m-NOD樣本最近鄰密度估計(jì)的相合性

王 巍，劉子湘

（池州學(xué)院，安徽 池州 247000）

0 引言

設(shè)總體X的密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為f(x)和F(x)，X1,X2,X3,…,X n是取自于總體X的樣本。又設(shè){k n,n≥1}是選定的正整數(shù)序列，滿足1≤k n≤n，a n(x)為最小的正數(shù)a，使得[x-a,x+a]中至少包含X1,X2,X3,…,X n中的k n個(gè)。Loftgarden和Quesenberry［1］將f(x)的最近鄰估計(jì)定義為

最近鄰密度估計(jì)是一種較常用的非參數(shù)概率密度估計(jì)方法，目前已取得許多研究成果。在相依樣本方面，Boente和Fraiman［2］研究了基于φ-混合和α-混合樣本的最近鄰密度估計(jì)的強(qiáng)相合性；Chai［3］得到了基于φ-混合平穩(wěn)過程的最近鄰密度估計(jì)的強(qiáng)相合性、弱相合性、一致強(qiáng)相合性及其收斂速度；Liu和Zhang［4］建立了φ-混合樣本的最近鄰密度估計(jì)的相合性和漸近正態(tài)性；Yang［5］研究了負(fù)相關(guān)（NA）樣本的最近鄰密度估計(jì)的弱相合性、強(qiáng)相合性、一致強(qiáng)相合性；Wang和Hu［6］將Yang［5］的結(jié)果從NA樣本推廣到WOD樣本?；谏鲜鑫墨I(xiàn)，本文將進(jìn)一步研究m-NOD樣本的最近鄰密度估計(jì)的弱相合性、強(qiáng)相合性和一致強(qiáng)相合性。

Joag-Dev和Proschan［7］提出了NOD隨機(jī)變量的概念，它是一類非常普遍的相依結(jié)構(gòu)，包含了獨(dú)立隨機(jī)變量、NA隨機(jī)變量。許多學(xué)者研究了NOD隨機(jī)變量的概率極限定理和統(tǒng)計(jì)大樣本性質(zhì)［8-14］?；贜OD隨機(jī)變量，Wang等［15］引進(jìn)了m-NOD隨機(jī)變量的概念。設(shè)m≥1為固定整數(shù)，若任意n≥2和對于所有的1≤k≠j≤n，Xi1,X i2,...,X i n是NOD隨機(jī)變量，則稱{X n,n≥1}是m-NOD序列。Joag-Dev和Proschan［7］證明了NOD隨機(jī)變量包含了NA隨機(jī)變量。Hu和Yang［16］證明了NOD隨機(jī)變量包含了NSD隨機(jī)變量。由此可見，m-NOD隨機(jī)變量包含了獨(dú)立隨機(jī)變量、NA隨機(jī)變量、NSD隨機(jī)變量以及NOD隨機(jī)變量。因此，研究m-NOD隨機(jī)變量的大樣本性質(zhì)具有重要的理論意義。

本文利用m-NOD序列的性質(zhì)與Bernstein不等式，進(jìn)一步研究m-NOD樣本最近鄰密度估計(jì)的相合性，推廣和改進(jìn)已有文獻(xiàn)的結(jié)果。為行文方便，假設(shè)C為一個(gè)正常數(shù)，在不同的地方可以表示不同的值；除非另有說明，否則極限取表示不超過x的最大整數(shù)值，c(f)表示函數(shù)f的所有連續(xù)點(diǎn)，logx=ln max(x,e)。

1 引理與主要結(jié)果

為了獲得本文的主要結(jié)果，首先給出以下幾個(gè)引理。

引理1.1［15］設(shè){X n,n≥1}是m-NOD隨機(jī)變量序列，若{f n(?)，n≥1}均為非增（或非降）函數(shù)，則{f n(X n)，n≥1}也是m-NOD隨機(jī)變量序列。

其中，對于每個(gè)1≤l≤m，{X mi+l，0≤i≤j}是NOD隨機(jī)變量。故由引理1.2可得

由此得到結(jié)論，證畢。

引理1.4［5］設(shè)F(x)為連續(xù)分布函數(shù)，對于n≥3，假設(shè)x nj滿足F(x nj)=j/n,j=1,2,...,n-1，那么

下面給出本文的主要結(jié)果。

2 主要結(jié)果證明

同理，由式（3）和式（5）可得

定理1.1證明完畢。

由此推論1.1得證，證畢。

定理1.3的證明 證明將沿用定理1.1證明中的記號。由于f(x)是一致連續(xù)的，可推導(dǎo)出對于任何ε>0，存在一個(gè)正常數(shù)δ0，如果|x-y|<δ0，有

3 結(jié)語

本文首先建立了m-NOD序列的Bernstein不等式，利用m-NOD序列的性質(zhì)和Bernstein不等式，研究了m-NOD樣本的最近鄰密度估計(jì)的弱相合性、強(qiáng)相合性及一致強(qiáng)相合性，將最近鄰密度估計(jì)從NA樣本推廣到更一般的m-NOD樣本，進(jìn)一步拓展了最近鄰密度估計(jì)的應(yīng)用范圍，為最近鄰密度估計(jì)方法應(yīng)用在更普遍的相依結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)上奠定了理論基礎(chǔ)。