胡洋洋，程玉華

（電子科技大學(xué)自動(dòng)化工程學(xué)院，四川 成都 611731）

0 引 言

可控硅拼波調(diào)壓系統(tǒng)是以可控硅為控制對象，通過數(shù)字控制電路來完成電壓（功率）調(diào)節(jié)的電器設(shè)備[1]。相比斬波調(diào)壓方式，拼波調(diào)壓方式能有效地抑制諧波分量，控制精度高，功率因數(shù)高，極大地改善了系統(tǒng)效率。該文以基于TI公司定點(diǎn)DSP芯片TMS320F2812的可控硅調(diào)壓系統(tǒng)控制板作為實(shí)驗(yàn)平臺[2-3]，并結(jié)合系統(tǒng)中非線性方程的特點(diǎn)，使用IQmath庫函數(shù)設(shè)計(jì)出相應(yīng)基于二分法、弦截法和牛頓迭代法的算法[4]，并通過實(shí)驗(yàn)對3種算法進(jìn)行分析比較，最后確定牛頓迭代法作為系統(tǒng)中計(jì)算拼波角度的算法。

1 可控硅拼波調(diào)壓原理

通過變壓器副邊2個(gè)抽頭提供兩級電壓u1和u2，如圖1所示，其中u2>u1，每個(gè)電壓回路中的2個(gè)可控硅反向并聯(lián)，用于控制本級電壓的通斷。以電壓過零點(diǎn)作為可控硅觸發(fā)時(shí)基，以正半周為例，首先觸發(fā)Q3導(dǎo)通，此時(shí)由u1為負(fù)載提供電壓，當(dāng)導(dǎo)通角α?xí)r刻到來時(shí)，觸發(fā)Q1導(dǎo)通，同時(shí)Q3因?yàn)榉聪嚯妷憾詣?dòng)關(guān)斷，u2為負(fù)載提供電壓。負(fù)載上的拼波波形如圖2所示。

在電壓過零點(diǎn)后加入導(dǎo)通死區(qū)角度αD，以防止可控硅的共態(tài)導(dǎo)通，即在電壓過零點(diǎn)后αD對應(yīng)時(shí)刻小電壓u1導(dǎo)通。那么可以得到負(fù)載電壓有效值

α∈[αD，π]，其中 u1=U1sin（ωt），u2=U2sin（ω t），U1和U2為電壓有效值，可以得到拼波角度α和負(fù)載電壓有效值U0的方程為

由于導(dǎo)通角α和負(fù)載有效電壓值U0以及兩級拼波電壓有效值U1和U2存在定量的數(shù)值關(guān)系，需要找一種數(shù)值計(jì)算方法，由U0，U1，U2的值求解出導(dǎo)通角α。

令 x=2α， x∈[2αD，2π]

可得非線性方程

隨機(jī)選取幾個(gè) U0，U1，U2的值后利用 Matlab對f（x）作圖，可得式（4）的曲線族。如圖3所示，隨U0，U1，U2的變化，可得到不同的 f（x）曲線，可以看到方程f（x）=0有唯一解（圖中星號標(biāo)記處），并且曲線單調(diào)遞減。

需要根據(jù)變壓器抽頭的U1、U2和用戶設(shè)定電壓U0，設(shè)計(jì)出基于DSP的求解f（x）=K-x+sinx的算法，并對算法進(jìn)行比較驗(yàn)證。

2 求解非線性方程算法

2.1 二分法及相應(yīng)算法

若f是區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，且f（a）·f（b）＜0，則f在[a，b]內(nèi)必有1個(gè)零點(diǎn)。

由圖3曲線族可知在確定的1組U0，U1，U2下，f（x）=0有唯一解，而且f′（x）=cosx-1＜0，x∈[2αD，2π]。曲線f（x）單調(diào)遞減，即可以通過式（4）確定導(dǎo)通角α的值。

根據(jù)F2812 DSP和系統(tǒng)的非線性方程的特點(diǎn)，對二分法求解作如下處理：

（1）從圖3非線性曲線族可知，方程單調(diào)遞減，所以在判斷方程根的區(qū)間時(shí)，可由中值的符號來判斷。例如若f（c）＜0，則可判定f（x）在[a，c]內(nèi)有根；若f（c）＞0，則判定f（x）在[c，b]內(nèi)有根。減少復(fù)雜的三角函數(shù)乘法，可大大提高代碼的效率。

（2）以 c=a+（b-a）/2 代替 c=（a+b）/2 計(jì)算中點(diǎn) c。這是為了堅(jiān)持?jǐn)?shù)值計(jì)算中通用策略，即通過把1個(gè)小的修正項(xiàng)加到先前的近似值來計(jì)算1個(gè)量是最佳的。

假設(shè)可控硅調(diào)壓系統(tǒng)中導(dǎo)通角允許誤差為0.1°，由（180/0.1）=1 800＜211=2 048，所以可以知運(yùn)算最大步數(shù)可設(shè)為n=11。軟件具體實(shí)現(xiàn)的流程圖如圖4所示。

2.2 牛頓迭代法及相應(yīng)算法

牛頓迭代法是利用泰勒級數(shù)的前幾項(xiàng)去逼近求解實(shí)函數(shù)的零點(diǎn)，用某個(gè)固定公式反復(fù)校正根的近似值，使之逐步精確化，最后得到滿足精度要求的結(jié)果。

