解；上圖導(dǎo)數(shù)；最優(yōu)性條件考慮如下的向量集值優(yōu)化問題（SVOP）：1 主要結(jié)果證畢。證畢。證畢。證畢。[1] BEDNARCZUK E, SONG W. Contingent epiderivative and its applications to set-valued optimization[J]. Control and Cybernetics, 1998, 27(3): 376-386.[2] 萬(wàn)莉娟，王焱，馬占春. 集值映射的余切上圖導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用[

標(biāo)規(guī)劃等問題的最優(yōu)性條件以及相應(yīng)的Wolfe對(duì)偶模型的對(duì)偶問題[2-5]。1999年,Youness[6]推廣了凸函數(shù),首次提出了E-凸集和E-凸函數(shù);2006年,覃義等[7]指出了文獻(xiàn)[6]的錯(cuò)誤所在并予以了調(diào)整更正;之后半E-預(yù)不變凸函數(shù)被提出[8];文獻(xiàn)[9-13]定義了不同的廣義凸函數(shù),并對(duì)其性質(zhì)、對(duì)偶性以及最優(yōu)性條件等進(jìn)行了研究。2009年,Antczak[14-15]定義了G-不變凸函數(shù),并證明了多目標(biāo)規(guī)劃問題的最優(yōu)性條件和若干對(duì)偶定理;之后關(guān)

題時(shí)，近似解的最優(yōu)性條件和對(duì)偶理論是其研究的重點(diǎn)內(nèi)容，近些年取得了豐碩成果，如文獻(xiàn)[6-9].值得注意的是，上述文獻(xiàn)在研究近似解的最優(yōu)性和對(duì)偶性時(shí)，常常需要假定所考慮優(yōu)化問題模型的數(shù)據(jù)是精確的.然而由于實(shí)際應(yīng)用中測(cè)量或制作誤差、以及不精確信息的存在等諸多原因，許多優(yōu)化問題都會(huì)涉及到不確定數(shù)據(jù).這些不確定數(shù)據(jù)對(duì)問題求解有著不同程度的影響.因此，帶不確定參數(shù)的優(yōu)化問題引起了廣泛關(guān)注.譬如，Li 等[10]建立了帶不確定參數(shù)的凸優(yōu)化問題與其不確定共軛對(duì)偶問題之間

在建立解的充分最優(yōu)性條件中起關(guān)鍵性作用。然而凸性條件在很多工程和經(jīng)濟(jì)問題中卻很難滿足。因此,很多學(xué)者從不同方面對(duì)凸函數(shù)進(jìn)行推廣,并研究了相應(yīng)非凸優(yōu)化問題。Golestani等[4]借助Clarke次微分在約束規(guī)格假設(shè)下得到了多目標(biāo)規(guī)劃問題局部(弱)有效解的必要最優(yōu)性條件,并在不變凸函數(shù)的假設(shè)下,得到了多目標(biāo)規(guī)劃問題有效解的充分最優(yōu)性條件；Chuong等[5]利用Mordukhovich次微分在極限約束規(guī)格和廣義凸性條件下,分別得到了半無(wú)限多目標(biāo)規(guī)劃問題有效

廣義凸函數(shù)推理最優(yōu)性理論一直以來都是諸多學(xué)者關(guān)注的熱門研究?jī)?nèi)容.Antcazk[1]在2001年定義了(p-r)不變凸函數(shù)，在2003年給出了廣義B-(p,r)不變凸函數(shù)[2]并用新定義的函數(shù)研究了相應(yīng)的數(shù)學(xué)規(guī)劃問題.隨后大量學(xué)者在此基礎(chǔ)上討論了B-(p,r)不變凸規(guī)劃的最優(yōu)性條件以及鞍點(diǎn)問題[3—5]等，李向有、張慶祥[6—7]定義了B-(p,r,α)不變凸函數(shù)，并討論了其最優(yōu)性條件和對(duì)偶性條件.G不變凸函數(shù)[8]是凸函數(shù)的另一種推廣，T.Antczak

4].基于序列最優(yōu)性條件在算法的收斂性分析和數(shù)值表現(xiàn)等方面的重要應(yīng)用, Andreani等人[5]和Ramos[6]給出了帶有互補(bǔ)約束的數(shù)學(xué)規(guī)劃(MPCC)問題的序列最優(yōu)性條件.本文給出了比MPCC問題更一般的MPVCC問題的序列最優(yōu)性條件,即AM穩(wěn)定性. 然后, 給出與MPVCC問題的AM穩(wěn)定性相關(guān)的AM正則性，證明了MPVCC問題的局部最優(yōu)解在AM穩(wěn)性條件下是M穩(wěn)定點(diǎn)，這說明了AM正則性是一種能夠保證M穩(wěn)定性的約束規(guī)范. 最后，討論了AM正則性與其他的

