湯阿妮

(中國飛行試驗研究院，西安 710089)

基于核密度估計算法的飛機載荷譜統(tǒng)計技術(shù)

湯阿妮

(中國飛行試驗研究院，西安 710089)

受到實際條件限制，現(xiàn)階段的飛機載荷譜實測均采取小子樣實測方法，小子樣實測數(shù)據(jù)是取自真實母體的一個簡單樣本，很難保證數(shù)據(jù)的充分性、完整性.傳統(tǒng)的均值統(tǒng)計法無法對數(shù)據(jù)缺陷進行彌補.為了克服小子樣數(shù)據(jù)不足問題，將核密度估計技術(shù)用于載荷譜統(tǒng)計，取得了良好效果.介紹了核密度估計的相關(guān)理論基礎(chǔ)，并以某型機下沉速度譜的統(tǒng)計為例，詳細(xì)介紹了將核密度估計方法用于載荷譜統(tǒng)計的數(shù)學(xué)過程.結(jié)果顯示:核密度估計方法對還原載荷譜原貌、補充小子樣數(shù)據(jù)的不足問題具有良好作用.

核密度估計;載荷譜;統(tǒng)計;小子樣

為了驗證設(shè)計數(shù)據(jù)、改善并優(yōu)化設(shè)計方案、確定機體結(jié)構(gòu)使用壽命，近年來，多種飛機型號進行了載荷譜實測工作.由于條件所限，國內(nèi)目前的載荷譜實測工作都是小子樣實測，即實測一架飛機一定飛行起落的使用載荷，以此代表整個機隊甚至整個型號飛機的使用載荷譜.這種方法化解了經(jīng)濟和需求之間的關(guān)系，在一定程度上滿足了載荷譜實測需求.但由于是小子樣實測，難以保證數(shù)據(jù)的完整性，即實測的使用載荷譜是否能夠代表母體的基本特性問題.

在載荷譜編制方法上，采用了多種不同的處理方法以改善載荷譜的可靠度問題，如中值載荷譜編制技術(shù)、多代表起落譜技術(shù)等.但均值載荷譜依然是使用較多的方法之一，如起落架載荷譜、飛機操縱系統(tǒng)譜、重心過載譜、下沉速度譜等.均值譜的基本方法是對實測數(shù)據(jù)進行區(qū)間投放，對于實測數(shù)據(jù)的缺陷無法進行彌補.

另一方面，小子樣實測數(shù)據(jù)是來自母體的一個樣本，如何利用實測樣本最大程度地反映母體特性是數(shù)理統(tǒng)計技術(shù)要研究的課題之一.近年來發(fā)展起來的核密度估計技術(shù)在對隨機變量進行分布密度函數(shù)估計方面得到了較廣泛的應(yīng)用，本文將這種方法用于飛機載荷譜的統(tǒng)計分析，大大改善了小子樣數(shù)據(jù)的不足，取得了良好效果.

1 核密度估計

1.1 一維核估計的定義

由給定樣本點集合求解隨機變量的分布密度函數(shù)問題是概率統(tǒng)計學(xué)的基本問題之一.解決這一問題的方法包括參數(shù)估計和非參數(shù)估計.參數(shù)估計又可分為參數(shù)回歸分析和參數(shù)判別分析.在參數(shù)回歸分析中，假定數(shù)據(jù)分布符合某種特定的性態(tài)，如線性、可化線性或指數(shù)性態(tài)等，然后在目標(biāo)函數(shù)族中尋找特定的解，即確定回歸模型中的未知參數(shù).在參數(shù)判別分析中，需要假定作為判別依據(jù)的、隨機取值的數(shù)據(jù)樣本在各個可能的類別中都服從特定的分布.經(jīng)驗和理論說明，參數(shù)模型的這種基本假定與實際的物理模型之間常存在較大差距，這些方法并非總能取得令人滿意的結(jié)果.由于上述缺陷，Rosenblatt和Parzen提出了核密度估計方法.核密度估計方法屬于非參數(shù)估計方法，由于核密度估計方法不利用有關(guān)數(shù)據(jù)分布的先驗知識，對數(shù)據(jù)分布不附加任何假定，是一種從數(shù)據(jù)樣本本身出發(fā)研究數(shù)據(jù)分布特征的方法，在統(tǒng)計學(xué)理論和應(yīng)用領(lǐng)域均受到高度的重視［1－3］.

