有限元-邊界法在光電目標(biāo)散射計(jì)算中的應(yīng)用

陳兆兵，郭 勁，林 森

（1.中國科學(xué)院長春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，吉林長春130033；2.中國人民解放軍裝甲兵技術(shù)學(xué)院，吉林長春130117）

有限元-邊界法在光電目標(biāo)散射計(jì)算中的應(yīng)用

陳兆兵1，郭 勁1，林 森2

（1.中國科學(xué)院長春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，吉林長春130033；2.中國人民解放軍裝甲兵技術(shù)學(xué)院，吉林長春130117）

為了解決三維目標(biāo)電磁散射計(jì)算中準(zhǔn)確性與有效性的矛盾，建立了有限元-邊界法的計(jì)算模型，對(duì)三維腔體目標(biāo)的電磁散射計(jì)算方法進(jìn)行了研究。首先，分析了針對(duì)三維電磁腔體目標(biāo)的電磁散射計(jì)算邊界積分方法，引入了矢量格林函數(shù)，利用麥克斯韋方程得到電磁場形式與三維腔體形式的關(guān)系，建立了三維開口腔體邊界模型；然后，結(jié)合光電目標(biāo)曲面建模方法及高階基函數(shù)的方法，建立了三維光電目標(biāo)的有限元泛函，完成了有限元-邊界法在三維腔體目標(biāo)電磁散射計(jì)算中的應(yīng)用；最后，進(jìn)行了實(shí)例驗(yàn)證。分析顯示，當(dāng)三維腔體內(nèi)部為空或?yàn)楦飨虍愋晕镔|(zhì)時(shí)，角度吻合非常理想，與傳統(tǒng)模式匹配法所得結(jié)果的吻合度達(dá)90％以上。結(jié)果表明，采用本方法對(duì)三維腔體目標(biāo)進(jìn)行電磁散射計(jì)算，準(zhǔn)確度、效率均有所提高。

光電目標(biāo)；電磁散射；有限元；邊界積分

1 引 言

三維光電復(fù)雜目標(biāo)電磁散射的計(jì)算一直是某些工程應(yīng)用中亟待解決的問題之一［1，2］。光電及電磁探測裝備在現(xiàn)代戰(zhàn)爭中具有不可或缺的地位，及時(shí)有效地對(duì)來襲導(dǎo)彈、飛機(jī)等目標(biāo)進(jìn)行探測、識(shí)別與跟蹤在未來戰(zhàn)爭中具有非常重要的意義。當(dāng)前的飛行裝置普遍采用隱身截面設(shè)計(jì)并覆有隱身涂層，隱身技術(shù)的應(yīng)用給光電探測增添了難度，隱身飛機(jī)的特殊截面設(shè)計(jì)也使其被敵方有效探測的概率大大降低，如何有效計(jì)算這些復(fù)雜三維形體光電目標(biāo)的電磁與光電散射截面已成為光電對(duì)抗及隱身與反隱身研究中的重要課題［3～6］。

電磁截面散射的計(jì)算主要有快速多極子方法，多層快速多極子方法，矩陣分解算法和阻抗矩陣小波稀疏化方法等［7～9］，這些算法在某種程度上滿足了電磁截面計(jì)算的需要，然而隨著隱身技術(shù)的進(jìn)一步發(fā)展，這些算法卻表現(xiàn)出極大的局限性。為了對(duì)隱身能力不斷增強(qiáng)的當(dāng)代飛行器進(jìn)行有效的探測與識(shí)別，一些綜合上述電磁散射截面計(jì)算方法的復(fù)合式方法相應(yīng)問世，其中結(jié)合有限元方法與邊界積分方法進(jìn)行計(jì)算就是一個(gè)重要的研究方向。這種方法的原理是在所探測與計(jì)算的三維目標(biāo)周圍引入具有虛構(gòu)性質(zhì)的邊界，其內(nèi)部采用有限元方法進(jìn)行計(jì)算，而外部則采用邊界積分中的矩量法進(jìn)行計(jì)算，邊界兩邊的場通過場的連續(xù)性耦合，生成一個(gè)內(nèi)部邊界的耦合方程組［10，11］。以往的研究中有限元-邊界方法主要用于求解外部場或無邊界場的問題，用于光電目標(biāo)中具有隱身特性的三維復(fù)雜目標(biāo)的電磁散射的計(jì)算并不多見，且實(shí)際應(yīng)用多集中于單一方法的運(yùn)用［12～15］。本文以復(fù)雜三維目標(biāo)的電磁散射計(jì)算為研究內(nèi)容，以有限元-邊界法為主要手段對(duì)復(fù)雜型三維腔體單元目標(biāo)的電磁散射進(jìn)行建模與計(jì)算，目的在于尋求一種求解效率高、求解精度好的復(fù)雜三維目標(biāo)電磁散射計(jì)算方法。本文首先對(duì)腔體目標(biāo)計(jì)算的一般方法與模型進(jìn)行了探討，然后應(yīng)用該方法對(duì)某實(shí)例進(jìn)行了計(jì)算，從而驗(yàn)證了理論的有效性。

