吳金美，胡上成，凌曉冬

多項(xiàng)式擬合法在船載外測(cè)數(shù)據(jù)實(shí)時(shí)壓縮算法中的應(yīng)用?

吳金美，胡上成，凌曉冬

（中國(guó)衛(wèi)星海上測(cè)控部，江蘇江陰214431）

為了解決船載外測(cè)設(shè)備采樣數(shù)量大的問(wèn)題，船中心機(jī)必須對(duì)外測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)時(shí)預(yù)處理，適當(dāng)壓縮后才能向外發(fā)送。將多項(xiàng)式擬合的方法應(yīng)用到外測(cè)數(shù)據(jù)的實(shí)時(shí)壓縮算法之中，通過(guò)建立一組正交多項(xiàng)式基，運(yùn)用最小二乘法估計(jì)得到擬合點(diǎn)的平滑公式，在綜合分析多項(xiàng)式截?cái)嗾`差和隨機(jī)誤差的基礎(chǔ)上總結(jié)得出最佳壓縮多項(xiàng)式次數(shù)和采樣點(diǎn)數(shù)。理論分析和實(shí)例仿真結(jié)果均表明，該方法達(dá)到了良好的壓縮和濾噪的效果，能夠在比較高的精度范圍內(nèi)體現(xiàn)數(shù)據(jù)的真實(shí)曲線特征。

航天測(cè)量船；外測(cè)數(shù)據(jù)；多項(xiàng)式擬合；數(shù)據(jù)壓縮；濾噪

1 引言

目前，“遠(yuǎn)望”號(hào)測(cè)量船的外測(cè)數(shù)據(jù)采樣率遠(yuǎn)高于測(cè)控中心數(shù)據(jù)處理時(shí)所采用的數(shù)據(jù)率，其數(shù)據(jù)量大約超出20倍，即假設(shè)當(dāng)測(cè)量船采用每50ms一點(diǎn)的數(shù)據(jù)采樣率時(shí)，最后卻僅需向中心提供每秒1點(diǎn)的外測(cè)數(shù)據(jù)，包括該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的瞬時(shí)船位相對(duì)于地平坐標(biāo)系的角度、距離和速度數(shù)據(jù)，因此在預(yù)處理時(shí)需要對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行壓縮。傳統(tǒng)做法是舍去其余點(diǎn)、只取整秒點(diǎn)的數(shù)據(jù)［1］。很顯然，這種方法既浪費(fèi)了相當(dāng)多的數(shù)據(jù)信息，還容易帶入較大的測(cè)量誤差，甚至采用了偏差較大的不合理值。除此之外，常用的處理方法還有平均法。平均法雖然在一定程度上平均掉了誤差，不會(huì)出現(xiàn)野值的情況，但還是無(wú)法接近運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的真值。

實(shí)時(shí)處理系統(tǒng)在對(duì)外測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行壓縮前，已經(jīng)進(jìn)行了船搖、船體變形、船位誤差等修正，但無(wú)可避免地，數(shù)據(jù)中仍包含了隨機(jī)誤差和船搖變形等因素引起的誤差。作為一種壓縮比固定的有損壓縮，在實(shí)現(xiàn)高效率壓縮的同時(shí)能否去除噪聲等的影響，使得輸出數(shù)據(jù)保真度更好，這將直接影響到定軌等對(duì)外測(cè)數(shù)據(jù)的后續(xù)處理的精度。在這個(gè)意義上，需要尋求一種算法簡(jiǎn)單、壓縮速度快、精度更高的壓縮方法。

目前，能夠同時(shí)濾波的數(shù)據(jù)壓縮處理方法大多以小波變換為基礎(chǔ)，但基于小波變換的濾波和壓縮算法都基于“閾值”法，其“閾值”的選擇、分解尺度的確定仍是一個(gè)困難的問(wèn)題。考慮到多項(xiàng)式擬合法模型完善、算法簡(jiǎn)潔，在時(shí)域?yàn)V波、信號(hào)檢測(cè)等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用［2-5］，本文主要探討如何將多項(xiàng)式擬合法應(yīng)用到船載外測(cè)數(shù)據(jù)實(shí)時(shí)壓縮中，以達(dá)到高效的壓縮和濾噪。

2 數(shù)據(jù)壓縮原理和模型

2.1 基本原理和假設(shè)