在非參數(shù)估計方法中，直方圖技術(shù)是最為直觀、最簡單的方法，但直方圖很難給出較為精確的密度估計結(jié)果.核密度估計是在直方圖基礎(chǔ)上演變而來的具有良好統(tǒng)計性質(zhì)的密度估計方法.

核密度估計的原理和直方圖技術(shù)比較類似，直方圖記錄了實測樣本中落在每個區(qū)間點的實際個數(shù)或頻率，可直觀地看出每個區(qū)間的大致分布趨勢.核密度估計則是在計算某一點周圍的數(shù)據(jù)分布時，充分考慮其統(tǒng)計特性，具體地，一維核密度估計的定義為:設(shè)X為隨機變量，X1，X2，…，Xn為來自X的一個實測樣本，則X的概率密度函數(shù)f(x)的核估計定義如下:

式中，X=(X1，X2，…，Xn);K(·)為核函數(shù)，是一個已知給定的概率密度函數(shù)，核函數(shù)應(yīng)滿足對稱性、非負(fù)性;h為帶寬系數(shù);n為樣本容量.

除一維核估計外，還有多維核估計.本文僅使用一維核估計，對于多維的概念不予介紹.

1.2 核估計精度

影響核密度估計結(jié)果的因素有兩個:①樣本本身;②所取的核函數(shù)K(·)和帶寬h.可以說，對任何統(tǒng)計方法，樣本本身對統(tǒng)計結(jié)果均起著決定性作用.在給定樣本后，核估計的精度則取決于K(·)及h的選取是否適當(dāng).一般的，當(dāng)K(·)固定時，帶寬越大，估計的密度函數(shù)就越平滑，但同時帶來的后果是f(x)的某些特征被掩蓋;帶寬較小，估計的密度曲線和樣本擬合度較好，但增大了方差，f(x)有較大的波動.

對于在實際使用中應(yīng)如何確定核函數(shù)，文獻(xiàn)［1］指出，當(dāng)給定帶寬系數(shù)時，不同核函數(shù)對估計誤差的影響是很小的.理論上講，任何函數(shù)都可以作為核函數(shù).但為了密度函數(shù)估計的方便性和合理性，通常要求核函數(shù)滿足以下條件:

下面列出的是幾種常用的核函數(shù):

2)三角函數(shù)(Triangle):(1－|x|)I(|x|≤1);

帶寬h的選擇與樣本量n有關(guān).樣本量較大時，h較小，反之，h應(yīng)較大.h的確定還要考慮數(shù)據(jù)的密集程度，在數(shù)據(jù)密集區(qū)，h選小一點;在數(shù)據(jù)稀疏區(qū)，h選大一點.h的具體計算方法很多，可以參考相應(yīng)文獻(xiàn).

2 飛機疲勞載荷譜

疲勞載荷譜是飛機疲勞定壽的重要依據(jù)，載荷譜反映機體的使用情況，其實質(zhì)是結(jié)構(gòu)使用中各級載荷大小出現(xiàn)的頻數(shù)的排列.

載荷譜統(tǒng)計是飛機設(shè)計研制工作的重要組成部分，對確定飛機結(jié)構(gòu)使用壽命起著非常重要的作用.在20世紀(jì)90年代以前，國內(nèi)飛機載荷譜統(tǒng)計都是按均值譜編制方法;90年代以后，對機體載荷譜，采用了代表起落隨機載荷譜編制方法，而起落架載荷譜則仍然沿用均值譜編制技術(shù).

均值譜編制方法的基本思想是把實測載荷進行分級，經(jīng)計數(shù)處理后，各級載荷出現(xiàn)的頻數(shù)取重復(fù)實測次數(shù)的平均值，依次為依據(jù)編制載荷譜.均值譜編制通常以任務(wù)剖面或任務(wù)段為編譜單元，如起落架載荷譜以使用任務(wù)段為編譜單元.起落架載荷譜的編制是一個復(fù)雜的處理過程，包含計數(shù)處理、等壽命折算、等損傷折算等［4］，可參考相關(guān)文獻(xiàn).