277160）最優(yōu)性條件是最優(yōu)化方法課程的教學(xué)重點(diǎn).一方面，最優(yōu)性條件給出了最優(yōu)解滿足的必要條件，因此，通過求解最優(yōu)性條件可以得到可能的最優(yōu)解，從而將搜索范圍從可行域縮小到有限個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)或KKT點(diǎn)；另一方面，最優(yōu)性條件在最優(yōu)化問題的算法設(shè)計(jì)中起著關(guān)鍵作用.實(shí)際上，很多最優(yōu)化算法的迭代格式、終止條件等的設(shè)計(jì)動(dòng)機(jī)來自于最優(yōu)性條件[1-5]，如增廣拉格朗日乘子法中乘子迭代格式的設(shè)計(jì)，可分裂凸規(guī)劃的交替方向法對(duì)偶變量迭代格式的設(shè)計(jì)等.最優(yōu)性條件在很多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)

eto有效解的最優(yōu)性條件和對(duì)偶性定理; Fakhar等[7-8]借助一類極限次微分和一些合適的廣義凸性假設(shè)條件,研究了一類約束函數(shù)帶有不確定信息的多目標(biāo)優(yōu)化問題的最優(yōu)性條件、對(duì)偶性定理及鞍點(diǎn)定理; Lee等[9]借助共軛函數(shù)的上圖技巧通過引入一類新的閉性條件,刻畫了不確定半無(wú)限多目標(biāo)優(yōu)化問題的魯棒最優(yōu)性條件和Wolfe型魯棒對(duì)偶性；Chen等[10]借助一類約束標(biāo)量化方法,刻畫了不確定多目標(biāo)優(yōu)化問題的有效解及弱有效解的魯棒最優(yōu)性條件；Sun等[11]借助一

)問題近似解的最優(yōu)性理論.函數(shù)的凸性及其推廣在數(shù)學(xué)規(guī)劃中,尤其在建立優(yōu)化問題最優(yōu)性充分條件中具有重要作用. 文獻(xiàn)[2]針對(duì)一類不確定多目標(biāo)規(guī)劃問題的目標(biāo)和約束函數(shù)(f,g),引入了兩類廣義凸性的概念. 本文基于Clarke次微分對(duì)文獻(xiàn)[2]中的廣義凸性進(jìn)行推廣,并引入兩類新的(f,g)廣義凸函數(shù)的定義：(f,g)-Ⅰ型函數(shù)和(f,g)(嚴(yán)格)-偽擬Ⅰ型函數(shù).最優(yōu)性條件和鞍點(diǎn)定理是多目標(biāo)規(guī)劃理論研究的兩個(gè)重要內(nèi)容. 文獻(xiàn)[3-4]利用擇一定理研究了魯棒弱有效

制集合，即1 最優(yōu)性條件狀態(tài)方程標(biāo)準(zhǔn)的弱解形式描述如下這里的（·，·）是L2（Ω）中的內(nèi)積。因此非線性最優(yōu)控制問題可以重述如下：尋找（y，u）滿足如下條件由文獻(xiàn)［1］，我們知道最優(yōu)控制問題至少有一個(gè)解（y，u），并且當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)共軛狀態(tài)變量p滿足最優(yōu)性條件2 譜方法的離散格式下面考慮用Galerkin 譜方法來做最優(yōu)控制問題，假定Ω=（-1，1）2。首先考慮后面會(huì)用到的標(biāo)準(zhǔn)基函數(shù)。以xi（i=1，2）為變量，設(shè)定Lr（xi）為r 次的勒讓德多項(xiàng)式，令上

716000)最優(yōu)性條件是數(shù)學(xué)規(guī)劃中重要的研究?jī)?nèi)容，自從Hanson在1981年定義了不變凸函數(shù)后[1],許多學(xué)者推廣了不變凸函數(shù)，并用來研究不同的規(guī)劃問題，得到很多重要結(jié)論。如文獻(xiàn)[2-7]利用不同的不變凸函數(shù)研究了多目標(biāo)規(guī)劃問題的最優(yōu)性充分條件和對(duì)偶條件。G不變凸函數(shù)[8]是不變凸函數(shù)的一種推廣。ANTCZAK T[9-11]隨后用這類函數(shù)研究了多目標(biāo)可微規(guī)劃問題的最優(yōu)性條件、對(duì)偶性條件和鞍點(diǎn)理論，得到了許多重要結(jié)論。KANG Y M[12]和HO J

