GM(1，1)與自回歸模型在位移監(jiān)測(cè)中的應(yīng)用

趙言，花向紅，翟高鵬

(1.武漢大學(xué)測(cè)繪學(xué)院，湖北武漢 430079； 2.武漢大學(xué)災(zāi)害監(jiān)測(cè)與防治研究中心，湖北武漢 430079)

GM(1，1)與自回歸模型在位移監(jiān)測(cè)中的應(yīng)用

趙言1，2?，花向紅1，2，翟高鵬1，2

(1.武漢大學(xué)測(cè)繪學(xué)院，湖北武漢 430079； 2.武漢大學(xué)災(zāi)害監(jiān)測(cè)與防治研究中心，湖北武漢 430079)

通過(guò)分析建筑物位移監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，采用GM(1，1)和自回歸模型對(duì)建筑物位移監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，實(shí)現(xiàn)了兩種數(shù)據(jù)處理模型的建模過(guò)程，并用于建筑物位移變化量的實(shí)際預(yù)測(cè)，驗(yàn)證了模型的可行性。

GM(1，1)；自回歸模型；建筑物位移；變形預(yù)報(bào)

目前，在建筑物位移監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)處理中，能夠進(jìn)行數(shù)據(jù)處理的方法有很多種，如灰色關(guān)聯(lián)分析法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法、曲線擬合法等，但這些方法對(duì)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)都有一定的限制要求，如果條件不符，則會(huì)在預(yù)報(bào)分析中產(chǎn)生較大的誤差。針對(duì)這種情況，根據(jù)建筑物位移監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，將GM(1，1)和自回歸模型引入建筑物位移監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)處理中，通過(guò)對(duì)某大壩建筑物位移監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的計(jì)算分析，驗(yàn)證其可行性與有效性。

1 GM(1，1)與自回歸模型

1.1 GM(1，1)模型

GM(1，1)模型法作為最常用、最簡(jiǎn)單的一種灰色模型，是由一個(gè)只包含單變量的微分方程構(gòu)成的模型，由于具有所需數(shù)據(jù)少、計(jì)算量小的優(yōu)點(diǎn)而得到了廣泛的應(yīng)用。具體建模過(guò)程的步驟如下:

(1)設(shè)有n個(gè)非負(fù)原始觀測(cè)數(shù)據(jù)序列:

一次累加序列:

(2)利用X(1)構(gòu)造新序列:

其中:z(1)(k)＝0.5[x(1)(k)＋x(1)(k－1)]，k＝2，3，…，n

(3)建立灰色GM(1，1)模型的一級(jí)白化微分方程:dx(1)(t)/dt＋ax(1)(t)＝b，式中，a是用來(lái)控制模型模擬發(fā)展態(tài)勢(shì)的大小，稱為發(fā)展系數(shù)；b用來(lái)反映觀測(cè)資料變化的關(guān)系，稱為灰色作用量；

(4)根據(jù)最小二乘原理，灰色GM(1，1)模型的參數(shù)列為:

(5)將計(jì)算求出的參數(shù)a，b代入微分方程式，取x(0)(1)為初始條件，那么可以得到X(1)的時(shí)間響應(yīng)函數(shù):

對(duì)式(1)作一階累減計(jì)算，則可以得到原始序列X(0)的還原值:

當(dāng)k≤n時(shí)，所得式(2)的值為原始數(shù)據(jù)的擬合值，當(dāng)k＞n時(shí)，所得數(shù)值為預(yù)測(cè)值。

1.2 自回歸模型

自回歸模型所要研究的是一組隨時(shí)間變化而相互關(guān)聯(lián)的平穩(wěn)數(shù)據(jù)序列，在數(shù)據(jù)序列中，不同時(shí)刻的數(shù)據(jù)彼此間具有一定的相關(guān)性。因此，自回歸擬合模型是依據(jù)已知樣本值x1，x2，…，xn，通過(guò)一系列的分析步驟對(duì)AR(n)模型做出估計(jì)，利用包括現(xiàn)在和以前的所有監(jiān)測(cè)資料，對(duì)未來(lái)時(shí)刻的可能值進(jìn)行預(yù)測(cè)。下面主要介紹一種建立自回歸模型的較好方法。

