孫士平， 賴余東

(南昌航空大學航空制造工程學院，南昌330063)

蜂窩夾芯板是由上下蒙皮和周期性多孔蜂窩夾芯構(gòu)成的輕質(zhì)結(jié)構(gòu)材料，具有高比剛(強)度、隔熱、減振等優(yōu)異性能，被廣泛應用于航空、航天等工程領(lǐng)域［1］。對于開孔蜂窩構(gòu)成夾芯板結(jié)構(gòu)，根據(jù)蜂窩開孔方向與蒙皮法線方向的相對位置關(guān)系，可分為兩類：一類是利用開孔蜂窩的面內(nèi)性能，實現(xiàn)夾芯板結(jié)構(gòu)減震吸能、散熱等多功能要求，其蜂窩體胞開孔方向與蒙皮法向相互垂直;另一類是利用周期性蜂窩材料作為輕質(zhì)夾芯來實現(xiàn)減重、承載和增強穩(wěn)定性等功能要求，其蜂窩體胞開孔方向與蒙皮法向相互平行。由于多孔夾芯有限元直接離散分析造成夾芯結(jié)構(gòu)建模復雜和計算成本過高，國內(nèi)外學者對多孔夾芯材料性能的預測計算開展了大量研究，提出能量法［2］、Gibson公式［1］及其修正法［3］、均勻化方法［4］等多種簡潔有效的周期性多孔蜂窩材料等效性能計算方法，有效地促進了蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)的應用與發(fā)展。

然而，這些方法存在一個共同特點就是無法反映蜂窩體胞的尺寸效應，即計算獲得的等效性能只與蜂窩體胞的構(gòu)型和材料組分相關(guān)，而與蜂窩體胞的尺寸無關(guān)。以均勻化方法為例，當蜂窩體胞尺寸與宏觀結(jié)構(gòu)尺寸處在同一數(shù)量級范圍，不符合其理論前提假設(shè)要求的蜂窩體胞尺寸遠小于宏觀結(jié)構(gòu)尺寸時，均勻化等效后的計算結(jié)果將偏離真實結(jié)果。目前，對于蜂窩尺寸效應的研究有如下結(jié)果：Andrews［5］，Onck［6］，Tantikom［7］等人選用六邊形、圓管形等不同構(gòu)型蜂窩材料通過實驗測試和數(shù)值計算分析，發(fā)現(xiàn)蜂窩體胞尺寸與試件材料尺寸相當時，實驗測試結(jié)果依賴于蜂窩體胞尺寸，揭示了尺寸效應的存在及其影響;閻軍［8］等分析計算了二維周期性點陣類桁架材料的等效性能，比較驗證了Dirichlet型、Neumann型邊界條件下的尺寸效應規(guī)律;戴高明［9，10］等人基于能量法研究了二維周期性蜂窩材料和夾芯梁的蜂窩尺寸影響; zhang［11，12］等人開展了考慮尺寸效應影響的二維夾芯結(jié)構(gòu)剛度優(yōu)化設(shè)計。最近，戴高明［13］等人基于能量法研究了夾芯梁自由振動頻率的尺寸效應問題。

綜上所述，已有的夾芯蜂窩材料尺寸效應研究均以周期性開孔蜂窩體胞為對象，研究二維蜂窩材料面內(nèi)性能隨蜂窩尺寸變化的規(guī)律。而對于第二類夾芯板結(jié)構(gòu)，其性能不僅與蜂窩體胞面內(nèi)性能相關(guān)，還受蜂窩體胞面外性能以及蒙皮的影響，因此，有必要進一步研究三維蜂窩體胞尺寸對夾芯板結(jié)構(gòu)性能(如剛度、頻率等)的影響。為此，本研究首先建立蜂窩夾芯板三維有限元模型，以夾芯均勻化等效后的夾芯板模型計算結(jié)果為基準，采用夾芯板結(jié)構(gòu)直接有限元離散的計算結(jié)果與均勻化等效的計算結(jié)果的比值——尺寸影響因子來量化蜂窩尺寸對夾芯板性能的影響程度，開展三維蜂窩體胞尺寸對第二類夾芯板結(jié)構(gòu)整體剛度性能、自由振動頻率的影響研究，并分析比較在不同邊界條件下、不同構(gòu)型時蜂窩尺寸對夾芯板結(jié)構(gòu)性能的影響規(guī)律。