化問題精確解的最優(yōu)性條件和對(duì)偶理論進(jìn)行了研究.但眾所周知,許多實(shí)際優(yōu)化問題的精確解并不存在,而且在算法設(shè)計(jì)中大多數(shù)得到的也是近似解,因此研究?jī)?yōu)化問題的近似解很有必要,故對(duì)問題(RUP)近似解的研究十分有意義.目前,一些學(xué)者已經(jīng)致力于問題(RUP)近似解的研究,JIAO和Lee[4]針對(duì)半無(wú)限魯棒凸優(yōu)化問題的近似解建立了相應(yīng)的最優(yōu)性條件和對(duì)偶定理,Son[5]等針對(duì)無(wú)限維約束的非凸規(guī)劃問題建立了近似解的最優(yōu)性條件和對(duì)偶,Lee和Lee[6]刻劃了含有不確定數(shù)

nig有效解的最優(yōu)性條件.Luu等[2?3]建立了帶等式和不等式約束的向量均衡問題有效解的充分和必要條件,同時(shí)建立了帶約束向量均衡問題局部有效解的Fritz-John和Karush-Kuhn-Tucker最優(yōu)性必要條件.GONG[4?6]在錐凸性假設(shè)下獲得了帶約束向量均衡問題有效解的最優(yōu)性條件,在Banach空間中利用非線性泛函和Ioffe次可微獲得了非凸向量均衡問題弱有效解,Henig有效解,超有效解以及全局有效解的最優(yōu)性條件.Gerth等[7]利用非凸

刻畫向量?jī)?yōu)化的最優(yōu)性條件時(shí)起著非常重要的作用。Corley 借助集值映射的相依導(dǎo)數(shù)，獲得了集值優(yōu)化問題的最優(yōu)性條件。Jahn 和Rauh 引入了集值映射的相依導(dǎo)數(shù)得到優(yōu)化問題的最優(yōu)性充要條件。Li 等人定義了集值映射的廣義二階合成相依上導(dǎo)數(shù)并建立了集值優(yōu)化問題的最優(yōu)性充要條件。王其林等人引入了集值映射的二階弱合成相依上導(dǎo)數(shù)并獲得集值優(yōu)化問題的二階最優(yōu)性條件。Chen 等人引入了集值映射的高階弱(鄰近)相依上導(dǎo)數(shù)并建立了連續(xù)集值優(yōu)化問題Henig 有效解的高

標(biāo)半無(wú)限規(guī)劃的最優(yōu)性條件。關(guān)鍵詞：多目標(biāo)規(guī)劃;半無(wú)限規(guī)劃;廣義（C，α，ρ，d）K，θ-凸函數(shù);最優(yōu)性中圖分類號(hào)：O221.6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A隨著多目標(biāo)最優(yōu)化和半無(wú)限規(guī)劃的研究發(fā)展，凸性理論逐步被廣泛地應(yīng)用到各個(gè)研究范疇中，且取得了許多有意義的重要成果。文獻(xiàn)[1]引入了（F，α，ρ，d）-凸函數(shù)，文獻(xiàn)[2]對(duì)其進(jìn)一步推廣，得到了（C，α，ρ，d）-凸函數(shù)，并研究了涉及這類凸性的最優(yōu)性條件和對(duì)偶結(jié)果。文獻(xiàn)[3-7]對(duì)于涉及（C，α，ρ，d）-凸性的多目標(biāo)規(guī)劃

331)凸性在最優(yōu)性理論、數(shù)理經(jīng)濟(jì)和工程技術(shù)中有極其重要的作用．自20世紀(jì)60年代以來，凸函數(shù)的概念已被推廣到不同類型的廣義凸函數(shù)，并在廣義凸性條件下，研究其最優(yōu)性和對(duì)偶理論［1－20］，例如擬凸函數(shù)［1］和 E－凸函數(shù)［2］等．其中，擬凸函數(shù)作為一類特殊的廣義凸函數(shù)，在經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用．Mangasrian［1］提出擬凸和偽凸的概念并研究其性質(zhì)．楊新民等［3－5］介紹了擬凸函數(shù)的某些特殊性質(zhì)．對(duì)于凸函數(shù)來說，次微分是給出凸優(yōu)化問題最優(yōu)性條件的基

用到優(yōu)化問題的最優(yōu)性條件[6-10].Corley[6]在實(shí)賦范線性空間中借助切導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)建立了一階Fritz John必要最優(yōu)性條件.最近，不少學(xué)者相繼研究了二階(高階)最優(yōu)性條件.Jahn等[7]引進(jìn)了二階上圖導(dǎo)數(shù)的概念，建立了集值優(yōu)化的二階必要最優(yōu)性條件.然而，在典型的Kuhn-Tucker型最優(yōu)性條件中，目標(biāo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與約束函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不能分開，為此，文獻(xiàn)[10]引進(jìn)了一種新的二階切上圖導(dǎo)數(shù)，并借助該導(dǎo)數(shù)建立了集值優(yōu)化問題弱有效元的二階最優(yōu)性條件.1

