張少軍 萬(wàn) 中 劉光連

中南大學(xué),長(zhǎng)沙,410083

0 引言

V帶傳動(dòng)具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、運(yùn)行平穩(wěn)、低噪聲、能緩和載荷沖擊、傳遞功率較大、能實(shí)現(xiàn)過(guò)載保護(hù)、生產(chǎn)成本低以及制造和安裝容易等一系列優(yōu)點(diǎn),所以廣泛應(yīng)用于各類(lèi)機(jī)械中[1-2]。對(duì)V帶工作能力的考慮主要包括兩個(gè)方面,即V帶傳動(dòng)能力和V帶的壽命。二者密切相關(guān)且相互矛盾,若提高V帶的傳動(dòng)能力,則V帶的壽命就會(huì)降低;反之亦然[3]。從V帶傳動(dòng)實(shí)際使用情況來(lái)看,對(duì)于長(zhǎng)期連續(xù)運(yùn)轉(zhuǎn)的V帶,壽命是主要要求;而間歇工作的V帶,傳動(dòng)能力則上升為主要要求。如何根據(jù)所需傳遞功率、主動(dòng)輪轉(zhuǎn)速等條件使設(shè)計(jì)出的V帶傳動(dòng)系統(tǒng)中V帶疲勞壽命最長(zhǎng),這對(duì)于節(jié)約資源、降低成本、提高系統(tǒng)可靠性具有積極意義。

為了實(shí)現(xiàn)V帶傳動(dòng)的優(yōu)化設(shè)計(jì),國(guó)內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了諸多研究。文獻(xiàn)[4-6]對(duì)已有理論和方法作了較系統(tǒng)和全面的闡述。此外,還有一些軟件公司開(kāi)發(fā)了專門(mén)的V帶設(shè)計(jì)軟件(如Ciclo VBelt)。最近的研究成果可參看文獻(xiàn)[7-8]。文獻(xiàn)[7]用改進(jìn)的遺傳算法對(duì)帶傳動(dòng)多目標(biāo)進(jìn)行了優(yōu)化,文獻(xiàn)[8]對(duì)V帶輪的疲勞壽命進(jìn)行了優(yōu)化。不過(guò),在已有的文獻(xiàn)中,尚未見(jiàn)到關(guān)于V帶疲勞壽命最長(zhǎng)的全局優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的討論,而是較多關(guān)注于對(duì)V帶傳動(dòng)能力[9]、帶輪體積[10]等的優(yōu)化,或僅限于對(duì)V帶疲勞壽命優(yōu)化的原理性探討[11-12],或者對(duì)所建立的優(yōu)化模型采用一些經(jīng)典的局部?jī)?yōu)化算法(如罰函數(shù)方法)求解。本文在建立V帶疲勞壽命最長(zhǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)模型的基礎(chǔ)上,通過(guò)深入分析目標(biāo)函數(shù)和約束條件的性質(zhì),在給定的設(shè)計(jì)條件下提出全局優(yōu)化方法。

1 V帶疲勞壽命最長(zhǎng)優(yōu)化模型

假設(shè)V帶型號(hào)確定,小帶輪(即主動(dòng)輪)轉(zhuǎn)速n1(r/min)和傳動(dòng)比i給定,要通過(guò)選取設(shè)計(jì)變量V帶節(jié)線長(zhǎng)(簡(jiǎn)稱帶長(zhǎng))L(mm)、小帶輪直徑 d1(mm)和單根V帶所要傳遞的功率P(k W)來(lái)使得V帶疲勞壽命T(h)最長(zhǎng)。

由實(shí)驗(yàn)可知,V帶最大應(yīng)力δmax與它的總循環(huán)次數(shù)N有如下關(guān)系：

式中,C為實(shí)驗(yàn)常數(shù),由傳動(dòng)帶的材質(zhì)、結(jié)構(gòu)和尺寸決定;m為曲線指數(shù)(一般為6～11)[11],當(dāng)V帶型號(hào)確定且 N可能的變化范圍不是很大的情況下,可近似地視m為一恒定值(如 N為108～109時(shí),m取11.1)[13]。

由上式出發(fā),根據(jù)V帶傳動(dòng)的應(yīng)力分析[14],可推導(dǎo)出特定參數(shù)情況下單根V帶在兩輪間傳動(dòng)時(shí)所能傳遞的最大功率P0為