船載外測(cè)設(shè)備通過(guò)對(duì)目標(biāo)飛行器的連續(xù)跟蹤和測(cè)量得到目標(biāo)的實(shí)時(shí)方位、俯仰、徑向距離等數(shù)據(jù)，轉(zhuǎn)換到直角坐標(biāo)系得到目標(biāo)位置的3個(gè)坐標(biāo)分量。由于測(cè)量過(guò)程是連續(xù)的，所以可以認(rèn)為在一個(gè)適當(dāng)小的時(shí)間尺度里，t時(shí)刻的測(cè)量值與前后幾個(gè)時(shí)刻的值密切相關(guān)，以t時(shí)刻為中心，選取適當(dāng)?shù)陌霃?，在測(cè)量數(shù)據(jù)鏈上截取一個(gè)區(qū)間，利用這個(gè)局部數(shù)據(jù)集的信息來(lái)估計(jì)t時(shí)刻的數(shù)據(jù)真值，則輸出的t時(shí)刻估計(jì)值必然優(yōu)于t時(shí)刻的測(cè)量值。在實(shí)時(shí)處理中，積累一個(gè)局部數(shù)據(jù)集，輸出中心點(diǎn)的目標(biāo)位置在3個(gè)坐標(biāo)分量的估計(jì)值和微分得到的速度估計(jì)值，再積累1 s測(cè)得的數(shù)據(jù)，構(gòu)成新的局部數(shù)據(jù)集，輸出間隔1 s的下一個(gè)估計(jì)值，這樣大量的數(shù)據(jù)進(jìn)行壓縮得到每秒1點(diǎn)的輸出值。在t時(shí)刻的局部數(shù)據(jù)集里，充分利用每個(gè)數(shù)據(jù)的信息，用一個(gè)多項(xiàng)式組合來(lái)擬合運(yùn)動(dòng)函數(shù)，用最小二乘估計(jì)得出的擬合值濾去了噪聲等誤差，比平均法更為接近真值。

假設(shè)采樣間隔為h，積累的局部數(shù)據(jù)集中的采樣時(shí)間點(diǎn)為ti=ih，i=1，2，…，n。設(shè)飛行目標(biāo)運(yùn)動(dòng)函數(shù)為f（t），采樣點(diǎn)ti時(shí)刻的設(shè)備測(cè)量值為yi，則yi=f（ti）+εi，εi為隨機(jī)誤差（也包括修正殘差）。根據(jù)Weierstrass第一逼近定理，可以用一組最高次數(shù)為m的多項(xiàng)式來(lái)擬合f（t），即近似模型為

2.2 構(gòu)造正交多項(xiàng)式基

為了減小在進(jìn)行最小二乘估計(jì)時(shí)正規(guī)方程系數(shù)矩陣的計(jì)算量，以及多項(xiàng)式階數(shù)變動(dòng)時(shí)的重復(fù)計(jì)算量，現(xiàn)在從最簡(jiǎn)單的代數(shù)多項(xiàng)入手構(gòu)造正交多項(xiàng)式基。設(shè)P為［0，nh］上的多項(xiàng)式的全體，對(duì)p，q∈P，定義內(nèi)積〈p，q〉=，若〈p，q〉=0，則稱p，q正交。利用Schmit正交化方法:

可以得到:

可以看出，利用Schmit正交化方法構(gòu)造出來(lái)的正交多項(xiàng)式有很多特性，例如奇次多項(xiàng)式關(guān)于區(qū)間中點(diǎn)奇對(duì)稱、偶次關(guān)于偶對(duì)稱，這在進(jìn)行內(nèi)積計(jì)算時(shí)可以減少很多計(jì)算量。

2.3 用正交多項(xiàng)式擬合f（t）

于是

擬合點(diǎn)位置輸出公式:

擬合點(diǎn)速度輸出公式:

上面兩公式就是在區(qū)間內(nèi)任意壓縮點(diǎn)的輸出公式。由前面的分析，我們選擇局部數(shù)據(jù)集的中心點(diǎn)為壓縮點(diǎn)，h取0.05 s，，局部數(shù)據(jù)集點(diǎn)數(shù)n為奇數(shù)，只需要確定m和n。下面通過(guò)對(duì)壓縮效率的計(jì)算來(lái)討論m和n的選取方法。

2.4 壓縮效率分析

數(shù)據(jù)壓縮的保真度取決于多項(xiàng)式對(duì)真實(shí)信號(hào)的擬合效率，最小二乘估計(jì)的精度取決于估計(jì)值與真值的偏差的期望和方差這兩個(gè)量。上述兩個(gè)數(shù)據(jù)中，一個(gè)用于衡量估計(jì)值與真實(shí)信號(hào)的偏差即截?cái)嗾`差大小，另一個(gè)衡量平滑的效果即隨機(jī)誤差的大小。

事實(shí)上，多項(xiàng)式次數(shù)越高截?cái)嗾`差會(huì)越小，但同時(shí)曲線擺動(dòng)會(huì)加劇，也就是平滑方差又會(huì)增大；局部數(shù)據(jù)集點(diǎn)數(shù)越大，平滑效果越好，但截?cái)嗾`差又會(huì)增大，容易引起時(shí)序的相關(guān)性。為了得到誤差期望和方差關(guān)于m和n的表達(dá)式，進(jìn)行了如下推導(dǎo):

