薛艷霞，蘇振超

（五邑大學(xué) 土木建筑學(xué)院，廣東 江門(mén) 529020）

附加質(zhì)量懸臂柱次隨從力作用下臨界力的精確解

薛艷霞，蘇振超

（五邑大學(xué) 土木建筑學(xué)院，廣東 江門(mén) 529020）

基于相應(yīng)的微分方程，推導(dǎo)出了次隨從力作用下端部附加質(zhì)量懸臂柱臨界力的精確公式，討論了次隨從力參數(shù)γ和與集中質(zhì)量相關(guān)的參數(shù)η對(duì)臨界力參數(shù)crλ的影響，繪制了γ和η對(duì)臨界力以及臨界力變化率的影響曲線，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行了分析，所得的結(jié)論與數(shù)值模擬的結(jié)論一致.

懸臂柱；隨從力；次隨從力；次隨從力參數(shù)；靜態(tài)穩(wěn)定性；臨界力

懸臂柱在隨從力作用下的靜態(tài)和動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性是很多學(xué)者密切關(guān)注的課題，并在實(shí)際工程中有重要應(yīng)用.由于懸臂柱在隨從力作用下其歐拉意義下的臨界荷載不存在[1]，人們開(kāi)始研究次隨從力作用下的懸臂柱臨界力問(wèn)題，如B.N.Rao等[2-5]分別對(duì)等截面和變截面懸臂柱在次隨從力作用下的靜態(tài)穩(wěn)定性進(jìn)行了分析，薛艷霞等[6]用數(shù)值方法研究了端部附加質(zhì)量對(duì)次隨從力作用下懸臂柱臨界力的影響，本文在此基礎(chǔ)上對(duì)端部附加集中質(zhì)量的等截面懸臂柱在次隨從力作用下的穩(wěn)定性進(jìn)行精確分析，并分別針對(duì)集中質(zhì)量和次隨從力對(duì)等截面懸臂柱臨界力以及臨界力變化率的影響進(jìn)行討論.

1 系統(tǒng)的微分方程

按照文獻(xiàn)[6]中的符號(hào)和梁的Bernoulli-Euler理論，可得系統(tǒng)的微分方程：

并具有邊界條件：

引入ξ=s/ L，則由式（l～2）可得：

并且當(dāng)θ=0時(shí)，有靜力穩(wěn)定平衡的條件如下：

對(duì)于η=1時(shí)有γ≤1.

從上述結(jié)果可知，如果考慮端部附加質(zhì)量的重力影響，η可以大于0.5，甚至在W=P時(shí)，可以等于1.這在以后的討論中可以看到.

2 臨界力的精確解

由方程（7）可得：

令

則由式（8）可得：

故：

邊界條件可以利用式（4）和式（9）得到：

由式（10～12）可得：

在方程（13）中，a→0時(shí)，則有 λ= λcr， λcr為線性臨界力（臨界荷載）參數(shù)，

所以crλ可表示為：

對(duì)于給定的次隨從力參數(shù)γ和參數(shù)η，臨界力參數(shù)crλ可以通過(guò)式（15）求解，但在計(jì)算過(guò)程中需要保證式（6）成立.式（15）中，當(dāng)參數(shù)η=0時(shí)，所得到的結(jié)論就是文獻(xiàn)[2]中的結(jié)果.

3 討論

為了討論次隨從力參數(shù)γ和參數(shù)η對(duì) λcr（或臨界力）的影響，圖1畫(huà)出了當(dāng)η分別取0、0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8、0.9、1.0時(shí)，λcr與次隨從力參數(shù)γ的11條關(guān)系曲線.由圖1可見(jiàn)，當(dāng)η= 0時(shí)，次隨從力參數(shù)γ的變化范圍最小，為0～0.5，并且當(dāng)η=0.5時(shí)， λcr（或臨界力）取到最大值，這與周知的結(jié)論剛好吻合.當(dāng)次隨從力參數(shù)γ增加時(shí)，crλ（或臨界力）的大小也隨之增加，特別是在γ較大時(shí)，crλ（或臨界力）會(huì)隨著次隨從力參數(shù)γ的增加而顯著增加，并且隨著η的增加，次隨從力參數(shù)γ的變化范圍逐步增加，當(dāng)η=1.0時(shí)，次隨從力參數(shù)γ的變化范圍最大，為0～1.0，這與本文第一節(jié)的結(jié)論以及文獻(xiàn)[6]中數(shù)值模擬求解的結(jié)果完全吻合.

