●張世林 (巴東市第一中學(xué) 湖北巴東 444300) ●譚 斌 (恩施高級(jí)中學(xué) 湖北恩施 445000)

一道2011年湖北省數(shù)學(xué)高考試題的圖像妙解

●張世林 (巴東市第一中學(xué) 湖北巴東 444300) ●譚 斌 (恩施高級(jí)中學(xué) 湖北恩施 445000)

2011年湖北省數(shù)學(xué)高考文科試題第20題:

設(shè)函數(shù) f(x)=x3+2ax2+bx+a，g(x)=x2－3x+2，其中 x∈R，a，b為常數(shù)，已知曲線 y=f(x)與y=g(x)在點(diǎn)(2，0)處有相同的切線l．

(1)求a，b的值，并寫(xiě)出切線l的方程;

(2)若方程f(x)+g(x)=mx有3個(gè)互不相同的實(shí)根0，x1，x2，其中 x1＜ x2，且對(duì)任意的 x∈［x1，x2］，f(x)+g(x)＜m(x－1)恒成立，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍．

本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理論證的能力，以及函數(shù)與方程和特殊與一般的思想．

第(1)小題比較簡(jiǎn)單，易得 a=－2，b=5，l:x－y－2=0．第(2)小題大部分考生感覺(jué)題目似曾相識(shí)，但又不合常規(guī)，解答起來(lái)困難不?。旅婀P者用圖像法進(jìn)行求解，比參考答案要簡(jiǎn)單、明了．

解(2)由第(1)小題可將方程 f(x)+g(x)=mx化為

設(shè) h(x)=x(x2－3x+2 －m)，由題意知 x1，x2是方程x2－3x+2－m=0的2個(gè)根，因此

圖1