畫集值優(yōu)化問題最優(yōu)性條件取得了突破性的成果[1-4].Aubin等[1]引進(jìn)的二階切集,在建立二階最優(yōu)性條件中起著重要作用.Jahn等[2]引進(jìn)了廣義二階切上圖導(dǎo)數(shù)并建立了二階最優(yōu)性條件.然而,該廣義二階切上圖導(dǎo)數(shù)是借助二階切集定義的,二階切集僅為閉集,通常情況下并不是錐,即使是凸集,它的二階切集也不一定為凸集.因而,與切上圖導(dǎo)數(shù)相比較,廣義二階切上圖導(dǎo)數(shù)不具備一些類似性質(zhì).為克服此問題,Zhu等[4]引進(jìn)了一種新的二階切上圖導(dǎo)數(shù)——二階復(fù)合切上圖導(dǎo)數(shù)(s

量均衡問題解的最優(yōu)性條件宋寧寧， 仇秋生(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)研究了帶約束向量均衡問題統(tǒng)一解的最優(yōu)性條件.首先,利用改進(jìn)集引進(jìn)了帶約束向量均衡問題E- 弱有效解和E- 有效解的概念;其次,在目標(biāo)函數(shù)為廣義凸的條件下,利用凸集分離定理和擇一定理獲得了向量均衡問題E- 弱有效解和E- 有效解的最優(yōu)性條件;最后,給出了向量?jī)?yōu)化問題相應(yīng)解的最優(yōu)性條件.向量均衡問題;改進(jìn)集;E- 弱有效解;E- 有效解;最優(yōu)性條件0 引 言(

0）E-凸規(guī)劃最優(yōu)性問題研究王世磊（信陽(yáng)學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，河南 信陽(yáng) 464000）文章首先給出文獻(xiàn)[1]中定理4.1的一個(gè)反例，并在對(duì)該文獻(xiàn)的定理4.2進(jìn)行修正的基礎(chǔ)上給出了E-凸規(guī)劃問題最優(yōu)解的刻畫；其次，給出一個(gè)E-凸規(guī)劃問題的最優(yōu)性充分條件；最后，在E-可微情形下得到E-凸規(guī)劃問題最優(yōu)解的相關(guān)結(jié)論.E-凸函數(shù)；E-凸規(guī)劃；E-可微；最優(yōu)解；最優(yōu)性條件自從1999年Youness E A在文獻(xiàn)[1]中首次提出E-凸規(guī)劃問題的概念，并在2001年給

標(biāo)規(guī)劃問題解的最優(yōu)性條件陳榮波，高 英*，李美術(shù)(重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,重慶 401331)考慮約束集為凸集,目標(biāo)函數(shù)為擬凸函數(shù)的多目標(biāo)規(guī)劃問題,利用次微分為工具研究擬凸多目標(biāo)規(guī)劃問題的最優(yōu)性條件.在擬凸單目標(biāo)規(guī)劃問題最優(yōu)性條件的基礎(chǔ)上,在一定約束條件下,利用標(biāo)量化方法得到擬凸多目標(biāo)規(guī)劃問題的最優(yōu)性條件.多目標(biāo)規(guī)劃;擬凸函數(shù);次微分;最優(yōu)性條件在擬凸規(guī)劃問題中,最優(yōu)性條件是一個(gè)被廣泛應(yīng)用的概念,最優(yōu)性條件對(duì)于研究向量?jī)?yōu)化問題的解有著重要理論指導(dǎo)意義.

算格式,推導(dǎo)了最優(yōu)性條件,并利用收斂性結(jié)果和分類討論的方法對(duì)拉格朗日乘子的逼近誤差進(jìn)行估計(jì),進(jìn)而得出了后驗(yàn)誤差估計(jì)結(jié)果. 文中為偏微分方程最優(yōu)控制問題提供了具有高精度的求解方法,并為發(fā)展最優(yōu)控制問題的hp自適應(yīng)譜元方法計(jì)算奠定了基礎(chǔ).最優(yōu)控制; 橢圓方程; 譜方法; 誤差估計(jì)最優(yōu)控制問題已被廣泛應(yīng)用于工程設(shè)計(jì)和實(shí)際應(yīng)用當(dāng)中. 作為一種有效求解偏微分方程的數(shù)值方法,有限元方法亦被廣泛應(yīng)用于偏微分方程最優(yōu)控制問題的數(shù)值求解. 關(guān)于控制或狀態(tài)受限最優(yōu)控制問題理論

