有限差分波動(dòng)方程偏移波場(chǎng)特征定量分析

（成都理工大學(xué)地球物理學(xué)院，四川 成都610059）

有限差分波動(dòng)方程偏移以波動(dòng)方程式的數(shù)值解為基礎(chǔ)，在速度變化比較平緩的情況下，能使繞射波、彎曲界面上的回轉(zhuǎn)波和陡傾界面或斷層面上的反射波收斂到正確位置，有助于提高解釋的有效性與可靠性。該方法最初由J.F.Claerbout在70年代提出，他首先完成了15°有限差分偏移[1]。此后，有限差分偏移技術(shù)發(fā)展迅速，出現(xiàn)了很多能實(shí)現(xiàn)大傾角地層偏移的差分方法[2]。馬在田提出的高階有限差分偏移和張關(guān)泉提出的低階大傾角有限差分偏移等都是該領(lǐng)域中有代表性的研究成果[3]。但是，應(yīng)用有限差分偏移處理時(shí)，通常無(wú)法避免同相軸出現(xiàn)頻散及振幅能量隨傾角的增大而逐漸變化的現(xiàn)象，即波形畸變。因?yàn)樵趯?shí)際波場(chǎng)成像過(guò)程中，波的動(dòng)力學(xué)參數(shù)是隨傾角變化的，改變各偏移處理參數(shù)也無(wú)法避免這種變化，從而導(dǎo)致偏移剖面各傾角成像波場(chǎng)的特征不同，這對(duì)構(gòu)造解釋影響不大，但在提取地震波動(dòng)力學(xué)參數(shù)進(jìn)行儲(chǔ)層研究時(shí)，這種影響就要引起足夠的重視，否則會(huì)在解釋時(shí)無(wú)法正確判別參數(shù)的可靠性。針對(duì)上述情況，筆者在前人研究的基礎(chǔ)上，通過(guò)點(diǎn)脈沖模型有限差分波動(dòng)方程偏移處理，定量分析偏移后各傾角波場(chǎng)主振幅、頻率和相位等參數(shù)的相對(duì)變化特征，討論了這種變化對(duì)波場(chǎng)的影響程度。

1 有限差分波動(dòng)方程偏移原理

Claerbout[4]提出的有限差分波動(dòng)方程偏移針對(duì)水平疊加時(shí)間剖面，這種剖面根據(jù)爆炸反射界面模型，可以認(rèn)為是位于地下反射界面上的炮點(diǎn)零時(shí)刻產(chǎn)生的脈沖波，沿界面的法向以半速度上行到地面被記錄到的上行波P（x，z＝0，t）。這樣，地下任意一點(diǎn)任意時(shí)刻的波場(chǎng)P（x，z，t）都可以認(rèn)為是上行波，都服從半速度的上行波方程。目前，在實(shí)際應(yīng)用中較廣泛的是45°的上行波方程，即：

式中，P表示波場(chǎng)函數(shù)；V表示地震波速度；t表示地震波旅行時(shí)間；z表示時(shí)間深度；x表示炮檢距。

地面z＝0時(shí)的波場(chǎng)即為水平疊加剖面：

對(duì)于x方向，假定勘探區(qū)間離2個(gè)端點(diǎn)很遠(yuǎn)，2個(gè)端點(diǎn)接收到的反射波非常微弱，即可認(rèn)為在2個(gè)端點(diǎn)波場(chǎng)為0。由于波在傳播過(guò)程中能量逐漸衰減，因而當(dāng)時(shí)間足夠大時(shí)，波場(chǎng)也為0。利用上述邊界條件和初始條件以及已知的水平疊加剖面和上行波方程，即可求出地下反射界面P（x，z，t＝0）。

2 點(diǎn)脈沖模型偏移試驗(yàn)