式中,v為帶速,m/s;Eb為V帶彎曲彈性模量,MPa;y0為V帶外層至中性層距離,mm;Ki為傳動(dòng)比系數(shù);ρl為V帶線質(zhì)量,kg/m;A為V帶橫截面積,mm2;μV為V帶與帶輪槽間的當(dāng)量摩擦因數(shù);α為小帶輪包角,rad。

假設(shè)單根V帶所要傳遞的功率P在其所能傳遞的極限功率范圍內(nèi),由于V帶疲勞壽命隨傳動(dòng)帶的初張力F 0增加而顯著降低[15-16],為保證所需傳遞的功率又不出現(xiàn)打滑現(xiàn)象,且V帶疲勞壽命T最長(zhǎng),這時(shí)需將初張力調(diào)整到剛好滿足所需傳遞功率要求,也即此時(shí)單根V帶所要傳遞的功率P就等于它所能傳遞的最大功率P 0。

設(shè)設(shè)計(jì)變量 x=(x1,x 2,x3)T=

根據(jù)實(shí)際生產(chǎn)工藝和工程要求,V帶傳動(dòng)設(shè)計(jì)必須考慮基本約束條件如下：

(1)中心距設(shè)計(jì)約束：

(2)V帶的帶速限制：

(3)單根V帶傳遞功率限制：

(4)小帶輪直徑設(shè)計(jì)約束：

(5)V帶節(jié)線長(zhǎng)設(shè)計(jì)約束：

(6)小帶輪包角設(shè)計(jì)約束：

其中,C1～C12為約束條件中的常系數(shù),具體數(shù)值見(jiàn)表1。

表1 V帶優(yōu)化模型中的常系數(shù)列表

因此,V帶疲勞壽命最長(zhǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)模型為

以往的V帶傳動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)中,常常利用一些經(jīng)典的算法(如罰函數(shù)方法)[17]求解式(10)。其主要缺陷在于：①?zèng)]有更深入地分析該問(wèn)題目標(biāo)函數(shù)的性質(zhì)和可行域的結(jié)構(gòu),因而采用的算法未必是計(jì)算效率最高的;②如果式(10)不是凸規(guī)劃問(wèn)題,采用任何經(jīng)典的優(yōu)化算法都不能從理論上保證所求得的解是該問(wèn)題的全局最優(yōu)解。本文的主要工作就是要在深入分析式(10)結(jié)構(gòu)性質(zhì)的基礎(chǔ)上,提出針對(duì)該問(wèn)題的高效算法。

2 目標(biāo)函數(shù)的性質(zhì)和可行域的結(jié)構(gòu)

為了設(shè)計(jì)最有效的求解上述優(yōu)化問(wèn)題(式(10))的算法,首先證明一下目標(biāo)函數(shù)的一些結(jié)論。

定理1 目標(biāo)函數(shù)T(x 1,x2,x3)關(guān)于第一個(gè)變量x1在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,關(guān)于第三個(gè)變量x3在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減。

證明：目標(biāo)函數(shù)T(x1,x2,x3)關(guān)于第三個(gè)變量x3在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減是顯然的。由式(3)不難證明α關(guān)于變量x 1在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)的單調(diào)遞增。由式(2)也可證明目標(biāo)函數(shù)T是關(guān)于α在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)的單調(diào)遞增函數(shù)。根據(jù)復(fù)合函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的性質(zhì),容易證明目標(biāo)函數(shù)T關(guān)于變量x 1在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,因此定理的結(jié)論成立。

設(shè)單根V帶所要傳遞的功率不小于Pmin。由于x 3在優(yōu)化模型中相對(duì)獨(dú)立,且T關(guān)于變量x 3在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,因此可首先取定 x3=P min,這樣模型中就只剩下 x1、x2兩個(gè)待設(shè)計(jì)變量。

證明：首先

是顯然的,我們只要證明

成立。

對(duì)任意給定的x2,令

因?yàn)镈是單連通的有界閉集,所以I(x2)是有界閉區(qū)間,記此區(qū)間的右端點(diǎn)為r(x2)。

因?yàn)閒是D內(nèi)的連續(xù)函數(shù),且關(guān)于x1單調(diào)遞增,所以對(duì)任意點(diǎn)(x 1,x2)∈D,有