規(guī)劃問題的全局最優(yōu)性條件周 莉（重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，重慶401331）研究了一類帶有不等式約束和0-1約束的特殊三次規(guī)劃問題的全局最優(yōu)性條件，給出了此問題的一個(gè)全局最優(yōu)性充分必要條件.同時(shí)通過數(shù)值例子來說明給出的全局最優(yōu)性充分必要條件是很容易驗(yàn)證的.三次規(guī)劃問題；全局最優(yōu)性條件；0-1約束；線性不等式約束本文考慮如下帶有的線性約束和0-1約束的特殊三次規(guī)劃問題：其中：a，b∈Rn，c∈Rm，B∈Rm×n，A為實(shí)對(duì)稱矩陣.令，并設(shè)S≠Φ.三規(guī)劃問題具有

了一種研究全局最優(yōu)性條件的新方法—L-次微分法來對(duì)一些特殊的非凸二次規(guī)劃問題的全局最優(yōu)性充分條件進(jìn)行研究，并得到了一些初步的研究成果.L-次微分與一般凸函數(shù)的次微分不同，一般凸函數(shù)的次微分是由一些線性函數(shù)組成的集合，而L-次微分可能是由一些非線性函數(shù)組成的集合.2010年，Wang等在文獻(xiàn)［6］中利用文獻(xiàn)［5］中所提出的抽象次微分為工具，建立了帶箱子或二元約束的三次規(guī)劃問題的全局最優(yōu)性充分和必要條件;2012年，Zhang等在文獻(xiàn)［7］中研究了一些帶箱子或

-Tucker最優(yōu)性條件張萬(wàn)里，趙克全（重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，重慶401331）在實(shí)局部凸Hausdorff拓?fù)渚€性空間中基于co-radiant集提出了C（ε）-真有效性概念.用實(shí)例證明其與相關(guān)文獻(xiàn)中提出的真ε-有效性不同，且包含Benson真有效性作為其特例.此外，在鄰近C（ε）-次似凸性假設(shè)下獲得了Kuhn-Tucker型必要條件，利用標(biāo)量化定理得到了Kuhn-Tucker型充分條件.向量?jī)?yōu)化；C（ε）-真有效解；Kuhn-Tucker最優(yōu)性條件1　

規(guī)劃問題的全局最優(yōu)性充分條件周莉，李國(guó)權(quán) (重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，重慶401331)利用拉格朗日函數(shù)和L-次微分的方法，研究了帶有雙值和不等式約束的特殊三次規(guī)劃問題的全局最優(yōu)性充分條件;首先刻畫出該類三次規(guī)劃問題的拉格朗日函數(shù)的抽象次微分，得到了特殊三次規(guī)劃問題的全局最優(yōu)性充分條件;然后，舉例說明利用所給出的全局最優(yōu)性充分條件判定當(dāng)前可行解就是全局最優(yōu)解是有效的.三次規(guī)劃;拉格朗日函數(shù);L-次微分;全局最優(yōu)性充分條件1　預(yù)備知識(shí)全局最優(yōu)化在數(shù)學(xué)規(guī)劃理論中是

問題的一些局部最優(yōu)性條件和全局最優(yōu)性條件，并給出了求解三次多項(xiàng)式優(yōu)化問題的一個(gè)全局優(yōu)化方法.Zhang X M等［5］研究了帶箱子或二元約束的一類特殊三次極小化問題的全局最優(yōu)性充分條件.本文利用L－次微分和L－正則錐，給出了帶有混合整數(shù)約束的特殊三次規(guī)劃問題的全局最優(yōu)性充分性條件，而且得到了此類三次規(guī)劃問題在一些特殊情況下的結(jié)果與文獻(xiàn)［5－6］中的相應(yīng)結(jié)論是一致的.同時(shí)用例子說明給出的最優(yōu)性條件是很容易驗(yàn)證的.1 預(yù)備知識(shí)首先給出本文中所要用到的一些基本的

廣義分式規(guī)劃的最優(yōu)性的充分條件并得到2個(gè)對(duì)偶規(guī)劃的弱對(duì)偶、強(qiáng)對(duì)偶、嚴(yán)格逆對(duì)偶定理.廣義分式規(guī)劃在不同凸函數(shù)的基礎(chǔ)上,已有很多的研究成果,更有待進(jìn)一步去研究.ρ-不變凸性也可以運(yùn)用于研究多目標(biāo)分式規(guī)劃.致謝成都信息工程學(xué)院2012年中青年學(xué)術(shù)帶頭人基金（J201218）和成都信息工程學(xué)院2012年人才引進(jìn)基金（KYTZ201203）對(duì)本文給予了資助,謹(jǐn)致謝意.［1］ Chandra S,Kumar V.Duality in fractional minima