假設(shè){xt}是一個(gè)平穩(wěn)數(shù)據(jù)序列，已有的測(cè)量觀測(cè)值為x1，x2，…xt，未來(lái)(t＋l)時(shí)刻的變化量為xt＋l，將其預(yù)測(cè)值記為(l)，即從t時(shí)刻開(kāi)始向前l(fā)步進(jìn)行預(yù)測(cè)。根據(jù)最小二乘原理，有:E[xt＋l－(l)]2＝min，即，使預(yù)測(cè)誤差的方差最小，則稱(l)為xt＋l的最佳估值。具體建模過(guò)程見(jiàn)參考文獻(xiàn)[1]。

2 實(shí)驗(yàn)分析

針對(duì)以上兩種模型建模原理，利用對(duì)某大壩建筑物一個(gè)位移監(jiān)測(cè)點(diǎn)監(jiān)測(cè)獲取的20期監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，具體如表1所示:(T為觀測(cè)周期，X，Y，Z分別為水平和數(shù)值方向上的初始位移觀測(cè)值)

齊海峰想先試試也行，李紅倒是很認(rèn)真。沒(méi)過(guò)幾天，菜站從上到下，包括領(lǐng)導(dǎo)都知道他們倆的關(guān)系了。齊海峰敢甩掉李紅，那就是玩弄人家情感的不良青年。

大壩位移監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù) 表1

通過(guò)數(shù)據(jù)建模分析運(yùn)算，得到以下模型公式:

自回歸模型(取自回歸參數(shù)個(gè)數(shù)為10，t＞9):

根據(jù)已建立的GM(1，1)模型和自回歸模型公式(3)(4)(5)、(6)(7)(8)，對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，結(jié)果如表2所示。(T為觀測(cè)周期，X，Y，Z分別為水平和數(shù)值方向上的初始位移觀測(cè)值，X1，Y1，Z1為GM(1，1)擬合值，X2，Y2，Z2為自回歸模型擬合值)

位移觀測(cè)值與擬合值比較 表2

根據(jù)表2中位移變化量擬合的情況，對(duì)于GM(1，1)模型經(jīng)計(jì)算可知:X坐標(biāo)擬合模型殘差平方和為0.041 9，中誤差為0.2046，Y坐標(biāo)擬合模型殘差平方和為0.217 4，中誤差為0.466 3，Z坐標(biāo)擬合模型殘差平方和為0.068 7，中誤差為0.262 3。GM(1，1)預(yù)測(cè)模型對(duì)建筑物位移監(jiān)測(cè)三維數(shù)據(jù)的擬合效果如圖1、圖2、圖3所示。

圖1 GM(1，1)模型X方向擬合效果

圖2 GM(1，1)模型Y方向擬合效果

圖3 GM(1，1)模型Z方向擬合效果

從圖1、圖2和圖3中可以看出，GM(1，1)模型擬合曲線呈現(xiàn)出遞減(或遞增)的趨勢(shì)，這是由模型指數(shù)化形式?jīng)Q定的，對(duì)于波動(dòng)性較大的位移數(shù)據(jù)(圖1中X坐標(biāo)觀測(cè)值)擬合效果不好，階段性的位移增加或減少不能再預(yù)測(cè)模型中反映出來(lái)。因此，在本例中采用GM(1，1)模型處理所選的位移數(shù)據(jù)效果不好，在用該模型處理類似監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)時(shí)，要注意監(jiān)測(cè)變化量的總體變化趨勢(shì)，以求獲得較好的數(shù)據(jù)處理結(jié)果。

根據(jù)建立的GM(1，1)模型預(yù)測(cè)后三期的地表位移變化值，如表3所示。(T為觀測(cè)周期，X、Y、Z為觀測(cè)值，X1、Y1、Z1分別為X、Y、Z觀測(cè)值的預(yù)測(cè)值)

位移觀測(cè)值與模型預(yù)測(cè)值 表3

從表3中可以看出，X位移變化呈階段性遞減，而預(yù)測(cè)值則呈現(xiàn)總體遞增的趨勢(shì)，與實(shí)際變化情況有出入；Y和Z位移方向的位移實(shí)際變化情況和預(yù)測(cè)趨勢(shì)大體相同，具有一定的精度。在未來(lái)三期(21期、22期和23期)預(yù)測(cè)值中，根據(jù)位移殘差公式:，可計(jì)算第21期位移變化量為10.454 mm，預(yù)測(cè)殘差為0.180 mm，誤差比為1.72%；第22期位移變化量為10.769 mm，預(yù)測(cè)殘差為0.238 mm，誤差比為2.21%；第23期位移變化量為11.073，預(yù)測(cè)殘差為0.465 mm，誤差比為4.20%。