1 均勻化方法與尺寸效應

均勻化方法是目前預測周期性材料等效性能的一種常用計算方法。該方法基于嚴格的數(shù)學推導描述了蜂窩體胞等效性能與其組分材料和構(gòu)型的內(nèi)在關(guān)系。當蜂窩體胞尺寸相對于宏觀結(jié)構(gòu)尺寸趨于無限小時，蜂窩體胞等效彈性張量的計算表達式為：

式中χkl為第kl工況下的彈性位移場，Eijkl為組分材料的彈性張量為蜂窩體胞的體積。

式(1)表明，基于均勻化方法計算得到的蜂窩體胞等效彈性性能僅與材料組分和材料空間分布相關(guān)，而與體胞的空間尺寸沒有關(guān)聯(lián)，因此，對于圖1所示相同組分不同尺寸的蜂窩體胞構(gòu)成夾芯材料，基于均勻化理論都具有相同的等效性能。實際上，圖1中不同蜂窩尺寸的夾芯材料其力學響應是不一樣的，與均勻化等效模型計算結(jié)果是存在差異的，這種差異稱為尺寸效應。圖1中M=2×2×2表示該夾芯材料在X1，X2，X3三個方向分別包含體胞數(shù)量的乘積，即包含的總體胞數(shù)量。

圖1 夾芯均勻化等效示意圖Fig.1 A honeycomb core with different size cells

工程設(shè)計中，常根據(jù)夾芯板結(jié)構(gòu)的不同性能要求，選擇不同組分和構(gòu)型的蜂窩夾芯材料。面對同種構(gòu)型和組分的蜂窩夾芯材料，由于工業(yè)供給的規(guī)格存在多樣性，其選用就存在隨意性，這必然會影響夾芯板結(jié)構(gòu)的設(shè)計精度和制造成本。因此，有必要開展蜂窩尺寸對夾芯板性能的影響研究，進一步完善夾芯板結(jié)構(gòu)的設(shè)計方法。

2 尺寸影響評價

對蜂窩體胞尺寸效應的評價，根據(jù)研究內(nèi)容的不同，通常會采用規(guī)范化彈性模量［5］、規(guī)范化應力 、撓度 以及頻率 等不同參數(shù)隨宏-細觀尺度比值變化的關(guān)系來描述尺度效應的影響。

由于夾芯板結(jié)構(gòu)性能分析涉及蒙皮和夾芯的幾何構(gòu)成、靜力或動力分析類別以及不同邊界條件等多種情況，因此，需要有一個統(tǒng)一的指標來描述蜂窩尺寸變化對夾芯板不同性能的影響規(guī)律，以便直觀的評價比較影響程度。

定義“尺寸影響因子”來描述蜂窩尺度對夾芯板性能的影響，該因子為夾芯板結(jié)構(gòu)整體性能φ (如剛度K、頻率f等)與均勻化等效夾芯構(gòu)成夾芯板結(jié)構(gòu)等效性能φH的比值，其表達式可寫為：

式中的下標φ描述具體的評價性能，如K，f等。

顯然，這是一個無量綱指標，為評價不同情況下夾芯板結(jié)構(gòu)受蜂窩尺寸的影響提供了一個判據(jù)，當αφ偏離1越遠，表明蜂窩尺寸的影響越大，而當αφ→1時，說明蜂窩尺寸的影響逐漸減小，實際模型計算結(jié)果趨近均勻化等效模型計算結(jié)果。

對于結(jié)構(gòu)剛度K，通常用結(jié)構(gòu)柔順度C(結(jié)構(gòu)變形能)來描述，概念上兩者互為倒數(shù)關(guān)系，即將剛度轉(zhuǎn)化為柔順度表達，則有：

圖2 夾芯結(jié)構(gòu)不同構(gòu)型夾芯等效示意圖Fig.2 Sandwich panel with the different cell configurations and with the homogenized core

