221700 江蘇省豐縣黃樓初級(jí)中學(xué) 王慶志

遷移解法再探究 拓廣演變提能力

221700 江蘇省豐縣黃樓初級(jí)中學(xué) 王慶志

以課本中的典型習(xí)題為素材由淺入深，由此及彼地努力探索問(wèn)題的衍生點(diǎn)，通過(guò)變換命題的條件與結(jié)論，或通過(guò)創(chuàng)設(shè)新的問(wèn)題情境進(jìn)行“深加工”，類比遷移、延伸拓展，進(jìn)行創(chuàng)造性的改編可以演變出許多的新問(wèn)題，通過(guò)解題與聯(lián)想把蘊(yùn)涵其中的數(shù)學(xué)思想方法揭示出來(lái)，挖掘出隱含的問(wèn)題的本質(zhì)屬性，對(duì)于提高同學(xué)們探索創(chuàng)新能力、解題的思維技能有著重要的作用.本文以九年級(jí)《數(shù)學(xué)》(義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)(江蘇科學(xué)技術(shù)出版社)上冊(cè)第137頁(yè)第13題)習(xí)題為例闡釋如下.

1 原題及解法

題目 如圖1，在 Rt△ABC中，∠C=90°，它的內(nèi)切⊙O 分別與邊AB，BC，CA相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，且 BD=6，AD=4，求⊙O的半徑r.

圖1

解法1 根據(jù)直角三角形的勾股定理構(gòu)造關(guān)于內(nèi)切圓半徑的一元二次方程求解.

連接OE，OF，根據(jù)“切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑”可知 OE⊥BC，OF⊥AC，

又∠ACB=90°，所以四邊形OECF是矩形，又OE=OF，所以四邊形OECF是正方形，

設(shè)⊙O的半徑為r，則CE=CF=r，

根據(jù)“從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等”，

所以 AF=AD=4，BE=BD=6，

在Rt△ABC中由勾股定理得AC2+BC2=AB2，

即(4+r)2+(6+r)2=(4+6)2，

解之得r=2，r=－12(不合題意，舍去)

所以⊙O的半徑為2.

解法2 根據(jù)直角三角形的面積構(gòu)造關(guān)于內(nèi)切圓半徑的一元二次方程求解.

連接OA，OB，OC將Rt△ABC分成3個(gè)三角形，分別為△OAB，△OBC，△OCA它們的高都是內(nèi)切圓的半徑，根據(jù)整體等于部分之和(設(shè)r為內(nèi)切圓的半徑)可得

解之，得r=2，r=－12(不合題意，舍去)

所以⊙O的半徑為2.

2 反思解題過(guò)程，探究拓展問(wèn)題

初中學(xué)生的年齡特征及數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)水平，決定了他(她)們往往只熱衷于做習(xí)題，卻不對(duì)解題思路進(jìn)行反思、總結(jié)，這樣的解題只停留在經(jīng)驗(yàn)水平上，往往事倍功半.在學(xué)生解決每一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題之后，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解題過(guò)程進(jìn)行自我反思總結(jié)，可以觸及學(xué)生元認(rèn)知思維水平的需要，提升從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的飛躍.學(xué)之道在于“悟”，只有通過(guò)反思，學(xué)生的思維才能真正啟動(dòng)，思想才能得到升華.

從解法2的探究過(guò)程中，可以發(fā)現(xiàn)其中隱含了一種重要的數(shù)學(xué)解題思維方法——有些圖形的面積可以通過(guò)適當(dāng)?shù)姆指?，利用整體等于各個(gè)部分面積之和(“同一個(gè)圖形分割后整體的面積等于各個(gè)部分之和”)來(lái)獲得一種行之有效的解決問(wèn)題的策略.