3 核密度估計應(yīng)用于載荷譜統(tǒng)計

核密度估計方法可以估計出隨機變量在其取值范圍內(nèi)某點的概率密度，這與載荷譜統(tǒng)計過程中均值譜統(tǒng)計的思路是一致的，因此可以將核密度估計方法用于載荷譜統(tǒng)計.一般情況下，均值載荷譜以1 000次飛行出現(xiàn)的頻次表示，是一個概率的概念，因此對核密度估計結(jié)果需要作進一步的計算處理.處理方法如下:

1)計算概率密度.根據(jù)給定的核函數(shù)和帶寬估計載荷的概率密度函數(shù)，計算公式如式(1).

2)計算概率.對概率密度估計結(jié)果進行數(shù)值積分，得到統(tǒng)計概率.可以得到以下兩種概率:

①區(qū)間概率，即載荷大小位于區(qū)間n1和n2之間的概率，計算公式如下:

區(qū)間概率的物理意義是一次飛行載荷大小出現(xiàn)在區(qū)間n1和n2之間的頻數(shù);

②連續(xù)概率，即載荷位于最小值到n之間的概率，計算公式如下:

連續(xù)概率的物理意義是一次飛行載荷大小在n點的超越頻率.

3)計算載荷譜.根據(jù)概率計算1 000次飛行譜塊:

4)數(shù)據(jù)推斷.根據(jù)核密度估計結(jié)果推斷1000次飛行中可能出現(xiàn)的最大載荷.

推斷方法:將概率密度f=0.001代入式(1)求出x值.

4 實例

以某型機下沉速度譜(下沉速度譜是起落架載荷譜統(tǒng)計內(nèi)容之一)統(tǒng)計為例.在某型機起落架載荷譜實測中，共實測125架次的著陸下沉速度值，其最大值為 1.412m/s，最小值為 0.137m/s，平均值為0.6774m/s.分別用傳統(tǒng)的均值統(tǒng)計法和核密度估計法編制該機的下沉速度譜.

4.1 均值統(tǒng)計結(jié)果

以0.1m/s為間隔，將下沉速度劃分為15個間隔，每個區(qū)間的統(tǒng)計結(jié)果見表1.以直方圖的結(jié)果顯示為圖1.將間隔更改為0.05m/s，對下沉速度重新統(tǒng)計，其結(jié)果見圖2.這兩種結(jié)果均為125架次實測下沉速度在不同間隔情況下的均值譜統(tǒng)計結(jié)果.從該結(jié)果可以看出增大間隔，統(tǒng)計結(jié)果有一定程度的改善.

圖1 著陸下沉速度實測統(tǒng)計譜(間隔0.1m/s)

圖2 著陸下沉速度實測統(tǒng)計譜(間隔0.05m/s)

但由于實測數(shù)據(jù)有限，下沉速度的分布情況比較離散，其改善程度是非常有限的，再更改間隔，還會得到不同的統(tǒng)計結(jié)果，很難得到下沉速度真正的分布情況.如果樣本數(shù)減少，離散情況將增大.且由于最大下沉速度僅達(dá)到1.412m/s，所以，1.412m/s以上的分布情況無法得到.對于整個機隊甚至整個型號飛機的使用情況，下沉速度大于1.412m/s是完全可能出現(xiàn)的，只是在測量的125架次中沒有遇到而已.這是小子樣實測數(shù)據(jù)無法避免的，同時也是均值統(tǒng)計法不能挽救的.當(dāng)然，可以利用參數(shù)估計方法對其分布形式進行估計，但在樣本量較小的情況下，參數(shù)估計方法很難得到滿意的結(jié)果.

4.2 核密度統(tǒng)計法

同樣取0.1m/s為估計間隔，按照不同的核函數(shù)進行密度估計，結(jié)果見圖3.由此可見，不同核函數(shù)的估計結(jié)果差異較小，個別函數(shù)統(tǒng)計結(jié)果平滑性較差.比較后，選定高斯核函數(shù)進行核密度估計.分別取步長為0.05，0.15，0.2 進行計算，計算結(jié)果同時列在表1中，圖示結(jié)果見圖4.

