程良炎

(黃石理工學(xué)院數(shù)理學(xué)院,湖北黃石 435003)

1 預(yù)備引理

定義 把含有n個(gè)元素的集合恰好分成r個(gè)無(wú)序非空子集的所有不同劃分的數(shù)目稱為第二類stirling數(shù),記為S(n,r).

對(duì)于n=r=0時(shí),定義S(0,0)=1,當(dāng)n＜r時(shí),S(n,r)=0.

2 對(duì)S(n,n-L)中n、M、L關(guān)系的探討

我們這里約定L≥1,因?yàn)楫?dāng)L=0時(shí),顯然有S(n,n-L)=S(n,n)=1.

2.1 提出問(wèn)題

前面的 4個(gè)引理都給出了 n的取值范圍,即n≥M且M=2L,現(xiàn)在我們來(lái)嘗試一下將M=2L改為M≥2L,看會(huì)出現(xiàn)什么結(jié)果,現(xiàn)以引理2為例,將條件 n≥8改為 n≥10來(lái)計(jì)算S(n,n-4).

解 由S(n,n-4)的定義,不難看出將n個(gè)球放進(jìn) n-4個(gè)盒子里且每個(gè)盒子至少放入1個(gè)球的方法是:先將n-4-k個(gè)盒子里各放入1個(gè)球,再將剩余的 k個(gè)盒子共放入 4+k個(gè)球,且這 k個(gè)盒子中每個(gè)盒子至少要放入 2個(gè)球,因?yàn)閚≥10,n-4-k≥0,則知k≤6,又由于球的個(gè)數(shù)必須超過(guò)盒子數(shù),則所有盒子中放入的球數(shù)超過(guò) 1的盒子數(shù)至少是 1,則知k≥1,故k的取值范圍為 1≤k≤6.

為了表達(dá)方便,先設(shè)Pi為k=i(k=1,2, 3,…4,5,6)時(shí)的分拆數(shù).

1) 當(dāng)k=1時(shí),4+k=5,要將5個(gè)球放入 1個(gè)盒子中,其余的 n-5個(gè)盒子中各放入1個(gè)球,其球的放法只有 1種情形,相應(yīng)的方法數(shù)為:

2) 當(dāng)k=2時(shí),4+k=6,將6個(gè)球放入2個(gè)盒子中,相應(yīng)的放法有 2種情形,分別為: (2,4),(3,3),相應(yīng)的方法數(shù)為:

3) 當(dāng)k=3時(shí),4+k=7,將7個(gè)球放入3個(gè)盒子中,相應(yīng)的放法為:(2,2,3),相應(yīng)的方法數(shù)為:

4) 當(dāng)k=4時(shí),4+k=8,將8個(gè)球放入4個(gè)盒子中,相應(yīng)的放法為:(2,2,2,2),相應(yīng)的方法數(shù)為:

5) 當(dāng)k=5時(shí),4+k=9,將9個(gè)球放入5個(gè)盒子中,每個(gè)盒子至少放入 2個(gè)球是不可能的,則相應(yīng)的方法數(shù)為:

6) 當(dāng)k=6時(shí),4+k=10,將10個(gè)球放入 6個(gè)盒子中,每個(gè)盒子至少放入 2個(gè)球也是不可能的,則相應(yīng)的方法數(shù)為:

將以上方法數(shù)相加得:

由此可以看出,當(dāng) n≥10時(shí),利用引理 2是可以計(jì)算S(n,n-4)的,但是這里關(guān)鍵的一點(diǎn)就是上面 Pk中 k的取值范圍如何確定,以及k取何值時(shí)才使得 Pk=0,因此文獻(xiàn)[2]中定理反應(yīng)的問(wèn)題還不夠全面.

2.2 探討問(wèn)題

設(shè)n≥M,在計(jì)算S(n,n-L)時(shí),我們希望知道在 L給定的情形下怎樣確定 n,k,M (n,k,M這 3個(gè)數(shù)均為正整數(shù),k為至少裝有2個(gè)球的盒子數(shù)).

首先確定 k的取值范圍,將 n個(gè)球放進(jìn)n-L個(gè)盒子里且每個(gè)盒子至少放入 1個(gè)球的放法是:先將n-L個(gè)盒子各放入1個(gè)球,剩余的L個(gè)球在n-L個(gè)盒子中選出若干個(gè)盒子進(jìn)行放入,因此至少有 1個(gè)盒子放入球的個(gè)數(shù)大于 1,因?yàn)橹辽俜湃?2個(gè)球的盒子數(shù)為 k,顯然k至少是 1,現(xiàn)在看 k的最大值是多少,因?yàn)槭Ｓ嗟腖個(gè)球要在n-L個(gè)盒子已經(jīng)各放入1個(gè)球的基礎(chǔ)上最多可選出 L個(gè)盒子,且這 L個(gè)盒子中每個(gè)盒子再加入 1個(gè)球,顯然 k的最大值為L(zhǎng),則1≤k≤L.

其次確定 M的取值范圍,因?yàn)?k的最大值為L(zhǎng),至少要準(zhǔn)備2L個(gè)球裝L個(gè)盒子,則M必須大于或等于2L,所以M=2L或M＞2L.

我們也可從另一角度討論 k與 L的關(guān)系,當(dāng)n≥M時(shí),為求S(n,n-L)的值,根據(jù)k依次取 1,2,…,L的情形分成 L類,在每一類中,先將n-k-L個(gè)盒子里各放入1個(gè)球,再將剩余的k個(gè)盒子共放入k+L個(gè)球,且這k個(gè)盒子中每個(gè)盒子至少要放入 2個(gè)球.

若要將k+L個(gè)球放入k個(gè)盒子中,且k個(gè)盒子中每個(gè)盒子至少放入 2個(gè)球,只有當(dāng)k+L≥2k時(shí),即L≥k時(shí)才有可能,因此有:

由n≥M,n-L-k≥0可知:1≤k≤ML,但當(dāng)L＜k≤M-L時(shí),Pk=0,故:

因而當(dāng)M≥2L時(shí)有:

3 結(jié)束語(yǔ)

式(1)和式(2)是當(dāng)n≥M時(shí),在S(n, n-L)中根據(jù)n,M,L這3個(gè)數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系給出的,為我們計(jì)算第二類stirling數(shù)S(n,n -L)帶來(lái)很大的方便.

由式(1)可知,P5=0,P6=0,P7=0,P8= 0,則有:

[1] 孫淑玲,許胤龍.組合數(shù)學(xué)引論[M].合肥:中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,1999

[2] 杜春雨.第二類stirling數(shù)的一個(gè)恒等式[J].江西師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2004,28(3): 240-241

[3] 余敏.關(guān)于第二類stirling數(shù)的幾個(gè)恒等式的證明[J].黃石理工學(xué)院學(xué)報(bào),2009,25(5):22-24