研究其各種解的最優(yōu)性條件. 在局部凸空間中，Gong[1]利用錐凸性獲得了帶函數(shù)約束的向量均衡問題解的最優(yōu)性條件. Long等[2]在近似錐次類凸性假設(shè)下獲得了帶函數(shù)約束的向量均衡問題Henig真有效解的最優(yōu)性條件，該結(jié)果改進(jìn)了文獻(xiàn)[1]中對(duì)應(yīng)的結(jié)果. Gong[3]在Banach空間中利用非線性標(biāo)量化函數(shù)和Ioffe次可微概念獲得了非凸向量均衡問題弱有效解、Henig真有效解、超有效解以及全局真有效解的最優(yōu)性條件. 眾所周知，優(yōu)化問題在非緊的情況下，解集

均衡問題的解的最優(yōu)性條件.Giannessi等[6]把帶約束的向量變分不等式問題轉(zhuǎn)化成無(wú)約束的向量不等式問題,并給出了有限維空間中向量變分不等式的弱有效解的充分性和必要性條件;文獻(xiàn)[7]在Banach空間中研究了向量變分不等式問題的近似解的最優(yōu)性條件;文獻(xiàn)[8]給出了錐凸條件下帶約束的向量均衡問題的弱有效解、Henig有效解和超有效解的充分性和必要性條件;文獻(xiàn)[9]在廣義凸條件下得到了向量均衡問題的弱有效解的充分必要性條件;文獻(xiàn)[10]在更弱的凸性下研究了

I類凸的.1 最優(yōu)性條件?ξ∈?f(x0)(11)又由題設(shè)②中函數(shù)的凸性可知：?η∈?g(x0,ui)由函數(shù)F的次線性性質(zhì)可得：由此可得：?η∈?g(x0,ui)(12)將(11)式與(12)式相加，并由函數(shù)F的次線性性質(zhì)可得：?ξ∈?f(x0),?η∈?g(x0,ui)(13)當(dāng)i∈I(x0)時(shí)，g(x0,ui)=0;當(dāng)i∈ΔI(x0)時(shí)，由題設(shè)①可知λi=0,從而有：結(jié)合(13)式可知?ξ∈?f(x0),?η∈?g(x0,ui)但根據(jù)題設(shè)可知?ξ′∈?

選法的對(duì)稱試驗(yàn)最優(yōu)性胡毓達(dá)教授，上海交通大學(xué)數(shù)學(xué)系，上海 200240優(yōu)選法；斐波那契數(shù)列；黃金分割數(shù)在實(shí)際應(yīng)用中，通過試驗(yàn)的辦法盡快求得只有一個(gè)最優(yōu)方案問題的近似最優(yōu)方案的方法，統(tǒng)稱為優(yōu)選法。利用斐波那契數(shù)列和黃金分割數(shù)來構(gòu)建的近似黃金分割法類，是優(yōu)選法中最重要和常用的一類方法。本文給出了近似黃金分割法類的第一個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)與相應(yīng)試驗(yàn)方法具有最大對(duì)稱試驗(yàn)最優(yōu)性次數(shù)之間的關(guān)系，據(jù)此可以判定任一近似黃金分割法的最大對(duì)稱試驗(yàn)最優(yōu)性次數(shù)。20世紀(jì)60—70年代，中國(guó)數(shù)

問題弱有效解的最優(yōu)性條件宋永明1，胡 君2(1.昆明鐵路機(jī)械學(xué)校，云南 昆明 650208;2.云南省國(guó)有資產(chǎn)監(jiān)督管理委員會(huì)，云南 昆明 650031)在序線性拓?fù)淇臻g中定義了近似C－次類凸映射的概念，然后應(yīng)用向量拓?fù)淇臻g中的凸集分離定理建立了近似C×D－次類凸的擇一定理，最后運(yùn)用此定理獲得了弱有效解意義下的集值向量?jī)?yōu)化問題的最優(yōu)性條件.集值映射;近似C－次類凸;擇一定理;弱有效解;最優(yōu)性條件0 引言隨著最優(yōu)化理論研究的不斷深入，及其在非線性系統(tǒng)、控制論、

分式規(guī)劃問題的最優(yōu)性條件.考慮多目標(biāo)分式規(guī)劃問題(MFP)其中,fi:Rn→R,gi:Rn→R,i=1,2,…,p,hj:Rn→R,j=1,2,…,m,都是局部Lipschitz函數(shù),并假設(shè)在Rn上,fi(x)≥0,gi(x)>0,i=1,2,…,p.稱S={x∈Rn|hj(x)≤0,j=1,2,…,m}為(MFP)的可行集.本節(jié)中約定?x,y∈Rn,x>y?xi>yi,i=1,2,…,n;x≥y?xi≥yi,i=1,2,…,n[13].定義3[30]如果