2 電磁腔體有限元邊界積分

圖1 三維開口腔體邊界模型示意圖Fig.1 Sketch map of three-dimensional boundary mode

三維電磁腔體目標(biāo)的邊界積分分析是目標(biāo)散射分析與計(jì)算的前提。要對(duì)三維腔體目標(biāo)進(jìn)行精確的預(yù)估、電磁透射及耦合計(jì)算，首先需要對(duì)三維腔體目標(biāo)進(jìn)行合理的簡化與模型描述，然后對(duì)模型進(jìn)行分析與數(shù)學(xué)計(jì)算。在整個(gè)模型建立過程中三維腔體的內(nèi)部場用矢量有限元變分方程來計(jì)算，而電磁腔體的外部場則以邊界積分法來計(jì)算。在整個(gè)計(jì)算過程中，以有限元-邊界方法對(duì)任意激勵(lì)源作用下的無限大導(dǎo)電平面上的復(fù)雜三維開口腔體目標(biāo)的散射進(jìn)行了分析。圖1表示復(fù)雜三維開口腔體目標(biāo)的結(jié)構(gòu)，圖中的V假設(shè)為腔體內(nèi)部空間，V′假設(shè)為腔體外部空間，該腔體為兩端開口結(jié)構(gòu)，其側(cè)面為無限大的接地空間。

圖1所示的三維腔體目標(biāo)具有兩端開口的性質(zhì)，在電磁計(jì)算中要用到的介電常數(shù)有各向同性和各向異性之分。為了使計(jì)算模型具有一定的代表性，文中假設(shè)腔體內(nèi)部的介質(zhì)具有各向異性的特點(diǎn)，式（1）和式（2）分別為腔體內(nèi)部介質(zhì)的介電常數(shù)和相對(duì)磁導(dǎo)率的表達(dá)式。計(jì)算三維腔體外部無限大空間的電磁場需要滿足一定的條件，其中最為重要的條件之一便是式（3）所示的矢量波動(dòng)方程。

式中J（r）為作Δ用于腔體產(chǎn)生入射場的任意激勵(lì)源，E為場強(qiáng)， 為旋度，κ0，z0為相應(yīng)的系數(shù)。矢量格林函數(shù)是求解三維腔體電磁輻射的基本工具，在引入該函數(shù)的過程中需要注意該函數(shù)式必須滿足一定的非齊次微分方程，本文將引入的矢量格林函數(shù)與式（3）進(jìn)行點(diǎn)乘，同時(shí)在三維腔體的外部空間進(jìn)行積分運(yùn)算。而腔體的外部空間的場強(qiáng)函數(shù)表達(dá)式可以通過應(yīng)用矢量格林函數(shù)恒等式來求解。在計(jì)算過程中，為了達(dá)到簡化目標(biāo)的目的，假設(shè)了場源被限制在有限的空間內(nèi)，并且沿著半球面以及三維腔體中切向電場方向（除掉該腔體兩開口以外）各個(gè)部分的積分均為零。在這種情況下，該類型的三維腔體的場強(qiáng)形式可以簡化為式（4）所示的形式，該式中為典型半空間矢格林函數(shù)，s0為開口的平面區(qū)域。場強(qiáng)的最終形式可以通過將進(jìn)行求解后帶入式（4）來得到，將該場強(qiáng)的最終形式的函數(shù)式兩側(cè)分別取旋度，可以利用麥克斯韋方程得到電磁場形式與三維腔體形式的關(guān)系。而三維腔體開口處的電磁場求解是腔體目標(biāo)電磁散射求解的關(guān)鍵之一，此處的電場與磁場關(guān)系可以通過將上述關(guān)系式進(jìn)行z方向的取零準(zhǔn)確獲得，該關(guān)系式用式（5）表示。

