430079 武漢華中師范大學(xué)國家數(shù)字化學(xué)習(xí)工程技術(shù)研究中心 彭翕成 張景中
地板磚引發(fā)的勾股定理萬能證明
430079 武漢華中師范大學(xué)國家數(shù)字化學(xué)習(xí)工程技術(shù)研究中心 彭翕成 張景中
筆者曾經(jīng)撰文介紹如何用兩個三角形拼擺,得出了勾股定理的多種證法.當然,我們也可以利用計算機,給出勾股定理的多種證法.這種設(shè)計來自畢達哥拉斯的啟發(fā).
在西方,勾股定理又被稱為畢達哥拉斯定理.相傳,古希臘數(shù)學(xué)家畢達哥拉斯是在觀察地板圖案時發(fā)現(xiàn)了勾股定理.由于地板圖案都是一樣大小的正方形,所以畢達哥拉斯最先發(fā)現(xiàn)的是勾股定理對于等腰直角三角形成立(圖1).
圖1
圖2
十分巧合的是,我國古代也有類似的圖形(圖2).不過這個圖形不是從地板圖案而來,而是將一個正方形紙板分成7份,然后重新進行組合.這算是益智游戲七巧板的一個應(yīng)用吧.
設(shè)計一種地板圖案如圖3所示,您能從中發(fā)現(xiàn)勾股定理么?您若一眼就能看出該圖蘊含了勾股定理的三種證法,那就恭喜您有不錯的幾何直覺!
其實,圖中的奧妙遠不局限于此.假如設(shè)計一種由一大一小正方形鋪成的地板,然后我們拿一個正方形紙板(其邊長的平方等于原來兩個正方形的邊長平方和)隨手往上一扔,一扔就得到一種證法.扔到特殊位置,面積分割起來就比較簡單一點;而扔到一般位置,面積分割起來就需要多一些功夫.
圖3
為了更清楚地說明,我們用動態(tài)幾何軟件——超級畫板制作了一個課件《勾股定理的萬能證明.zjz》.此課件使用很簡單,只要拖動屏幕上兩個點,就能批量產(chǎn)生勾股定理面積分割證明.大家有興趣的話,可以到網(wǎng)上去下載,只需在百度上搜索“勾股定理的萬能證明”即可.該課件用超級畫板打開.
打開課件后,出現(xiàn)界面如圖4所示,這本身就是一種證明.為了讓演示有序進行,我們先保持紅點不變,拖動黃色點,使之從左上方頂點開始,逆時針繞一圈(圖5~圖16).
圖4
圖5(5塊)
圖6(7塊)
圖7(6塊)
圖8(5塊)
圖9(7塊)
圖10(6塊)
圖11(5塊)
圖12(7塊)
圖13(6塊)
圖14(5塊)
圖15(7塊)
圖16(6塊)
黃色點在周界上繞完一周后.我們拖動它從左上頂點出發(fā),在內(nèi)部緩慢移動(圖17~圖18).
拖動黃色點調(diào)整三角形形狀,此時黃色點在直角邊上較大正方形內(nèi).我們?nèi)匀粡淖笊戏巾旤c開始拖動黃色點(圖19~圖21).
圖17(7塊)
圖18(8塊)
圖19(5塊)
圖20(6塊)
圖21(6塊)
圖22(6塊)
以上只是截取的部分圖片,只要有時間,可以得到更多的證明.稱之為萬能證明,一點都不為過.
以上的變化,都是斜邊上的正方形平移作分割.如果考慮旋轉(zhuǎn)則復(fù)雜很多,譬如圖22的情形可不大容易看出來,還得進一步分割.
勾股定理的證明已經(jīng)足夠多了.多幾種、少幾種,影響并不大.但利用計算機軟件批量生成證明,則是一件很有趣的事情,這也是過去難以想象的.采用先進的技術(shù)手段,用探索發(fā)現(xiàn)的心態(tài)去研究數(shù)學(xué),能夠看到更多的精彩.
另外,我們也不能忘記是古老的傳說故事給予我們的啟發(fā),踩在腳下的地板磚看似地位卑微,但卻充滿智慧.它能給我們靈感,解答我們心中的疑惑.譬如拿破侖定理,從任意三角形三邊出發(fā)向外作三個等邊三角形,而這三個等邊三角形的中心構(gòu)成一個新的等邊三角形.這是難倒很多數(shù)學(xué)愛好者的經(jīng)典問題.讓地板磚來告訴我們怎么做吧.
圖23
如圖23,假定黑色三角形是最初的任意三角形,以其中一邊向外作好等邊三角形,再以該等邊三角形的中心為旋轉(zhuǎn)中心,將原三角形分別旋轉(zhuǎn)120°和240°,然后以三個非等邊三角形向外作等邊三角形.這樣的操作是可以持續(xù)做下去的,直到鋪滿整個平面.而若我們連接其中的幾個中心,就能構(gòu)造出一個正六邊形.這也就得到了拿破侖定理的一個無字證明.
這又給我們啟發(fā),單獨看某個事物,可能難以看出什么門道.而若將其放之特定環(huán)境,從整體來看,很可能就能發(fā)現(xiàn)內(nèi)藏的規(guī)律.
20110601)