拓展1 直角三角形是特殊的三角形，又是多邊形中最簡(jiǎn)單的一種圖形，任意的三角形都存在唯一的內(nèi)切圓，但四邊形不一定存在內(nèi)切圓，假若四邊形存在一個(gè)內(nèi)切圓上述結(jié)論成立嗎?對(duì)于任意的n邊形呢?

例1 閱讀材料:如圖2，△ABC的周長(zhǎng)為 l，內(nèi)切圓O的半徑為 r，連接 OA，OB，OC，△ABC被劃分為三個(gè)小三角形，用 S△ABC表示△ABC 的面積.

圖2

(1)理解與應(yīng)用:利用公式計(jì)算邊長(zhǎng)分別為5，12，13的三角形內(nèi)切圓半徑;

圖3

(2)類比與推理:若四邊形ABCD存在內(nèi)切圓(與各邊都相切的圓)如圖3，且面積為 S，各邊長(zhǎng)分別為 a，b，c，d，試推導(dǎo)四邊形的內(nèi)切圓半徑公式;

(3)拓展與延伸:若一個(gè)n邊形(n為不小于3的整數(shù))存在內(nèi)切圓，且面積為S，各邊長(zhǎng)分別為 a1，a2，a3，…，an，合理猜想其內(nèi)切圓半徑公式(不需說(shuō)明理由).

解析 本題創(chuàng)設(shè)了一個(gè)以“閱讀材料—三角形的面積與內(nèi)切圓半徑及周長(zhǎng)之間關(guān)系”的問(wèn)題背景，其中的巧妙之處在于分割后3個(gè)三角形的高均為內(nèi)切圓的半徑，因而三角形的面積等于三角形的周長(zhǎng)之半與內(nèi)切圓半徑之積.

(1)首先根據(jù)三邊之間關(guān)系判定是直角三角形，即52+122=132由勾股定理的逆定理可知:邊長(zhǎng)分別為5，12，13 的三角形，所以 S=×5×12=30，設(shè)內(nèi)切圓

△ABC半徑為r，則有30=(5+12+13)·r，所以 r=2.

(2)設(shè)四邊形內(nèi)切圓的圓心為點(diǎn)O，分別連接OA，OB，OC，OD，將四邊形ABCD分割為4個(gè)三角形△AOB，△BOC，△COD，△DOA，它們的高視為四邊形 ABCD的內(nèi)切圓半徑，則有S=(a+b+c+d)·r，所以 r=

(3)根據(jù)閱讀材料及問(wèn)題(2)的解答過(guò)程，進(jìn)行類比推理，不難猜想:面積為 S，各邊長(zhǎng)分別為 a1，a2，a3，…，an的n邊形(n為不小于3的整數(shù))內(nèi)切圓半徑公式

點(diǎn)評(píng) 本題提供的是“一個(gè)多邊形如果存在內(nèi)切圓，那么這個(gè)多邊形的面積如何用多邊形的周長(zhǎng)及內(nèi)切圓的半徑來(lái)表示”的研究課題，試題首先從最簡(jiǎn)單三角形的內(nèi)切圓入手讓學(xué)生通過(guò)閱讀獲得問(wèn)題的解題方法，經(jīng)歷解決問(wèn)題的過(guò)程并掌握得到問(wèn)題的結(jié)論，然后讓學(xué)生用類比遷移問(wèn)題的處理方法，去解決四邊形內(nèi)切圓問(wèn)題，然后從特殊到一般讓學(xué)生猜想對(duì)任意的n邊形的內(nèi)切圓的半徑與n邊形的面積與各邊長(zhǎng)之間的關(guān)系.通過(guò)本題的解答讀者應(yīng)該掌握“學(xué)會(huì)從‘特殊情況、簡(jiǎn)單情況’入手，觀察分析推理，得出規(guī)律后再向‘一般情況’推廣的研究問(wèn)題”的數(shù)學(xué)方法.

拓展2 例2 已知Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8.

