n集函數(shù)極小極大分?jǐn)?shù)規(guī)劃的最優(yōu)性充分條件

王文君 劉紅衛(wèi)

(西安電子科技大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系,西安 710071)

在過(guò)去的幾十年里,很多學(xué)者研究了在各種不同凸性定義下n-集函數(shù)的多目標(biāo)規(guī)劃的最優(yōu)性理論, Lai H C和Huang T Y[1]討論了廣義(ρ,θ)不變凸性下n-集函數(shù)的極小極大規(guī)劃的最優(yōu)性條件,近來(lái)Preda V等[2]研究了在廣義V一致不變凸性下多目標(biāo)規(guī)劃的重要理論.受文獻(xiàn)[1-2]的啟發(fā),本文提出了廣義type-I型的(ρ,ρ*,θ)-V不變凸函數(shù),并在這類(lèi)凸性下給出了極小極大規(guī)劃的最優(yōu)性充分條件.

考慮如下規(guī)劃:

其中,Γn是對(duì)于給定集合X的σ代數(shù)Γ的n-折積, Fi,Gi,i∈P={1,2,…,p}和 Hj,j∈M={1,2,…, m}均是定義在Γn上的實(shí)值可微函數(shù).對(duì)于每個(gè)i∈ P,Fi(S)≥0且Gi(S)＞0,?S∈Γn,滿(mǎn)足Hj(S)≤0, j∈M.令X0={S∈Γn:Hj(S)≤0,j∈M}是(P)的可行集.

設(shè)(X,Γ,μ)是具有L1(X,Γ,μ)可分的有限無(wú)原子空間,Γn上的偽測(cè)度定義為

其中SkΔTk表示Sk與Tk的對(duì)稱(chēng)差.那么(Γn,d)是偽度量空間.對(duì)于h∈L1(X,Γ,μ)和以Iz∈L∞(X,Γ, μ)為特征函數(shù)的z∈Γ,〈h,Iz〉表示積分∫zhdμ.關(guān)于集函數(shù)的可微性是由Morris[3]首次提出來(lái)的,后經(jīng)Corley[4]擴(kuò)展到n-集函數(shù)上來(lái).

定義1[4]函數(shù)F:Γn→R關(guān)于S*(,…,)的第k個(gè)分量具有偏導(dǎo)數(shù),如果函數(shù)φ(Sk)=存在導(dǎo)數(shù)Dφ(S*k),那么定義DkF(S*)=Dφ().如果DkF(S*),k= 1,…,n都存在,那么有DF(S*)=(D1F(S*),…, DnF(S*)).

定義2[4]函數(shù)F:Γn→R在S*∈Γn是可微的,如果存在DF(S*)和ψ:Γn×Γn→R滿(mǎn)足:

1 預(yù)備知識(shí)

其中,函數(shù)F:Γn→Rp的分量Fi,i∈P與函數(shù)H:Γn→Rm的分量Hj,j∈M在S*處均是可微的.文獻(xiàn)[1]給出了廣義(ρ,θ)不變凸性下n-集函數(shù),設(shè)ρ=(,下面給出的廣義V不變凸的定義是對(duì)文獻(xiàn)[1,6]的拓展.

定義6 稱(chēng)(F,H)在S*∈Γn處是type-I型(ρ0,ρ*0,θ)-V-偽-嚴(yán)格擬不變凸的,如果存在定義在Γn×Γn上的正的實(shí)函數(shù)α1,α2,…,αp和β1,β2,…,βm,對(duì)?S∈X0滿(mǎn)足下式成立:

2 最優(yōu)性條件

在本節(jié)中將給出在廣義不變凸性的條件下極小極大分?jǐn)?shù)規(guī)劃(P)的最優(yōu)性充分條件.

推論1[5]問(wèn)題(P)的目標(biāo)函數(shù)滿(mǎn)足

定理2(充分性) 設(shè)S*∈X0,且存在u*∈U, v*∈和λ*∈R+,對(duì)?S∈Γn滿(mǎn)足定理1中的式(1),(2),(3),如果

(i)[(F1(?)-λ*G1(?),…,(Fp(?)-λ*Gp(?)),(H1(?),…,Hm(?))]在S*處是type-I型的(ρ,ρ*,θ)-V-不變凸的;

那么,S*是(P)的最優(yōu)解.

證明 根據(jù)假設(shè)(i),得

給(4)式兩邊乘以u(píng)*(其中u*≥0),(5)式兩邊乘以v*(其中v*≥0),根據(jù)式(2),(3)和假設(shè)(ii),得

從而得知

于是得到

根據(jù)(1),(iii)和δ(S,S*)＞0,有

由推論1,得

因此,S*是(P)的最優(yōu)解.

定理3(充分性) 設(shè)S*∈X0,且存在u*∈U, v*∈和λ*∈R+滿(mǎn)足式(1)和(3),如果

(ii)ρ0+≥0;那么,S*是(P)的最優(yōu)解.

證明 假若S*不是(P)的最優(yōu)解,那么存在S0∈X0滿(mǎn)足:

由于αi(S0,S*)＞0,于是有

根據(jù)(i)知

由(1)和(ii)得

根據(jù)假設(shè)(i)知

[1] Lai H C,Huang T Y.Minimax Fractional Programming for N-set Functions and Mixed-type Duality under Generalized Invexity[J].J.Optim.Theory.Appl., 2008,139:295-313.

[2] Preda V,Stancu-Minasian I M,Miruna-Beldiman,et al. Generalized V-univexity Type-I for Multi-objective Programming with N-set Functions[J].J.Global Optim., 2009,44:131-148.

[3] Morris R J T.Optimal Constrained Selection of a Measurable Subset[J].J.Math.Anal.Appl.,1979,70:546-562.

[4] Corley H W.Optimization Theory for n-set Functions [J].J.Math.Anal.Appl.,1987,127:193-205.

[5] Zalmai G J.Optimality Conditions and Duality for Multiobjective Measurable Selection Problems with Minimax Objective Functions[J].Optimization,1989,20:377-395.

[6] Jeyakumar V,M ond B.On Generalized Convex Mathematical Programming[J].J.Austral.Math.Soc.Ser.B, 1992,34:43-53.