表1 某型機下沉速度譜統(tǒng)計結(jié)果

圖3 不同核函數(shù)估計結(jié)果對比

從圖4可以看出，當(dāng)取步長為0.05時，計算結(jié)果平滑度較差，較多地保留實測數(shù)據(jù)的原貌，步長增大到0.15時，數(shù)據(jù)結(jié)果比較平滑，再增大到0.2時，平滑度進一步增加.考慮到實際飛行結(jié)果，最后選定步長0.2作為計算步長.

圖4 不同帶寬核密度估計結(jié)果對比

與實測譜對應(yīng)，分別選間隔為0.05和0.1進行統(tǒng)計，結(jié)果見圖5.可以看出，在選定步長和核函數(shù)后，核密度估計結(jié)果與間隔的劃分沒有關(guān)系，說明統(tǒng)計結(jié)果反映了母體的本質(zhì).

圖5 某型機著陸下沉速度核密度估計譜

4.3 均值譜與核密度估計譜對比

比較核密度統(tǒng)計譜與均值譜，可以看出，均值譜統(tǒng)計結(jié)果與間隔劃分關(guān)系較大，與樣本量的大小關(guān)系密切;核密度估計譜大大彌補了實測數(shù)據(jù)的缺陷，不依賴于數(shù)據(jù)間隔的劃分，體現(xiàn)了母體的真實特性.

同時，核密度估計方法可以很容易地進行數(shù)據(jù)推斷，從該計算結(jié)果直接得到了1 000次飛行中出現(xiàn)最大的下沉速度值為1.9m/s，出現(xiàn)次數(shù)為0.53.

5 結(jié) 束 語

核密度估計是近年來發(fā)展起來的非參數(shù)估計方法，在很多領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用.本文將該技術(shù)用于飛機載荷譜的統(tǒng)計分析，對于還原載荷譜原貌、解決小子樣數(shù)據(jù)缺陷問題起到了很好的作用.

載荷譜實測對確定飛機實際使用壽命、改進飛機結(jié)構(gòu)設(shè)計有重要作用.近年來，國家大力發(fā)展航空事業(yè)，載荷譜實測任務(wù)逐年增多，由于經(jīng)濟原因，目前的小子樣載荷譜實測方法將持續(xù)較長時間，因此對于新的統(tǒng)計技術(shù)研究是非常必要也是非常重要的.

References)

［1］陳希儒，柴根象.非參數(shù)統(tǒng)計教材［M］.上海:華東師范大學(xué)出版社，1993 Chen Xiru，Chai Genxiang.Nonparametric estimation［M］.ShangHai:East China Normal University Press，1993(in Chinese)

［2］ Epanechnikov V A.Nonparametric estimation of a multidimensional probability density［J］.Theory of Probability and Application，1969，14(1):156 －161

［3］ Scott D W.Multivariate density estimation:theroy practice and visualization［M］.New York:Wile-Blackwell，1992

［4］GJB67.6A—2008軍用飛機結(jié)構(gòu)強度規(guī)范:重復(fù)載荷、耐久性和損傷容限［S］GJB67.6A—2008 Military airplane structural strength specication:repeated loads，durability and damage tolerance［S］(in Chinese)

(編 輯:李 晶)

Technique of aircraft loads spectrum statistics based on kernel density estimation

Tang Ani

(Chinese Flight Test Establishment，Xi'an 710089，China)

Restricted by real condition，small sample method is usually used to measure the aircraft loads spectrum.The small sample data is a simple sample from the realmatrix，which can'tensure the adequacy and the integrity of data.The traditional average statistics method which is the common method to be used to develop loads spectrum can't compensate for the defects of data.In order to overcome the shortage of small sample data，kernel density estimation was used to static loads spectrum，and better results were gotten.The basic theory of kernel density estimation was introduced and using the statistic of an airplane's sinking velocity spectrum as an example to describe the mathematical course of kernel density estimation method on load spectrum statistics datailedly.The results show that kernel density estimation method has a good effect for restoring the original appearance of the load spectrum and can make up the shortage of small sample data.

kernel density estimation;loads spectrum;statistics;small sample

V 215

A

1001-5965(2011)06-0654-04

2010-05-04

湯阿妮(1975－)，女，陜西潼關(guān)人，高級工程師，tangani@sohu.com.