根據(jù)表2中位移變化量擬合的情況，對(duì)于自回歸模型經(jīng)計(jì)算可知:X坐標(biāo)擬合模型殘差平方和為1.772E－06，中誤差為1.330E－03，Y坐標(biāo)擬合模型殘差平方和為1.268E－06，中誤差為1.126E－03，Z坐標(biāo)擬合模型殘差平方和為1.184E－06，中誤差為1.088E－03。自回歸預(yù)測(cè)模型對(duì)建筑物位移監(jiān)測(cè)三維數(shù)據(jù)的擬合效果如圖4、圖5、圖6所示。

圖4 自回歸模型X方向的擬合效果

圖5 自回歸模型Y方向的擬合效果

圖6 自回歸模型Z方向的擬合效果

位移觀測(cè)值與模型預(yù)測(cè)值 表4

從表4中可以看出，在未來(lái)三期(21期、22期和23期)預(yù)測(cè)值中，根據(jù)位移殘差公式:可計(jì)算第21期位移變化量為10.454 mm，預(yù)測(cè)殘差為0.044 mm，誤差比為0.42%；第22期位移變化量為10.769 mm，預(yù)測(cè)殘差為0.115 mm，誤差比為1.06%；第23期位移變化量為11.073，預(yù)測(cè)殘差為0.256 mm，誤差比為2.31%。

3 結(jié) 語(yǔ)

通過(guò)對(duì)建筑物位移監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)處理方法的研究，采用GM(1，1)模型和自回歸模型對(duì)位移監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，根據(jù)建立的模型對(duì)具體建筑物的監(jiān)測(cè)點(diǎn)的位移變化量進(jìn)行預(yù)報(bào)。經(jīng)過(guò)計(jì)算分析，根據(jù)位移量之間變化的關(guān)系而建立的自回歸預(yù)測(cè)模型具備較高的擬合及預(yù)測(cè)精度，而GM(1，1)模型由于受到自身指數(shù)化形式的限制，只能模擬總體呈遞增或遞減趨勢(shì)的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，無(wú)法滿足波動(dòng)性較大的位移監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)處理的要求。因此，本文選擇自回歸分析法作為處理建筑物位移監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的主要模型。

[1] 黃聲享，尹暉，蔣征.變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)處理[M].武漢:武漢大學(xué)出版社，2007

[2] 王佳璆.時(shí)空序列數(shù)據(jù)分析建模[D].廣州:中山大學(xué)碩士學(xué)位論文，2008

[3] 曾超，肖鋒，唐仲華.應(yīng)用灰色(G，M)預(yù)測(cè)軟土路基沉降量[J].安全與環(huán)境工程，2002，9(1):17～19

[4] 金彪，吳北平，李艷芳.曲線擬合與自回歸模型在地鐵變形監(jiān)測(cè)中的運(yùn)用[J].地礦測(cè)繪，2009，25(1):35～37

[5] 王堅(jiān)，岳廣余，孟凡濤.GM(1，1)模型在沉降預(yù)報(bào)中的應(yīng)用[J].四川測(cè)繪，2003，26(2):79～81

Application of GM(1，1)Model and Auto Regression Model to Displacement Monitoring

Zhao Yan1，2?，Hua XiangHong1，2，Zhai GaoPeng1，2
(1.School of Geodesy and Geomatics，Wuhan University，Wuhan 430079，China；2.Hazard Monitoring and Prevention Research Center，Wuhan University，Wuhan 430079，China)

By analysing the characteristics of the building displacement monitoring data，GM(1，1)model and auto regression model were proposed and established separately to deal with building displacement monitoring data for the purpose of forecasting the possible values of the building displacement and verifying the feasibility of the models.

GM(1，1)；auto regression model；building displacement；deformation predicting

1672－8262(2010)03－115－04

TU196＋.4

B

2010—09—26

趙言(1988—)，男，碩士研究生，主要從事精密工程測(cè)量與工程變形監(jiān)測(cè)研究工作。