系數(shù)高，即湍流存在附加的能量損失，二者的阻力系數(shù)差為b（圖2）。湍流開(kāi)始時(shí)的Reynolds數(shù)稱(chēng)作臨界Reynolds數(shù)。人們通過(guò)大量的實(shí)驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)，管流的臨界 Reynolds數(shù)大約為 2 000［6］。 湍流與層流的阻力系數(shù)滿(mǎn)足下式：

非Darcy流是由湍流所致，湍流產(chǎn)生的條件一般用Reynolds數(shù)進(jìn)行判斷。管道中流動(dòng)的Reynolds數(shù)計(jì)算公式為［6］

圖2 λ與Re關(guān)系曲線(xiàn)Fig.2 Curve of relation between λ and Re

式中：λt為湍流的阻力系數(shù)，dless；λL為層流的阻力系數(shù)，dless；b為湍流與層流的阻力系數(shù)差，dless。

很顯然，b是Reynolds數(shù)的函數(shù)，隨Reynolds數(shù)的增大而增大，可近似寫(xiě)成式中：a為曲線(xiàn)常數(shù)；n為曲線(xiàn)指數(shù)，n＞1。

當(dāng)流體在多孔介質(zhì)中流動(dòng)時(shí)，由于流動(dòng)通道（孔隙）的粗糙度較大，臨界Reynolds數(shù)大幅度減小。根據(jù)實(shí)驗(yàn)研究，多孔介質(zhì)的臨界Reynolds數(shù)大約在5 以下［7-8］。

流體在多孔介質(zhì)中的滲流速度由式（2）計(jì)算，而真實(shí)速度則由下式計(jì)算：

式中：v為真實(shí)速度，m/ks。

把式（9）代入式（6），得

由式（10）可看出，孔隙直徑越小，儲(chǔ)層的滲透率和滲流速度越低，Reynolds數(shù)就越小，從而越不容易產(chǎn)生高速非Darcy流。因此，高速非Darcy流易于出現(xiàn)在高滲透儲(chǔ)層中，這與式（4）和式（5）的實(shí)驗(yàn)規(guī)律正好相反。

3 Darcy流方程

式中：hf為水頭損失，m；L 為管子長(zhǎng)度，m；g為重力加速度，m/s2。

把式（11）寫(xiě)成壓差的形式：

層流狀態(tài)下管流的沿程水頭損失為［6］

層流狀態(tài)下阻力系數(shù)與Reynolds數(shù)的關(guān)系滿(mǎn)足下式［6］：

再把式（12）寫(xiě)成壓力梯度的形式：

層流狀態(tài)下阻力系數(shù)與Reynolds數(shù)的關(guān)系滿(mǎn)足下式［6］：

把式（14）和式（6）代入式（13），得

把式（9）代入式（15），得

多孔介質(zhì)的Kozeny-Carman方程可以寫(xiě)成［9］

把式（17）代入式（16），即得到式（2）形式的Darcy方程，因此，Darcy流與層流是相對(duì)應(yīng)的。

4 非Darcy流方程

把式（13）中的 λL換成 λt，得湍流狀態(tài)下管流的壓力梯度計(jì)算公式為

把式（7）代入式（18），得

式（19）可以改寫(xiě)成

把式（20）與式（3）進(jìn)行對(duì)比，可得

把式（8）和式（10）代入式（21），得

由式（22）可以看出，非Darcy滲流系數(shù)β的影響因素較多，并非只是滲透率或孔隙度的函數(shù)。孔隙直徑越小，滲透率越低，滲流速度就越低，非Darcy滲流系數(shù)β的數(shù)值也就越小。因此，低滲透儲(chǔ)層的高速非Darcy流并不嚴(yán)重，這與式（4）和式（5）顯示的邏輯關(guān)系正好相反，也說(shuō)明式（4）和式（5）的實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)規(guī)律不正確。

5 結(jié)論

（1）Darcy流對(duì)應(yīng)層流，非Darcy流對(duì)應(yīng)湍流。

（2）高滲透儲(chǔ)層容易產(chǎn)生高速非Darcy流，低滲儲(chǔ)層不容易產(chǎn)生。

（3）低滲透儲(chǔ)層中的高速非Darcy流并不嚴(yán)重。

（4）低滲透儲(chǔ)層的流動(dòng)極其困難，產(chǎn)量極低，生產(chǎn)過(guò)程不必考慮高速非Darcy流的影響。

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