式中Hinc為入射磁場，V′為含有電流源J的積分區(qū)域，S為包圍V′的面積。

3 三維目標(biāo)有限元泛函建立

獲得電磁場求解的基本公式后需要建立三維腔體目標(biāo)的有限元泛函。在模型建立過程中，首先定義腔體內(nèi)部為各向異性填充體；其次需要滿足式（6）所示的波動(dòng)方程。三維腔體電磁場計(jì)算的有限元邊界條件有兩個(gè)，分別為計(jì)算腔體內(nèi)部電磁場的形式（如式（7）所示）和計(jì)算腔體兩端開口處電磁場的形式（如式（8）所示）。

將式（5）代入式（8）可以獲得三維腔體開口處電磁計(jì)算的有限元邊界條件的精確表達(dá)式。依據(jù)變分不等式理論將上述式（6）～（8）進(jìn)行變分。為了對(duì)泛函F進(jìn)行離散，可以將腔體所在的區(qū)域分為M個(gè)六面體單元（非開口處），開口處剖分為Ms個(gè)矩形單元。這樣可以得到總體的三維腔體目標(biāo)電磁散射計(jì)算有限元泛函，如式（9）所示。對(duì)式（9）進(jìn)行求和，并采用全局編號(hào)的形式代替上述建模中采用的局部棱邊編號(hào)，進(jìn)而得到式（10）所示的泛函簡化式。

式中M為有限元單元函數(shù)，Ms為腔體開口部分三角形單元函數(shù)，κ是Ge在S0上的積分，P為稠密矩陣.

對(duì)原棱邊的電場表示函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)計(jì)算，并設(shè)其偏導(dǎo)數(shù)為零，便可得到三維腔體電磁散射計(jì)算有限元泛函的線性方程組，如式（11）所示，其中A=K+P。

式（11）所示的線性方程組可以通過多波前法進(jìn)行求解，從而得到上述形式的三維開口腔體的內(nèi)部電磁場值，在求解過程中需要通過邊界條件來限制，以保證使腔體內(nèi)壁上的棱邊場為零。這樣就可以做到無論在何種激振源的激勵(lì)下，三維腔體內(nèi)部諸元素均可通過三點(diǎn)-高斯積分計(jì)算獲得。

4 有限元-邊界法的實(shí)例應(yīng)用

針對(duì)上述形式的三維腔體目標(biāo)的有限元泛函是否能精確計(jì)算其電磁散射進(jìn)行了實(shí)例分析和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，本文僅作實(shí)例仿真分析。在驗(yàn)證過程中，首先計(jì)算在平面波入射條件下三維開口腔體的雷達(dá)散射截面，同時(shí)計(jì)算產(chǎn)生入射場源離散射目標(biāo)的距離能夠在一個(gè)范圍時(shí)該三維開口腔體的散射。為了進(jìn)行對(duì)比，在驗(yàn)證過程中對(duì)腔體內(nèi)部為空和腔體內(nèi)部為各向異性材料兩種情況下的電磁散射截面進(jìn)行計(jì)算。三維腔體的結(jié)構(gòu)尺寸為0.8λ×0.1λ×1.63λ（λ為激勵(lì)源的工作波長）。三維腔體目標(biāo)的電磁散射計(jì)算可以在上述兩種情況下進(jìn)行基于有限元-邊界的應(yīng)用性驗(yàn)證。

在驗(yàn)證過程中，首先對(duì)無限大接地矩形三維開口腔體的雷達(dá)散射截面（Radar Cross Section，RCS）隨φ角的變化進(jìn)行了分析，當(dāng)腔體內(nèi)部無填充物時(shí)，分析結(jié)果如圖2所示；當(dāng)腔體內(nèi)部為各向異性介質(zhì)時(shí)，對(duì)腔體RCS進(jìn)行計(jì)算的結(jié)果如圖3所示。在這種情況下，將入射平面波的θ角設(shè)為40°，腔體內(nèi)部各向異性介質(zhì)參數(shù)取式（12）所示情況。

?