凸性下有效解的最優(yōu)性條件［1－5］。文獻(xiàn)［5］引進(jìn)了近似擬不變凸的概念，討論了其與擬不變凸之間的關(guān)系，同時(shí)建立在近似擬不變凸假設(shè)下集值優(yōu)化問題弱有效元的最優(yōu)性條件。本文主要利用廣義切上圖導(dǎo)數(shù)建立集值優(yōu)化問題嚴(yán)有效元的必要條件，并在近似擬不變凸假設(shè)下得到集值優(yōu)化問題嚴(yán)有效元的充分條件。1 基本概念注1.1［6］(1.1)式等價(jià)刻畫為2 最優(yōu)性條件考慮集值優(yōu)化問題(P):minF(x)s. t. x ∈S。其中minM 表示集合M 的有效點(diǎn)集。則對(duì)任意的(x，

向量?jī)?yōu)化問題的最優(yōu)性條件, 推廣了文獻(xiàn)[1-6]的結(jié)果.1 抽象凸函數(shù)的概念考慮如下多目標(biāo)規(guī)劃問題：?x∈Rn}.?x∈Rn}.2 最優(yōu)性條件證明： 首先, 證明其次, 證明由于(1)又因?yàn)?2)(3)[1] Jeyakumar V, Rubinov A M, WU Zhi-you. Sufficient Global Optimality Conditions for Non-convex Quadratic Minimization Problems

問題的兩個(gè)近似最優(yōu)性條件,然后基于SMO方法的思想,提出一種求解WEOC問題的SMO-型算法. 該算法求解WEOC問題滿足第二個(gè)近似最優(yōu)性條件的(1+ε)-近似解. 數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了算法的有效性.1 優(yōu)化公式及近似最優(yōu)性條件WEOC(P,W)問題可以轉(zhuǎn)化為如下優(yōu)化問題:(1)其中c=(c1,c2,…,cn)T∈Rn和r∈R是原始變量. 文獻(xiàn)[3]通過平方問題(1)的約束并定義γ=r2,將問題(1)轉(zhuǎn)化為如下凸優(yōu)化問題:(2)(3)其中u=(u1,u2,…

題的擬有效解的最優(yōu)性條件。Bhatia等人在文獻(xiàn)［5］中提出了幾類新的廣義近似凸函數(shù)的概念并舉例驗(yàn)證了這幾類廣義近似凸函數(shù)的存在性，同時(shí)建立了向量?jī)?yōu)化問題的擬有效解的充分最優(yōu)性條件。在文獻(xiàn)［4-5］的基礎(chǔ)上，利用距離函數(shù)給出了四類新的廣義近似凸函數(shù)的概念并建立了向量?jī)?yōu)化問題的局部擬有效解和局部有效解的充分最優(yōu)性條件。1 預(yù)備知識(shí)設(shè)Γ是實(shí)拓?fù)湎蛄靠臻g，Rp是P維歐幾里得空間是Rp的非負(fù)序錐。對(duì)任意x，y∈Rp，定義下面的序關(guān)系:考慮下面的向量?jī)?yōu)化問題:其中

目標(biāo)群體決策的最優(yōu)性條件，文獻(xiàn)［3］利用供選方案的有效數(shù)引進(jìn)一類基本的聯(lián)合有效解概念，并給出了解的最優(yōu)性必要條件，文獻(xiàn)［4］給出了群體多目標(biāo)決策聯(lián)合有效解類的幾個(gè)最優(yōu)性充分條件，文獻(xiàn)［5］給出求解群體多目標(biāo)凸規(guī)劃的一個(gè)交互規(guī)劃算法，文獻(xiàn)［6］提出了求解群體多指標(biāo)決策問題的偏愛度法，文獻(xiàn)［7］定義了一類帶參數(shù)的α－較多聯(lián)合有效解，同時(shí)得到了這類解的最優(yōu)性必要條件和充分條件，文獻(xiàn)［8-9］介紹了多目標(biāo)和群體多目標(biāo)理論。由群體多目標(biāo)優(yōu)化（GMP）關(guān)于x∈X的有效