(1)如圖4，若半徑為r1的⊙O是 Rt△ABC的內(nèi)切圓，求r1;

圖4

(2)如圖5，若半徑為 r2的兩個(gè)等圓⊙O1，⊙O2外切，且⊙O1與 AC，AB 相切，⊙O2與 BC，AB 相切，求 r2;

(3)如圖6，當(dāng)n是大于2的正整數(shù)時(shí)，若半徑為rn的n個(gè)等圓⊙O1，⊙O2，…，⊙On依次外切，且⊙O1與AC，AB 相切，⊙On與 BC，AB 相切，⊙O2，⊙O3，…，⊙On－1均與AB邊相切，求rn.

圖5

圖6

解 (1)∵ 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8.∴ AB==10.

如 圖 7，設(shè) ⊙O1與Rt△ABC的邊 AB，BC，CA 分別切于點(diǎn) D，E，F(xiàn)，連接 O1D，O1E，O1F，AO1，BO1，CO1.于是，O1D⊥AB，O1E⊥BC，O1F⊥AC，

圖7

(2)如圖8連接AO1，BO2，CO1，CO2，O1O2，則

圖8

圖9

(3)如圖 9，連接 AO1，BOn，CO1，COn，O1On，

∵ 等圓⊙O1，⊙O2，…，⊙On依次外切，且均與 AB邊相切，

∴ ⊙O1，⊙O2，…，⊙On均在直線 O1On上，

且 O1On∥AB.

∴ O1On=(n－2)2rn+2rn=2(n－1)rn，

點(diǎn)評(píng) 本題是探索相切圓的半徑規(guī)律型問(wèn)題，要求同學(xué)們善于觀察圖形，能從最簡(jiǎn)單情況探究問(wèn)題的解法中得到啟示，從而根據(jù)已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)對(duì)復(fù)雜圖形進(jìn)行分解計(jì)算與探究，找出其中的隱含變化規(guī)律，從而遷移問(wèn)題的解法推廣得一般的結(jié)論.

拓展3 將直角三角形改換成等腰三角形，并變換問(wèn)題的情境——放置到平面直角坐標(biāo)系中研究?jī)?nèi)切圓圓心的坐標(biāo)，進(jìn)而拓廣探究其旁切圓圓心坐標(biāo)

例3 (2009年莆田)(1)如圖10，已知，△ABC的周長(zhǎng)為 l，面積為 S，其內(nèi)切圓的圓心為 Q，半徑為 r，求證:r=

(2)如圖11，△ABC中，A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(－3，0)，B(3，0)，C(0，4)，若△ABC 的內(nèi)心為 D，求內(nèi)心點(diǎn)D的坐標(biāo);

(3)與三角形的一邊和其他兩邊的延長(zhǎng)線相切的圓，叫旁切圓，圓心叫旁心.請(qǐng)求出條件(2)中的△ABC位于第一象限的旁心的坐標(biāo).

圖10

圖11

解析 (1)見(jiàn)拓展1閱讀材料.

(2)解法1 由于點(diǎn)D在y軸上，且⊙D與x軸相切，故點(diǎn)D坐標(biāo)為(0，r)，因而只需求出⊙D的半徑r即可，受(1)的啟發(fā)可以利用面積作為相等關(guān)系列出關(guān)于r的方程.

由已知得AB=6，AC=5，所以，

圖12

(3)根據(jù)旁切圓的定義，分別作∠BAC的平分線及∠BCA的外角的平分線，設(shè)它們相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P就是第一象限內(nèi)旁切圓的圓心.過(guò)點(diǎn)P作 PE⊥x軸于點(diǎn) E，連接BD，BP，設(shè)點(diǎn) P(a，b).

解法1 利用相似三角形性質(zhì)列出關(guān)于a，b的方程組求解即可.

由BD平分∠ABC，BP平分∠ABC的外角，

所以∠PBD=90°.

根據(jù)等角的余角相等可知

聯(lián)立①②解方程組得b=4，a=5故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(5，4).