筆者使用的點(diǎn)脈沖子波模型共256道，每道256個(gè)采樣點(diǎn)，道間隔為20m，采樣時(shí)間間隔為0.004s，子波采用零相位子波。圖1和圖2分別為淺層點(diǎn)脈沖子波模型在速度為6000m／s時(shí)和4000m／s時(shí)的偏移響應(yīng)。比較2圖可以看出，兩者有著共同之處，即在半圓的底部以及靠近半圓底部的部分，其振幅較大，頻率高，可以清楚地看出界面的同相軸位置；而越接近半圓的兩側(cè)，其振幅越小，頻率逐漸降低，波形受到拉伸，而且頻散現(xiàn)象嚴(yán)重，很難確定界面的同相軸正確位置。兩者的差異在于，速度為4000m／s的偏移響應(yīng)半徑較小，而速度為6000m／s的偏移響應(yīng)半徑較大，且在傾角較大時(shí)才出現(xiàn)較為嚴(yán)重的頻散現(xiàn)象。

圖1 速度為6000m／s時(shí)的淺層偏移響應(yīng)

圖2 速度為4000m／s時(shí)的淺層偏移響應(yīng)

圖3 速度為6000m／s時(shí)的深層偏移響應(yīng)

圖4 速度為4000m／s時(shí)的深層偏移響應(yīng)

圖3和圖4分別為深層點(diǎn)脈沖子波模型在速度為6000m／s和4000m／s時(shí)的偏移響應(yīng)。比較2圖可以看出，兩者的異同點(diǎn)和淺層點(diǎn)脈沖子波模型情況類似。在同一速度條件下，深層偏移響應(yīng)的半徑較淺層偏移響應(yīng)的半徑大，深層的偏移響應(yīng)同樣在其半圓的底部以及靠近半圓底部的部分振幅較大，頻率高，可以清楚識(shí)別出界面的同相軸位置；而越接近半圓兩側(cè)的部分，振幅越小，頻率逐漸降低，波形受到拉伸，而且頻散現(xiàn)象也很嚴(yán)重，同樣很難確定其真實(shí)地層界面的位置。

3 波場(chǎng)參數(shù)分析

在圖1、圖2、圖3和圖4的偏移剖面中，分別截取以各道波形最大值為中心的64個(gè)采樣點(diǎn)作為提取波形參數(shù)的窗口數(shù)據(jù)，再通過(guò)窗口數(shù)據(jù)提取各剖面的振幅譜和相位譜。在振幅譜中，求出各道的總能量eT、最大能量值em及其所對(duì)應(yīng)的頻率，即主頻fm。在相位譜中，找出主頻所對(duì)應(yīng)的相位φ。最后在各剖面中，將非零傾角道的上述4個(gè)參數(shù)與零傾角道對(duì)應(yīng)的這4個(gè)參數(shù)求差，分別得到各剖面非零傾角道與零傾角道的最大能量值之差Δem、總能量之差ΔeT、主頻之差Δfm和主頻相位之差Δφ。

如果將各剖面中的零傾角道作為無(wú)波形畸變的道，那么，為了確定點(diǎn)脈沖子波模型經(jīng)過(guò)偏移后波場(chǎng)的有效傾角范圍，可以用非零傾角道與零傾角道的對(duì)應(yīng)參數(shù)之差比去零傾角道的對(duì)應(yīng)參數(shù)，從而得到能反映各非零傾角道畸變程度大小的4個(gè)比值，即Δem／em、ΔeT／eT、Δfm／fm和Δφ／φ。若上述比值都小于0.618，說(shuō)明該非零傾角道的畸變?cè)诳山邮芊秶鷥?nèi)，可以真實(shí)反映反射界面；若出現(xiàn)大于0.618的比值，則說(shuō)明該非零傾角道的畸變超過(guò)可接受范圍，無(wú)法反映真實(shí)反射界面。最后，在各剖面中找出上述比值均小于0.618且傾角最大的道，該道所對(duì)應(yīng)的傾角即為波場(chǎng)的最大有效傾角，從而確定出波場(chǎng)的有效傾角范圍。