量均衡問題解的最優(yōu)性條件的研究比較少．Giannessi等［3］在有限維空間中把帶約束的向量變分不等式問題轉(zhuǎn)化成無(wú)約束的向量變分不等式問題，并給出了有效解與弱有效解的充分條件;Morgan等［10］應(yīng)用次微分的概念，在Hilbert空間中給出了向量廣義擬變分不等式問題的弱有效解的標(biāo)量化及K-T條件;龔循華［11］在局部凸空間中給出了帶約束的錐凸向量均衡問題解的最優(yōu)性條件;仇秋生［12］獲得了廣義凸向量均衡問題弱有效解的充分與必要條件;戎衛(wèi)東等［13］引進(jìn)了

的多目標(biāo)規(guī)劃的最優(yōu)性理論, Lai H C和Huang T Y[1]討論了廣義(ρ,θ)不變凸性下n-集函數(shù)的極小極大規(guī)劃的最優(yōu)性條件,近來Preda V等[2]研究了在廣義V一致不變凸性下多目標(biāo)規(guī)劃的重要理論.受文獻(xiàn)[1-2]的啟發(fā),本文提出了廣義type-I型的(ρ,ρ*,θ)-V不變凸函數(shù),并在這類凸性下給出了極小極大規(guī)劃的最優(yōu)性充分條件.考慮如下規(guī)劃:其中,Γn是對(duì)于給定集合X的σ代數(shù)Γ的n-折積, Fi,Gi,i∈P={1,2,…,p}和 Hj,

P)的一些ε-最優(yōu)性充分條件．本文對(duì)文獻(xiàn)[1]定義的Bε-不變凸、Bε-不變擬凸和Bε-不變偽凸函數(shù)等概念進(jìn)行推廣,定義了非光滑的Bε-不變凸、Bε-不變擬凸和Bε-不變偽凸函數(shù)等概念,然后在這些非光滑凸性條件下獲得了(FP)的一些ε-最優(yōu)性充分條件，推廣了文獻(xiàn)[1]的相應(yīng)結(jié)果.2 預(yù)備知識(shí)對(duì)于局部Lipschitz函數(shù)f(x)，Clarke[ 5]曾經(jīng)給出如下廣義方向?qū)?shù)和廣義梯度概念：定義2[ 6]稱函數(shù)F∶X0×X0×Rn→R為次線性的，若對(duì)任何x,

標(biāo)半無(wú)限規(guī)劃的最優(yōu)性條件李向有，張慶祥（延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，陜西 延安 716000）在（h，φ）凸函數(shù)的基礎(chǔ)上，定義了一類（h，φ）－ρ不變凸函數(shù)，研究了涉及此類函數(shù)的多目標(biāo)半無(wú)限規(guī)劃，在更弱的凸性下，得到了一些最優(yōu)性條件.（h，φ）－ρ不變凸函數(shù)；半無(wú)限規(guī)劃；最優(yōu)性廣義（h，φ）凸規(guī)劃是非凸最優(yōu)化的一個(gè)分支，近年來，許多學(xué)者在這方面進(jìn)行了研究，得到了不少有益的成果.如王香柯［1］利用Ben－Tal廣義代數(shù)運(yùn)算，在非光滑情形下提出了若干類廣義（h

目標(biāo)分式規(guī)劃的最優(yōu)性條件羅勇（吉首大學(xué) 師范學(xué)院，湖南 吉首 416000）在（F，α，ρ，d）-V-凸性條件下，研究了一類非光滑多目標(biāo)分式規(guī)劃問題的最優(yōu)性條件，給出并證明了該類非光滑多目標(biāo)分式規(guī)劃問題取得有效解和弱有效解的一些充分條件，改進(jìn)和推廣了一些相關(guān)結(jié)果.（F，α，ρ，d）-V-凸；非光滑多目標(biāo)分式規(guī)劃；最優(yōu)性條件；有效解；弱有效解在這篇文章中，考慮如下多目標(biāo)分式規(guī)劃：近年來，多目標(biāo)分式規(guī)劃問題的最優(yōu)性條件的研究已取得一系列成果[1-5].文[1]

目標(biāo)分式規(guī)劃的最優(yōu)性充分條件李動(dòng)鋒,邱根勝(南昌航空大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系,江西南昌 330063)提出了(F,α,ρ,θ)-b-凸函數(shù)的概念,它是一類新的廣義凸函數(shù),并給出了這類廣義凸函數(shù)的性質(zhì).在此基礎(chǔ)上,討論了目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)均為(F,α,ρ,θ)-b-凸函數(shù)的多目標(biāo)分式規(guī)劃,利用廣義K-T條件,得到了這類多目標(biāo)規(guī)劃有效解和弱有效解的幾個(gè)充分條件,推廣了已有文獻(xiàn)的相關(guān)結(jié)果.多目標(biāo)分式規(guī)劃;廣義凸函數(shù);最優(yōu)性條件眾所周知,凸性概念在優(yōu)化理論中起著關(guān)鍵性的作用