●徐國(guó)君 (杭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 浙江杭州 310023)

從高校自主招生試題看數(shù)列極限

●徐國(guó)君 (杭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 浙江杭州 310023)

數(shù)列問(wèn)題融計(jì)算、推理于一體，綜合性與靈活性都很強(qiáng)．?dāng)?shù)列問(wèn)題的基礎(chǔ)是等差數(shù)列、等比數(shù)列，熱點(diǎn)是遞推(遞歸)數(shù)列(等差數(shù)列、等比數(shù)列也是一類簡(jiǎn)單的遞推數(shù)列)．問(wèn)題的形式有求值、求通項(xiàng)、求和以及討論數(shù)列的單調(diào)性、周期性、有界性、整除性等．而數(shù)列極限問(wèn)題往往是數(shù)列綜合問(wèn)題，并且是和高等數(shù)學(xué)聯(lián)系最為緊密的知識(shí)模塊之一，因而成為高校自主招生考試的重點(diǎn)內(nèi)容之一．本文將結(jié)合高校的自主招生試題談?wù)剶?shù)列極限方面的一些淺顯見(jiàn)解，供同行參考．

1 高校自主招生試題中出現(xiàn)的數(shù)列極限的內(nèi)容要點(diǎn)

1．1 3個(gè)最基本的極限

1．2 數(shù)列極限的四則運(yùn)算

推廣上面法則可以推廣到有限多個(gè)數(shù)列的情況．例如，若{an}，{bn}，{cn}有極限，則

1．3 無(wú)窮數(shù)列各項(xiàng)的和

(1)無(wú)窮遞縮等比數(shù)列各項(xiàng)的和．

當(dāng)公比|q|＜1時(shí)，無(wú)窮等比數(shù)列{an}稱為無(wú)窮遞縮等比數(shù)列．

1．4 求數(shù)列極限的方法與基本類型

(1)求數(shù)列極限的基本思路．

求和—變形—求解，而在求解前應(yīng)先化為3個(gè)基本的極限形式．

(2)常見(jiàn)的幾類數(shù)列極限的類型和方法．

2 高校自主招生真題鏈接

分析利用n的任意性，設(shè)法消去b，先找出an－1，an與 an+1間的遞推關(guān)系式．

解(1)由條件得

評(píng)注本題求解的關(guān)鍵是利用特征方程求數(shù)列通項(xiàng)的思想方法．

3 反思與認(rèn)識(shí)

隨著高校自主招生的日益普及，其自主性也大大增加，近幾年還出現(xiàn)了高校聯(lián)盟招生，其規(guī)模日益擴(kuò)大，參與的學(xué)生人數(shù)也日益增加，有著“小高考”之稱．隨著競(jìng)爭(zhēng)的加劇，學(xué)生在準(zhǔn)備自主招生中投入的精力也在增加．如何幫助優(yōu)秀學(xué)生在準(zhǔn)備高考之余能夠比較自如地參與高校自主招生考試，提高其成功率，是當(dāng)今社會(huì)賦予我們一線教師的一項(xiàng)新的歷史使命．只有多鉆研、多思考、多總結(jié)才能把握高校自主招生的命題特點(diǎn)，有針對(duì)性地給學(xué)生進(jìn)行相應(yīng)的輔導(dǎo)和指導(dǎo)，才能取得事半功倍的效果．譬如數(shù)列極限內(nèi)容，雖然高考基本不做要求，但是在當(dāng)今自主招生中卻屢屢出現(xiàn)，因此，在平時(shí)教學(xué)中有必要適當(dāng)滲透極限思想，并在課余時(shí)間對(duì)優(yōu)秀學(xué)生適時(shí)加以指導(dǎo)．