唯一性證明：從圖3的曲線族上可以看到方程f（x）=0有唯一解（圖中星號標(biāo)記處），即通過式（4）可以唯一確定α的值[5]。

算法求解的收斂性驗(yàn)證：

在經(jīng)過i+1次迭代計(jì)算后[6]，牛頓迭代公式誤差由式（5）得到

式中：ei+1和ei——第i+1次和第i次計(jì)算后的誤差。

圖4 二分法軟件流程圖

將式（6）代入式（5）后得到

x∈[2αD，2π]，再利用式（7）不難證明，存在 1 個(gè)正常數(shù) C，滿足式（8）：

式（8）的數(shù)學(xué)意義是：該設(shè)計(jì)中f（x）使用牛頓迭代公式的收斂速度至少是二階的。

牛頓迭代法初始迭代公式如下

設(shè)定的初始點(diǎn)為π/2。流程圖如圖5所示。

2.3 弦截法及相應(yīng)算法

弦截法是利用差商

替代式（9）中的f′（x），得到

計(jì)算開始時(shí)需要指定2個(gè)初始點(diǎn)，分別為π/2和π/4。

圖5 牛頓迭代法流程圖

3 硬件實(shí)驗(yàn)平臺

使用可控硅拼波調(diào)壓系統(tǒng)中的控制板作為實(shí)驗(yàn)板，其中DSP的工作頻率為130MHz，變壓器抽頭電壓分為 4檔：170V、66V、34V、25V。兩檔拼波電壓的選擇需要根據(jù)用戶設(shè)定電壓的大小去確定，即U1

實(shí)驗(yàn)方法：在CCS3.3開發(fā)環(huán)境下，利用IQmath庫函數(shù)編寫3種算法的程序，手動(dòng)輸入設(shè)定電壓值，分別計(jì)算拼波角度值。

需要記錄以下數(shù)據(jù)：

（1）根據(jù)芯片的2個(gè)GPIO口的電平變化[7]，使用示波器實(shí)測DSP完成3種算法分別所需要的時(shí)間。為了獲得更精確的單次計(jì)算時(shí)間，每次計(jì)算次數(shù)10 000次，準(zhǔn)確度為0.1°。

（2）設(shè)定1個(gè)全局變量，并且通過CCS中的Watch Window去查看記錄3種算法需要迭代的次數(shù)。

（3）分別記錄3種算法在不同的設(shè)定電壓值下計(jì)算出的拼波角度值。

圖6 二分法計(jì)算時(shí)間圖

圖7 弦截法計(jì)算時(shí)間圖

圖8 牛頓法計(jì)算時(shí)間圖

表1 3種方法不同電壓的計(jì)算時(shí)間

表2 3種方法不同電壓的迭代次數(shù)

表3 3種方法不同電壓的計(jì)算角度值

4 結(jié)果比較分析

當(dāng)設(shè)定電壓為80V時(shí)，通過示波器單次觸發(fā)記錄GPIO的電平變化，記錄相應(yīng)算法計(jì)算10000次的時(shí)間。圖6為二分法計(jì)算電平變化圖，可知計(jì)算時(shí)間為224ms；圖7為弦截法電平變化圖，可知計(jì)算時(shí)間為156ms；圖8為牛頓迭代法電平變化圖，可知計(jì)算時(shí)間為150ms。通過比較可知在計(jì)算設(shè)定電壓為80V時(shí)，牛頓迭代法最快，弦截法與之相差很少，而二分法計(jì)算速度最慢。

從表1和表2可以分析得知：

二分法單次計(jì)算時(shí)間可達(dá)34μs，為牛頓迭代法的2～3倍，但是二分法算法比較簡單，且總是收斂的。缺點(diǎn)是收斂太慢，計(jì)算次數(shù)多達(dá)11次，所以一般不單獨(dú)將其用于求根。

牛頓迭代法的收斂速度是2次，所以計(jì)算速度是最快的，隨著牛頓法的每次迭代，精度明顯倍增。在該系統(tǒng)中，一般迭代2～3次便可以得到符合精度要求的角度值。

弦截法的計(jì)算速度比牛頓法慢，但比二分法快。弦截法的收斂率是超線性的，免去了求解一階導(dǎo)函數(shù)的繁瑣，對于一階導(dǎo)數(shù)非常復(fù)雜的非線性方程，弦截法就非常有優(yōu)勢，但是每次計(jì)算需要指定2個(gè)初始值[8]。

從表3中3種方法不同電壓的計(jì)算角度值可知，3種方法均能計(jì)算出要求準(zhǔn)確度為0.1°的角度值。但是從牛頓法和弦截法的角度值可知，準(zhǔn)確度可以達(dá)到0.001°，這兩種方法用較少的迭代次數(shù)獲得了比二分法更高的精度。

5 結(jié)束語

該文介紹了可控硅拼波調(diào)壓系統(tǒng)中求解拼波角度的非線性方程的推導(dǎo)過程，以及求解非線性方程的3種算法的對比研究。其中式（4）的非線性方程是拼波控制的核心，可廣泛應(yīng)用于各種基于拼波理論的調(diào)壓（調(diào)功）系統(tǒng)中。由于該系統(tǒng)實(shí)時(shí)性較強(qiáng)，所以最終選擇牛頓迭代法。以牛頓迭代法作為求解非線性方程已經(jīng)應(yīng)用于實(shí)際的可控硅調(diào)壓系統(tǒng)中，整個(gè)系統(tǒng)工作期間電壓波形穩(wěn)定，且最后的功率因數(shù)在90%以上。

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