考慮圖2所示夾芯板，其上、下蒙皮厚度為lf，夾芯尺寸為li(i=1，2，3)，夾芯蜂窩體胞尺寸為si，則夾芯板厚度為(l+2l)，宏細觀尺度比

3f存在αφ=f(ηi)(i=1，2，3)。對于三維開孔蜂窩體胞，當面內(nèi)(圖2中Y1-Y2平面)尺寸等比例縮放時，其構(gòu)型和組分保持不變，而面外(圖2中Y3方向)尺寸的變化也不會影響其均勻化等效性能。因此當蜂窩構(gòu)型和夾芯尺寸確定后，必存在η2=ψ(η1)，推導得到αφ=F(η1)，即可以只用η1來描述開孔蜂窩尺寸對夾芯板性能的影響。圖2中DH，ρH分別表示夾芯等效后的等效彈性矩陣和等效密度。

3 計算分析

假定圖2中夾芯板尺寸為288mm×166mm× 9.4mm，其上、下蒙皮厚度lf=0.7mm，則夾芯材料尺寸為l1×l2×l3=288mm×166mm×8mm。這是一薄板結(jié)構(gòu)，其中鋁夾芯的材料體份比Vf=30.56%，彈性模量E1=70GPa，泊松比ν1=0.3，密度ρ1= 2700kg/m3;鋁合金蒙皮材料E2=155GPa，ν2=0.3，ρ2=2700kg/m3。采用ANSYS進行夾芯板建模分析，在夾芯板實際模型中，夾芯蜂窩、上下蒙皮均采用殼單元;在夾芯板等效模型中，上下蒙皮采用殼單元，等效夾芯采用三維實體單元。三種相同組分(30.56%)不同構(gòu)型的夾芯蜂窩體胞參數(shù)見表1，三種構(gòu)型蜂窩具有相同的等效密度 ρH=ρ1×Vf= 825.12kg/m3，其等效彈性性能采用均勻化求解［14］。計算中分別取 S1=96mm，48mm，24mm，12mm，6mm，相應η1=3，6，12，24，48。

3.1 靜力分析

以圖3的三種典型邊界為例，計算比較六邊形、三角形、正方形構(gòu)型蜂窩尺寸變化對夾芯板剛度性能的影響規(guī)律。載荷F=1000N，夾芯均勻化等效后的夾芯板在三種工況下的等效柔順度值如表2所示。不同工況和不同蜂窩夾芯板的尺寸影響因子αk變化趨勢如圖4～圖6所示。

表1 不同構(gòu)型蜂窩參數(shù)Table 1 Parameters of different cells

圖3 三種典型工況示意圖Fig.3 Three typical loading cases (a)loading case A; (b)loading case B;(c)loading case C

表2 不同構(gòu)型蜂窩夾芯均勻化等效后的夾芯板柔順度Table 2 Compliances of sandwich panels with the homogenized cores of different cells

圖4 六邊形蜂窩尺寸影響因子與宏細觀尺寸比的關(guān)系曲線Fig.4 Curves of size influencing index vs the ratio of macro size to meso size for hexagonal core

由圖4、圖5、圖6可以看出，夾芯板剛度性能受蜂窩尺寸的影響明顯。在不同工況邊界下，隨著宏細觀尺寸比η1的增大(即蜂窩體胞尺寸減小)，蜂窩尺寸對夾芯板剛度性能的影響逐漸減小(即αk→1)，總體上，當η1≥12后，蜂窩尺寸的影響變得較為平緩。從曲線波動幅度看，圖5顯示三角形蜂窩夾芯板剛度性能受蜂窩尺寸的影響相對較小，而圖4說明六邊形蜂窩夾芯板剛度性能受蜂窩尺寸的影響較顯著，且影響的消失較緩慢。另外，圖4的工況A，尺寸影響因子變化曲線表現(xiàn)為震蕩收斂，其原因如圖7所示，當X2方向包含偶數(shù)個體胞時，載荷作用點位于蜂窩空隙中間(圖7a);當X2方向包含奇數(shù)個體胞時，載荷作用點位于蜂窩壁上方(圖7b)，隨著蜂窩尺寸的減小，載荷作用點在兩者間擺動，最后逐漸減小至忽略?？梢姺涓C尺寸與宏觀結(jié)構(gòu)尺寸相當時其對結(jié)構(gòu)剛度性能影響較大。圖6顯示正方形蜂窩夾芯板在不同工況下受蜂窩尺寸影響的程度存在較大差別。

圖7 工況A載荷作用位置與六邊形蜂窩的相對關(guān)系示意圖Fig.7 Illustration of relationship between loading point and cell configuration for different cell size under loading case A (a)even cells in X2direction (b)odd cells in X2direction