表1所示是速度為4000m／s時(shí)淺層點(diǎn)脈沖子波模型經(jīng)過(guò)偏移后的波場(chǎng)，在傾角不超過(guò)29°時(shí)，各道的Δem／em、ΔeT／eT、Δfm／fm和Δφ／φ的比值均小于0.618，畸變程度在可接受范圍內(nèi)；當(dāng)傾角達(dá)到30°或31°時(shí)，Δem／em、ΔeT／eT和Δfm／fm的比值依然小于0.618，但比值Δφ／φ分別達(dá)到了0.951和1.01，超過(guò)了可接受范圍，因而這2個(gè)角度所對(duì)應(yīng)道無(wú)法反映真實(shí)反射界面波場(chǎng)。淺層波場(chǎng)各傾角參數(shù)曲線如圖5（a）所示。從圖5（a）可以看出，當(dāng)傾角超過(guò)31°且繼續(xù)增大時(shí)，上述4個(gè)比值也繼續(xù)逐漸增大，畸變?cè)絹?lái)越嚴(yán)重。此外，相位在傾角超過(guò)10°后，成為4個(gè)參數(shù)中畸變最嚴(yán)重的一個(gè)參數(shù)；頻率在傾角不超過(guò)39°時(shí)，一直保持較小的畸變程度，其畸變程度遠(yuǎn)小于其他3個(gè)參數(shù)，當(dāng)傾角超過(guò)39°時(shí)，其畸變程度陡然增大；最大能量和總能量隨傾角變化而發(fā)生的畸變程度較為接近，當(dāng)傾角小于31°時(shí)，兩者畸變程度較小，當(dāng)傾角超過(guò)31°時(shí)，兩者的畸變程度迅速增大。

表2所示是速度為6000m／s時(shí)淺層點(diǎn)脈沖子波模型經(jīng)過(guò)偏移后的波場(chǎng)，在傾角不超過(guò)37°時(shí)，各道的Δem／em、ΔeT／eT、Δfm／fm和Δφ／φ的比值均小于0.618，畸變程度在可接受范圍內(nèi)；當(dāng)傾角達(dá)到38°或39°時(shí)，Δem／em和Δfm／fm的比值依然小于0.618，但比值ΔeT／eT和Δφ／φ超過(guò)了可接受范圍，因此這2個(gè)角度所對(duì)應(yīng)的道無(wú)法反映真實(shí)的反射界面。當(dāng)傾角超過(guò)39°繼續(xù)增大時(shí)，上述4個(gè)比值也繼續(xù)逐漸增大，畸變?cè)絹?lái)越嚴(yán)重(見(jiàn)圖5（b））。

表1 淺層波場(chǎng)各傾角參數(shù)值(4000m／s）

表2 淺層波場(chǎng)各傾角參數(shù)值(6000m／s）

綜上所述，對(duì)淺層點(diǎn)脈沖子波模型進(jìn)行波動(dòng)方程有限差分偏移后，當(dāng)速度為4000m／s時(shí)，其響應(yīng)波場(chǎng)在29°傾角范圍內(nèi)是有效的；傾角超過(guò)29°的波場(chǎng)由于其畸變程度超出可接受范圍，從而無(wú)法作為判斷真實(shí)反射界面的依據(jù)。當(dāng)速度為6000m／s時(shí)，其響應(yīng)波場(chǎng)在37°傾角范圍內(nèi)是有效的；傾角超過(guò)37°的波場(chǎng)由于其畸變程度超出可接受范圍，從而無(wú)法作為判斷真實(shí)反射界面的依據(jù)。

表3所示是速度為4000m／s時(shí)深層點(diǎn)脈沖子波模型經(jīng)過(guò)偏移后的波場(chǎng)，在傾角不超過(guò)32°時(shí)，各道的Δem／em、ΔeT／eT、Δfm／fm和Δφ／φ的比值均小于0.618，畸變程度在可接受范圍內(nèi)；當(dāng)傾角達(dá)到33°時(shí)，Δem／em、ΔeT／eT和Δfm／fm的比值依然小于0.618，但比值Δφ／φ卻超過(guò)了可接受范圍，因此該角度所對(duì)應(yīng)的道無(wú)法反映真實(shí)的反射界面。當(dāng)傾角超過(guò)33°繼續(xù)增大時(shí)，上述4個(gè)比值也繼續(xù)逐漸增大，畸變也越來(lái)越嚴(yán)重。從整體上看，深層波場(chǎng)4個(gè)參數(shù)之間的相對(duì)畸變程度與淺層波場(chǎng)的類似，與淺層波場(chǎng)曲線不同的是，深層波場(chǎng)在傾角接近40°時(shí)，其最大能量和總能量的畸變程度較大(見(jiàn)圖6（a））。