當(dāng)次隨從力參數(shù)γ分別取0、0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8、0.9、1.0時(shí)，crλ（或臨界力）與η的關(guān)系曲線見(jiàn)圖2.從圖2可以看出，當(dāng)γ取0時(shí)，隨著η的增加，附加質(zhì)量的重力逐步增加，crλ逐步減小.事實(shí)上，這種情況演變?yōu)闅W拉意義下的壓桿穩(wěn)定問(wèn)題，由于附加質(zhì)量的重力增加，荷載P對(duì)應(yīng)的數(shù)值減小，所以 λcr（或臨界力）也隨之減小.當(dāng)γ大于0時(shí)，則隨著參數(shù)η的增加， λcr（或臨界力）的取值逐步減小，特別是在γ較大而η較小時(shí)， λcr（或臨界力）隨著參數(shù)η的增加而急劇減小.同時(shí)，還可以看出，當(dāng)0 ≤ γ ≤ 0.5時(shí)，η的值可以取遍0到1之間的任何值；而當(dāng)γ=1時(shí)，則在η＜1的范圍內(nèi)不能維持靜態(tài)平衡，η=1這點(diǎn)例外.

圖1 次隨從力參數(shù)γ對(duì) λcr的影響(η =0 ～1.0)

圖2 η對(duì) λcr的影響(γ =0 ～1.0)

為了進(jìn)一步考察次隨從力參數(shù)γ和參數(shù)η的變化對(duì)crλ（或臨界力）變化的影響，分別將式（15）對(duì)γ和η求導(dǎo)可得：

根據(jù)式（16）、（17），考察參數(shù)γ、η的變化對(duì)臨界力參數(shù)crλ的影響曲線，具體見(jiàn)圖3～6.

圖3 γ與?λcr/?γ的關(guān)系

圖4 η與?λcr/?γ的關(guān)系

圖5 γ與?λcr/?η的關(guān)系

圖6 η與?λcr/?η的關(guān)系

從圖3～6可以看出，各個(gè)參數(shù)對(duì)于臨界力參數(shù)λcr變化的影響與圖1、圖2以及文獻(xiàn)[6]中圖2的曲線變化相一致.

4 結(jié)論

本文主要討論了端部附加集中質(zhì)量時(shí)懸臂柱在次隨從力作用下的穩(wěn)定性，根據(jù)系統(tǒng)的微分方程及邊界條件，通過(guò)運(yùn)算得到了系統(tǒng)的臨界力參數(shù)crλ與次隨從力參數(shù)γ和與集中質(zhì)量相關(guān)的參數(shù)η的精確關(guān)系式，針對(duì)參數(shù)不同的取值，繪制了相應(yīng)的關(guān)系曲線，所得的結(jié)果與文獻(xiàn)[6]中數(shù)值計(jì)算的結(jié)果相互印證，特殊情況下（η=0）的結(jié)論也文獻(xiàn)[2]中的結(jié)果一致，并推廣了該文獻(xiàn)中的公式.

[1]REBIERE J P.Non-linear static analysis of a bar under a pure follower force[J].Journal of Sound and Vibration, 1978,60(3)：459-460.

[2]RAO B N,RAO V G.Applicability of the static or dynamic criterion for the stability of a cantilever column under a tip-concentrated subtangential follower force[J].Journal of Sound and Vibration,1987,120(l)：197-200.

[3]RAO B N,RAO G V.Applicability of static or dynamic criterion for the stability of a non-uniform cantilever column subjected to a tip-concentrated subtangential follower force[J].Journal of Sound and Vibration,1988, 122(1)：188-191.

[4]RAO B N,RAO G V.Post-critical behaviour of Euler and Beck columns resting on an elastic foundation[J]. Journal of Sound and Vibration,2004,276：1150-1158.

[5]RAO B N,RAO G V.Stability of tapered cantilever columns with an elastic foundation subjected to a concentrated follower force at the free end[J].Journal of Sound and Vibration,1982,81(l)：147-151.

[6]薛艷霞，蘇振超，端部附加質(zhì)量對(duì)次隨從力作用下懸臂柱臨界力的影響[J].五邑大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2011,25(2)：69-72.

Exact Solution of Critical Force of a Cantilever Column with Tip Mass Subjected to a Subtangential Follower Force

XUE Yan-xia,SU Zhen-chao
(School of Civil Engineering&Architecture,Wuyi University,Jiangmen 529020,China)

The stability of a cantilever column with tip mass subjected to a subtangential follower force was discussed for investigating the effects of these factors on the critical force.Based on the differential equation of the system,the exact formula for the critical force of a cantilever column with tip mass subjected to a follower force was derived.The effects of the parameters related to a subtangential follower force and the tip-mass on the critical force were analyzed,the relation curves of the subtangential follower force parameter and the tip-mass parameter on the critical force and the rate of its change were plotted,and the results were discussed.

cantilever column;follower force;subtangential follower force;subtangential follower force parameter;static stability;critical force

?

TB124

A

1006-7302（2011）03-0040-05

2011-03-21

薛艷霞（1968—），女，河南民權(quán)人，講師，主要從事結(jié)構(gòu)工程及力學(xué)的研究與教學(xué).