另一方面，在工況A時，三種構(gòu)型蜂窩夾芯板的尺寸影響因子αk隨宏細觀尺寸比η1變化的收斂速度基本一致，但當η1較小時三角形、四邊形蜂窩尺寸的影響明顯小于六邊形蜂窩尺寸的影響;工況B時，三種構(gòu)型蜂窩夾芯板的剛度性能受蜂窩尺寸的影響較明顯，只有尺寸影響因子的收斂速度存在差別，六邊形蜂窩收斂緩慢而四邊形蜂窩收斂較快。而工況C時，三角形和四邊形蜂窩在η1較小時，存在非單調(diào)的波動變化，其原因是η1較小時，四邊形蜂窩夾芯板在X2方向上包含的不完整蜂窩體胞(即η2不是整數(shù))以及三角形蜂窩夾芯板在X2方向上體胞分布的不對稱性對夾芯板剛度的影響較大，隨著蜂窩尺寸的減小，不完整(或不對稱分布)體胞的影響逐漸減小，最后趨于1。

圖8為正方形蜂窩夾芯板在尺寸假定為288mm×288mm×9.4mm時，三種工況下尺寸影響因子的變化趨勢，此時夾芯板在兩方向(X1，X2)上均恰好包含整數(shù)個蜂窩體胞且η1=η2。與圖6相比，雖然圖8描述的蜂窩尺寸影響趨勢未變，但工況C時，尺寸影響因子表現(xiàn)為單調(diào)遞減，這說明當在蜂窩尺寸較大時，工況C邊界增加了蜂窩尺寸影響的復雜性。

圖8 正方形蜂窩尺寸影響因子與宏細觀尺度比的關(guān)系曲線Fig.8 Curves of size influencing index αkvs the ratio of macro size to meso size η1for square core

3.2 自由振動分析

以圖3所示夾芯板的兩種位移邊界(工況A和工況B)為例，夾芯板尺寸仍假定288mm×166mm× 9.4mm，計算比較六邊形、三角形、正方形蜂窩尺寸變化對夾芯板一階自由振動頻率的影響。表3為夾芯均勻化等效后夾芯板的等效一階頻率。圖9、圖10給出了兩種工況下尺寸影響因子αf的變化趨勢。

表3 不同構(gòu)型夾芯均勻化等效后的夾芯板一階頻率Table 3 The first order frequency of sandwich panels with homogenized cores of different cells

圖9、圖10說明夾芯板自由振動一階頻率存在尺寸效應。從圖中可以看到，工況A時各種構(gòu)型蜂窩尺寸變化對夾芯板一階頻率的影響都小于工況B;工況B情況下，不同構(gòu)型蜂窩對應的尺寸影響因子卻具有一致的變化趨勢。另外，在兩種工況下，六邊形蜂窩夾芯板的一階頻率受蜂窩尺寸影響較小，而四邊形蜂窩夾芯板受蜂窩尺寸影響較大，這與3.1節(jié)夾芯板剛度性能的影響規(guī)律存在差異。

圖9 工況A時尺寸影響因子與宏細觀尺度比的關(guān)系曲線Fig.9 Curves of size influencing index αfvs the ratio of macro size to meso size η1under loading case A

3.3 討論

表2、表3的計算數(shù)據(jù)表明：夾芯板的剛度與一階頻率成正比，在相同重量約束下，不同構(gòu)型夾芯板的性能存在一定差別，有必要根據(jù)具體的載荷工況開展夾芯蜂窩構(gòu)型的優(yōu)選或優(yōu)化設(shè)計，以改進夾芯板性能，提高結(jié)構(gòu)效率。

圖10 工況B時尺寸影響因子與宏細觀尺度比的關(guān)系曲線Fig.10 Curves of size influencing index αfvs the ratio of macro size to meso size η1under loading case B

六邊形蜂窩夾芯板的剛度性能受蜂窩尺寸變化的影響明顯強于蜂窩尺寸變化對頻率的影響，而四邊形、三角形蜂窩夾芯板的剛度性能、一階頻率受蜂窩尺寸變化的影響程度基本相同。這種現(xiàn)象增加了多功能夾芯板設(shè)計的難度，需要根據(jù)具體的性能指標調(diào)整優(yōu)化策略。