圖5 淺層波場(chǎng)各傾角參數(shù)曲線

表4所示是速度為6000m／s時(shí)深層點(diǎn)脈沖子波模型經(jīng)過(guò)偏移后的波場(chǎng)，在傾角不超過(guò)40°時(shí)，各道的Δem／em、ΔeT／eT、Δfm／fm和Δφ／φ的比值均小于0.618，畸變程度在可接受范圍內(nèi)；當(dāng)傾角達(dá)到41°時(shí)，Δem／em和Δfm／fm的比值依然小于0.618，但比值ΔeT／eT和Δφ／φ超過(guò)了可接受范圍，因此這2個(gè)角度所對(duì)應(yīng)的道無(wú)法反映真實(shí)的反射界面。當(dāng)傾角達(dá)到42°時(shí)，Δem／em、ΔeT／eT和Δφ／φ的比值都超過(guò)了可接受范圍，因此該角度所對(duì)應(yīng)的道也無(wú)法反映真實(shí)的反射界面。當(dāng)傾角在30°至40°之間時(shí)，總能量和相位一直保持相近的畸變程度；當(dāng)傾角超過(guò)40°時(shí)，兩者的畸變程度又迅速增大(見(jiàn)圖6（b））。

表3 深層波場(chǎng)各傾角參數(shù)值(4000m／s）

表4 深層波場(chǎng)各傾角參數(shù)值(6000m／s）

圖6 深層波場(chǎng)各傾角參數(shù)曲線

綜上所述，對(duì)點(diǎn)脈沖子波模型進(jìn)行有限差分波動(dòng)方程偏移后，當(dāng)速度為4000m／s時(shí)，其深層波場(chǎng)在32°傾角范圍內(nèi)是有效的；傾角超過(guò)32°的波場(chǎng)由于其畸變程度超出可接受范圍，從而無(wú)法作為判斷真實(shí)反射界面的依據(jù)。當(dāng)速度為6000m／s時(shí)，其深層波場(chǎng)在40°傾角范圍內(nèi)是有效的；傾角超過(guò)40°的波場(chǎng)由于其畸變程度超出可接受范圍，從而無(wú)法作為判斷真實(shí)反射界面的依據(jù)。

4 結(jié) 語(yǔ)

利用45°有限差分波動(dòng)方程偏移對(duì)不同深度點(diǎn)脈沖子波模型進(jìn)行試驗(yàn)處理，通過(guò)分析點(diǎn)脈沖子波模型偏移后的各波場(chǎng)參數(shù)，得到上述參數(shù)的有效傾角范圍。當(dāng)速度較低(約4000m／s）時(shí)，偏移后得到的淺層響應(yīng)波場(chǎng)在29°傾角范圍內(nèi)是有效的；深層響應(yīng)波場(chǎng)在32°傾角范圍內(nèi)是有效的。當(dāng)速度較高(約6000m／s）時(shí)，偏移后得到的淺層響應(yīng)波場(chǎng)在37°傾角范圍內(nèi)是有效的；深層響應(yīng)波場(chǎng)在40°傾角范圍內(nèi)是有效的。研究結(jié)果表明，45°有限差分波動(dòng)方程偏移對(duì)不同速度和不同深度波場(chǎng)影響的程度不同，當(dāng)對(duì)疊加剖面進(jìn)行大傾角偏移處理時(shí)，高角度、淺層和高速度偏移處理波場(chǎng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)對(duì)儲(chǔ)層預(yù)測(cè)的影響都是不可忽略的。筆者只進(jìn)行了45°有限差分波動(dòng)方程偏移波場(chǎng)特征的試驗(yàn)分析，對(duì)其他偏移成像處理方法這種波場(chǎng)的變化同樣存在，因此各種偏移方法與各傾角、速度、深度及其他參數(shù)對(duì)波場(chǎng)成像精度的影響仍然有待進(jìn)一步研究。

[1]張關(guān)泉 .Claerbout方程差分格式的能量估計(jì)與穩(wěn)定性 [J].數(shù)值計(jì)算與計(jì)算機(jī)應(yīng)用，1986，7（4）：193-194.

[2]金孟哲 .波動(dòng)方程快速差分偏移方法 [J].石油地球物理勘探，1986，21（5）：477-485.

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[4]賀振華 .反射地震資料的偏移處理與反演方法 [M].重慶：重慶大學(xué)出版社，1989.