采用同樣的方法，可得出速度壓縮的偏差Δ′（t）的估計(jì)和方差為

可以看出:截?cái)嗾`差隨m增加而減小，隨n增加而增大；而隨機(jī)誤差隨m增加而增大，隨n增加而減小。式（6）、式（8）中只未知，但一般變化不會(huì)很大，在估算中不妨當(dāng)作定值（這在事后數(shù)據(jù)處理時(shí)可以用很多方法進(jìn)行統(tǒng)計(jì)估算，但實(shí)時(shí)運(yùn)算時(shí)無(wú)法估算）。

實(shí)踐中，為了避免多項(xiàng)式擺動(dòng)可能產(chǎn)生大的振蕩，多項(xiàng)式進(jìn)行擬合時(shí)一般很少使用超過(guò)6階的多項(xiàng)式。在航天應(yīng)用背景中，航天測(cè)量信號(hào)的主趨勢(shì)有三階多項(xiàng)式特征及特征點(diǎn)［2-3］，故對(duì)外測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合時(shí)一般采用的多項(xiàng)式最高次數(shù)為2次或3次［1-3］。另一方面，作為外測(cè)數(shù)據(jù)實(shí)時(shí)壓縮預(yù)處理，局部數(shù)據(jù)集的大小直接決定了輸出數(shù)據(jù)的遲延滯后。如果n≤41，積累n點(diǎn)數(shù)據(jù)，在整秒點(diǎn)輸出，時(shí)間滯后1 s；如果41＜n≤81，時(shí)間滯后2 s；如果81＜n≤121，時(shí)間滯后3 s。n越大，滯后時(shí)間越長(zhǎng)，為了滿足實(shí)時(shí)性的需求，一般時(shí)延不超過(guò)1 s，因此n取值小于41點(diǎn)，如常用的21點(diǎn)、41點(diǎn)。在對(duì)位置進(jìn)行壓縮輸出時(shí)，由于p1（t）、p3（t）關(guān)于中點(diǎn)奇對(duì)稱，、式（7）容易比較得:

即同樣的采樣點(diǎn)n，三次多項(xiàng)式擬合與二次多項(xiàng)式擬合平滑效果相同但截?cái)嗾`差更小，所以用三次多項(xiàng)式進(jìn)行擬合壓縮。進(jìn)而，對(duì)于采樣21點(diǎn)和41點(diǎn)進(jìn)行比較時(shí):

相對(duì)于方差來(lái)說(shuō)，21點(diǎn)擬合比41點(diǎn)擬合的截?cái)嗾`差小得多，因此選用21點(diǎn)擬合輸出。

在對(duì)速度進(jìn)行壓縮輸出時(shí)，p0（t）和p2（t）關(guān)于中點(diǎn)偶對(duì)稱，故p′0（ˉt）=p′2（ˉt）=0，代入式（8）、式（9）容易比較得:

即同樣的采樣點(diǎn)，二次多項(xiàng)式擬合時(shí)，雖然截?cái)嗾`差比三次多項(xiàng)式大，但方差減小的幅度更大，因此用二次多項(xiàng)式進(jìn)行擬合壓縮。對(duì)于采樣21點(diǎn)和41點(diǎn)進(jìn)行比較時(shí):

41點(diǎn)擬合雖然截?cái)嗾`差比21點(diǎn)擬合大，但方差減小的幅度更大，因此用41點(diǎn)擬合壓縮效果更好。

綜合衡量方差和截?cái)嗾`差，對(duì)位置壓縮時(shí)，采用三次多項(xiàng)式21點(diǎn)壓縮平滑；對(duì)速度壓縮時(shí)，采用二次多項(xiàng)式41點(diǎn)壓縮平滑。

3 仿真分析結(jié)果

為了能夠準(zhǔn)確地對(duì)各數(shù)據(jù)壓縮方法的精度進(jìn)行分析，需要有不含噪聲的目標(biāo)真實(shí)值作為比較對(duì)象，而實(shí)測(cè)任務(wù)中的外測(cè)數(shù)據(jù)沒(méi)有真實(shí)值作為對(duì)比，所以我們采用理論設(shè)計(jì)彈道加入噪聲的方式產(chǎn)生外測(cè)數(shù)據(jù)源。在Matlab仿真環(huán)境下，選取某次任務(wù)地心固聯(lián)系下理論彈道的x軸方向分量數(shù)據(jù)為目標(biāo)真實(shí)值。由于外測(cè)設(shè)備的隨機(jī)誤差一般只有幾米，所以我們?cè)谀繕?biāo)真值上疊加一組均值為0、標(biāo)準(zhǔn)方差為10的白噪聲，選取其中250 s的數(shù)據(jù)。對(duì)位置進(jìn)行壓縮輸出時(shí)，比較只取整秒點(diǎn)做法、平均法及用三次多項(xiàng)式21點(diǎn)擬合和41點(diǎn)擬合法的結(jié)果值與真值的偏差，如圖1～5所示。