相比于文獻［10］給出的二維三角形、四邊形蜂窩單調(diào)趨于均勻化解的尺寸影響變化趨勢和六邊形蜂窩非單調(diào)趨于均勻化解的變化趨勢，三維蜂窩尺寸對夾芯板性能的影響則不具備這種規(guī)律性，因涉及蒙皮、邊界條件等因素而表現(xiàn)復雜。

已有計算結(jié)果顯示：總體上，當宏細觀尺寸比大于12時，實際模型的計算結(jié)果(剛度、頻率)才較平穩(wěn)的逐漸接近均勻化等效模型的計算值，因此，可根據(jù)具體的設(shè)計精度要求，忽略蜂窩尺寸的影響，采用均勻化等效模型來簡化計算。但對于六邊形蜂窩構(gòu)型夾芯板，處于工況B和工況C狀態(tài)，當宏細觀尺寸比大于24時，其計算結(jié)果的尺寸影響才逐漸趨于平緩減小。

4 結(jié)論

(1)蜂窩夾芯板的剛度性能與一階頻率都存在尺寸效應。

(2)當夾芯板與蜂窩的尺寸比值η1≥12后，蜂窩尺寸的影響程度平緩減弱，實際模型的計算結(jié)果逐漸趨同于均勻化計算值，說明當宏觀夾芯包含足夠多的蜂窩體胞時，采用均勻化方法開展夾芯板結(jié)構(gòu)的分析計算是有效的。

(3)當η1＜12時，蜂窩尺寸對夾芯板性能的影響明顯，且影響程度和趨勢與不同邊界工況、不同蜂窩構(gòu)型顯著相關(guān)。

［1］GIBSON L J，ASHBY MF.Cellular Solids：Structure and Properties：2nded［M］.UK：Cambridge University Press，1997.

［2］HOHE J，BECKER W.A mechanical model for two dimensional cellular sandwich cores with general geometry［J］. Computational Materials Science，2000，19：108～115.

［3］富明慧，尹久仁.蜂窩芯層的等效彈性參數(shù)［J］.力學學報，1999，31(1)：113-118.

［4］HASSANI B，HINTON E.A review of homogenization and topology optimization II：Analytical and numerical solution of homogenization equations［J］.Computers＆Structures，1998，69：719-738.

［5］ANDREWS EW，GIOUX G，ONCK P，et al.Size effects in ductile cellular solids.Part II：Experimental results［J］. International Journal of Mechanical Sciences，2001，43：701-713.

［6］ONCK P R，ANDREWS E W，GIBSON L J.Size effects in ductile cellular solids.Part I：Modeling［J］.International Journal of Mechanical Sciences，2001，43：681-699.

［7］TANTIKOM K，AIZAWA T，MUKAI T.Symmetric and asymmetric deformation transition in the regularly cellstructured materials.Part I：Experimental study［J］.International Journal of Solids and Structure，2005，42：2199-2210.

［8］閻軍，程耿東，劉書田，等.周期性點陣類桁架材料等效彈性性能預測及尺度效應［J］.固體力學學報，2005，26(4)：421-428.

［9］DAI G M，ZHANG W H.Size effects of basic cell in static analysis of sandwich beams［J］.International Journal of Solids and Structure，2008，45，2512-2533.

［10］戴高明，張衛(wèi)紅.周期性多孔材料等效楊氏模量的尺度效應研究［J］.中國科學G輯，2009，52(8)：1262～1270.

［11］ZHANG W H，SUN S P.Scale-related topology optimization of cellular materials and structures［J］.International Journal for Numerical Methods in Engineering，2006，68，993-1011.

［12］張衛(wèi)紅，孫士平.多孔材料/結(jié)構(gòu)尺度關(guān)聯(lián)的一體化拓撲優(yōu)化技術(shù)［J］.力學學報，2006，38(4)：522-529.

［13］DAI G M，ZHANG W H.Cell size effects for vibration analysis and design of sandwich beams［J］.Acta Mechanica sinica，2009，25：353-365.

［14］邱克鵬，張衛(wèi)紅，孫士平.蜂窩夾層結(jié)構(gòu)等效彈性常數(shù)的多步三維均勻化數(shù)值計算分析［J］.西北工業(yè)大學學報，2006，24(4)：514-518.