解法2 可以證明等腰△CAB頂角∠ACB的外角平分線與底邊AB平行，即PC∥AB，又點(diǎn)P在射線AD上，所以P可以看作是直線CP與射線AD的交點(diǎn).由待定系數(shù)法可以求得直線AD的解析式為y=x，顯然直線CP的解析式為y=4，聯(lián)立方程組解之，P(5，4).得所以點(diǎn) 的坐標(biāo)為

點(diǎn)評(píng) 本題又見(jiàn)于人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第106頁(yè)練習(xí)題2，將△ABC特殊化成為等腰三角形，并將其放置于平面直角坐標(biāo)系中，換一個(gè)視角探究?jī)?nèi)切圓的圓心的坐標(biāo)，進(jìn)而拓展進(jìn)一步探究旁切圓的圓心坐標(biāo)，意在考查學(xué)生靈活遷移知識(shí)解決問(wèn)題的能力.解決問(wèn)題的思路入手較寬，關(guān)注了不同層次學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平，為張揚(yáng)學(xué)生的個(gè)性創(chuàng)設(shè)了一個(gè)比較人性化的數(shù)學(xué)環(huán)境，整個(gè)試題的設(shè)計(jì)由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，梯度合理，在學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)設(shè)計(jì)問(wèn)題，拓展適度，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.體現(xiàn)了“承認(rèn)差異，尊重個(gè)性，不同的人在數(shù)學(xué)上有不同的發(fā)展”數(shù)學(xué)理念.

3 習(xí)題資源開(kāi)發(fā)引發(fā)思考

3.1 應(yīng)突出數(shù)學(xué)思想方法對(duì)解題教學(xué)的導(dǎo)航

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次上的抽象和概括，它蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過(guò)程中，有待我們從問(wèn)題的探究和解決過(guò)程中去發(fā)現(xiàn)和挖掘，進(jìn)而讓學(xué)生銘記在心，只有理解上述解法探究中運(yùn)用了方程(引例解法1、2)、轉(zhuǎn)化(將圖形的面積進(jìn)行分割轉(zhuǎn)化)、類比、特殊到一般等數(shù)學(xué)思想方法.數(shù)學(xué)思想方法，才能在解決類似的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)自覺(jué)地去應(yīng)用.

3.2 習(xí)題拓展應(yīng)設(shè)計(jì)遞進(jìn)型問(wèn)題，以提升學(xué)生探究能力

問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，問(wèn)題的解決是數(shù)學(xué)思維的核心，教學(xué)中有意識(shí)地將原問(wèn)題拓展延伸，可以有效地培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)與探究能力.在平時(shí)習(xí)題的教學(xué)過(guò)程中應(yīng)當(dāng)以學(xué)生原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)作為新知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生從原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)中，生長(zhǎng)新的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，使設(shè)計(jì)的問(wèn)題永遠(yuǎn)處于“學(xué)生最近發(fā)展區(qū)”.改編課本習(xí)題應(yīng)當(dāng)注意與習(xí)題體現(xiàn)的數(shù)學(xué)知識(shí)、方法、思維規(guī)律的關(guān)聯(lián)性，讓解題思路這一不變的“暗線”貫穿始終，當(dāng)一個(gè)問(wèn)題涉及到相當(dāng)多的乃至無(wú)窮多的情形時(shí)，可從問(wèn)題的簡(jiǎn)單情形或特殊情況入手，通過(guò)簡(jiǎn)單的情形或特殊情形的觀察與探索，從中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，或作出某種猜想，從而找到解決問(wèn)題的途徑或方法.這樣從最簡(jiǎn)單的問(wèn)題入手通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題多角度、多層次、多方位的討論和思考，層層推進(jìn)，不斷揭示問(wèn)題的本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探索出“變”的規(guī)律，從而提升學(xué)生獨(dú)立思考和解決問(wèn)題的能力，激發(fā)學(xué)生大膽參與，勇于探索的精神.

20110328)