從圖1～5可以看出，三次21點(diǎn)多項(xiàng)式擬合壓縮法比較平滑地體現(xiàn)了數(shù)據(jù)的特征，其與真值的偏差也明顯小于整秒點(diǎn)輸出法和平均法。在用三次多項(xiàng)式對(duì)位置數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合時(shí)，采樣21點(diǎn)比41點(diǎn)偏差更小。

對(duì)速度進(jìn)行壓縮輸出時(shí)，比較二次和三次多項(xiàng)式的擬合效果圖，以及二次多項(xiàng)式21點(diǎn)擬合和41點(diǎn)擬合法的結(jié)果值與真值的偏差，如圖6～9所示。

從圖6～9可以看出，二次多項(xiàng)式比三次多項(xiàng)式擬合壓縮的效果更好，在用二次多項(xiàng)式對(duì)速度數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合時(shí)，采樣41點(diǎn)比21點(diǎn)的精度更高。

4 結(jié)論

利用多項(xiàng)式擬合法對(duì)船載外測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行壓縮既簡(jiǎn)單實(shí)用，又能夠滿足船載外測(cè)數(shù)據(jù)預(yù)處理系統(tǒng)對(duì)實(shí)時(shí)性的要求。從仿真結(jié)果可以看出，本文提出的多項(xiàng)式擬合法達(dá)到了良好的壓縮和濾噪的效果，能夠在比較高的精度范圍內(nèi)體現(xiàn)數(shù)據(jù)的真實(shí)曲線特征，壓縮效率分析中對(duì)多項(xiàng)式次數(shù)和采樣點(diǎn)數(shù)的討論結(jié)果也在仿真示例中得到了充分的驗(yàn)證。

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WU Jin-mei was born in Yangzhou，Jiangsu Province，in 1983.She received the M.S.degree from National University of Defense Technology in 2008.She is now an engineer.Her research concerns data processing，computer software and its applications.

Email:wjm-83＠yahoo.com.cn

胡上成（1985—），男，江西高安人，2006年于武漢大學(xué)獲學(xué)士學(xué)位，現(xiàn)為工程師，主要從事數(shù)據(jù)處理、計(jì)算機(jī)軟件及其應(yīng)用方面的研究；

HU Shang-cheng was born in Gao′an，Jiangxi Province，in 1985.He received the B.S.degree from Wuhan University in 2006.He is now an engineer.His research concerns data processing，computer software and its applications.

凌曉冬（1978—），男，江蘇揚(yáng)州人，2009年于國(guó)防科技大學(xué)獲博士學(xué)位，現(xiàn)為工程師，主要從事數(shù)據(jù)處理、資源調(diào)度、試驗(yàn)評(píng)估等方面的研究。

LING Xiao-dong was born in Yangzhou，Jiangsu Province，in 1978.He received the Ph.D.degree from National University ofDefense Technology in 2009.He is now an engineer.His research concerns data processing，resource scheduling，testevaluation，etc.

Email:lxd-78＠yahoo.com.cn

Application of Polynomial Fitting in Real-time Compressing Algorithm for Outer-trajectory Measurement Data of TT＆C Ship-borne Equipment

WU Jin-mei，HU Shang-cheng，LINGXiao-dong
（China Satellite Maritime Tracking and Control Department，Jiangyin 214431，China）

In order to save storage space and improve transport efficiency from huge of dynamic data of TT＆C ship-borne trajectorymeasurement equipment，the ship-borne central computermust reprocess and compress the data.An algorithm based on polynomial fitting for real-time trajectory data compression is proposed in this paper.A seriesoforthogonal polynomialbasis are presented and the smoother formula ofoutputpointwith the least square filtering is applied.When the truncation error and random error are considered simultaneously，the best filter is obtained.Computational results show the novel algorithm is a promised compression and noise filtering method.

space TT＆C ship；outer-trajectory measurement data；polynomial fitting；data compressing；noise filtering

V557；TP274

A

10.3969／j.issn.1001-893x.2011.12.014

吳金美（1983—），女，江蘇揚(yáng)州人，2008年于國(guó)防科技大學(xué)獲碩士學(xué)位，現(xiàn)為工程師，主要從事數(shù)據(jù)處理、計(jì)算機(jī)軟件及其應(yīng)用方面的研究；

1001-893X（2011）12-0068-06

2011-06-20；

2011-09-28