圖2 腔體內(nèi)部為空時(shí)RCS隨φ角的變化

Fig.2 Change of RCS following φ when the dimensional bosom is empty

圖2中當(dāng)φ為0～90°時(shí)，按傳統(tǒng)模式匹配法得到的計(jì)算結(jié)果與本文所探討的有限元-邊界法所計(jì)算得到的結(jié)果吻合程度較高，在一定程度上可認(rèn)為有限元-邊界方法在計(jì)算空腔電磁散射方面具有較高的精度。圖3中顯示的結(jié)果表明，當(dāng)腔體中的物質(zhì)為各向異性時(shí)，外部的雷達(dá)散射截面比圖2中內(nèi)腔為空時(shí)要小得多，而計(jì)算結(jié)果則有較高的準(zhǔn)確性，本方法與模式匹配法得到的結(jié)果匹配重合度達(dá)90％以上。

圖3 腔體內(nèi)部為各向異性物質(zhì)時(shí)RCS隨φ角的變化Fig.3 Change of RCS following φ when dimensional bosom is anisotropic matter

5 結(jié) 論

當(dāng)前飛行器普遍采用隱身設(shè)計(jì)，其電磁散射較小時(shí)，會(huì)給探測告警增添極大難度。本文以有限元-邊界法為計(jì)算方法對(duì)開口型三維腔體目標(biāo)的電磁散射的計(jì)算方法進(jìn)行了探討。針對(duì)三維腔體的電磁散射，主要進(jìn)行了有限元積分運(yùn)算、有限元函數(shù)模型設(shè)計(jì)、腔體目標(biāo)實(shí)例計(jì)算等。結(jié)果顯示，有限元-邊界法在計(jì)算三維腔體目標(biāo)的電磁散射方面具有較高的精度。后續(xù)的工作中將圍繞本方法的計(jì)算效率展開探討。

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Application of FE-BI to calculation of opto-electronic target scattering

CHEN Zhao-bing1，GUO Jin1，LIN Sen2

（1.Changchun Institute of Optics，F(xiàn)ine Mechanics and Physics，Chinese Academy of Sciences，Changchun 130033，China；2.Armor Technique Institute of the People′s Liberation Army，Changchun 130117，China）

In order to solve the contradiction between veracity and validity for calculating the three-dimensional target electromagnetic scattering，a calculator mode about Finite Element-Boundary Integral（FE-BI）was set up to calculate the three-dimensional target electromagnetic scattering.Firstly，the three-dimensional target electromagnetic scattering calculation borderline integral was analyzed，and the vector Green function was introduced.On the basis of the connection between electromagnetism form and three-dimensional cavity form，the three-dimensional hatch cavity borderline mode was set up.Then，the finite element commonly function wasestablished by combining the optical target surface modeling method with the higher order function method，and the application of the FE-BI to calculating three-dimensional target electromagnetic scattering was achieved.Finally，the following example analysis was proved.It is shown that the angle tally is very ideal when the dimensional bosom is empty or anisotropic matter.The consistance has been 90％as compared with the traditional matching method.In conclusion，the veracity and validity of calculation are improved by the proposed method.

opto-electronic target；electromagnetic scattering；finite element；boundary integral

TN97；TP312

A

1674-2915（2011）02-0169-06

2010-11-11；

2011-02-13

陳兆兵（1980—），男，山東五蓮人，博士，主要從事光電對(duì)抗裝備的光機(jī)電結(jié)構(gòu)一體化設(shè)計(jì)方面的研究。E-mail：chenzhaobing999@163.com