又記

則集合P x2(D)是D在x 2軸上的投影。因?yàn)镈是單連通有界閉集,所以Px2(D)是 x2軸上的有界閉區(qū)間。

因?yàn)?f是D內(nèi)的連續(xù)函數(shù),所以 h是有界閉集P x2(D)上的連續(xù)函數(shù),且存在最大值點(diǎn)x*2。

由式(11)和 h的定義知,對(duì)任意點(diǎn)(x1,x2)∈D,有

所以

盡管優(yōu)化模型(式(10))中的目標(biāo)函數(shù)在區(qū)域R2

+內(nèi)無(wú)界,但定理2對(duì)我們?cè)谙鹿?jié)提出求解式(10)的最有效的全局優(yōu)化方法有很多幫助,因?yàn)楹竺嫖覀儗⒆C明該問(wèn)題的可行域是有界閉凸集。因此,根據(jù)定理2,我們能夠提出優(yōu)化模型(式(10))的全局最優(yōu)解滿足的條件。下面證明目標(biāo)函數(shù)在一般情況下不是凹函數(shù),從而原問(wèn)題不能用凸規(guī)劃方法求解。因此可以肯定,以往研究工作中采用經(jīng)典的局部?jī)?yōu)化算法不能從理論上保證求得的解是原問(wèn)題的最優(yōu)解。

定理3 目標(biāo)函數(shù)T不是凹函數(shù)。

證明：事實(shí)上,若取定B1=711.017,B2=10.507,B3=94.157,B4=0.55×10-6,i=3.65,m=11,則當(dāng) x1=2000、x2=154時(shí),T的 Hesstan陣

是不定矩陣。因此,目標(biāo)函數(shù)一定不是凹函數(shù)(任何點(diǎn)處Hessian陣為負(fù)定矩陣)。

接下來(lái),我們研究?jī)?yōu)化問(wèn)題(式(10))的可行域結(jié)構(gòu)。為此,我們把約束條件式(4)～式(9)作如下簡(jiǎn)化：

或取C12=180,此時(shí)由g1約束式和i≥1可知原g11約束恒成立。

將 g3、g4 、g6、g7 約束式合并為

將g8、g9約束合并為

以上 g1、g2、g5 、g10、g11、g12 、g13 構(gòu)成了總的約束條件,它們均為線性約束,因此我們可得如下結(jié)論：

定理4 優(yōu)化模型的可行域Ix={(x1,x2)∈R2

+|(x1,x2)滿足條件式(4)～式(9)}是有界閉凸集(此時(shí)x3取為定值P min)。

3 全局優(yōu)化算法

基于定理1、定理2和定理4,我們提出如下計(jì)算優(yōu)化模型全局最優(yōu)解的高效算法(我們稱之為最優(yōu)值線段算法)：

(1)把式(10)(此時(shí)x3取為定值Pmin)中每一個(gè)約束條件歸為如下三類(lèi)之一：①x1≤kx 2,k＞0;②x 1≥kx 2,k＞0;③a≤x1≤b,c≤x2≤d,a、b、c、d均為大于零的常數(shù)。

(2)取k1=min{k|k是第 ①類(lèi)約束的斜率},k2=max{k|k是第②類(lèi)約束的斜率}。一般地,k1≥k2。設(shè)直線x 1=k1 x2與直線x1=a交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為ea,與 x1=b交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為eb。直線x1=k2x2與直線x1=α交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為ga,與x1=b交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為g b。則

①當(dāng)ea＞d時(shí),問(wèn)題無(wú)解;②當(dāng)ea≤d且eb≥d時(shí),可直接得到該問(wèn)題的全局最優(yōu)解x*=(x*1,x*2)=(k1 d,d);③當(dāng)eb＜d且g b≥c時(shí),則在直線段x 1=b,(max{c,eb}≤x 2≤min{d,gb})上尋找最優(yōu)解,此時(shí)將x1=b代入到目標(biāo)函數(shù),則原優(yōu)化問(wèn)題可歸結(jié)為一元連續(xù)可微函數(shù)在有界閉區(qū)間上的全局優(yōu)化問(wèn)題,再利用有效的全局優(yōu)化方法,如覆蓋法[18],就能得到原問(wèn)題的全局最優(yōu)解;④當(dāng)gb＜c時(shí),該問(wèn)題無(wú)解。

4 設(shè)計(jì)實(shí)例

試以V帶疲勞壽命最長(zhǎng)為目標(biāo)設(shè)計(jì)一V帶傳動(dòng)系統(tǒng)。其中主動(dòng)輪轉(zhuǎn)速n1=1460r/min,傳動(dòng)比i=3.65,用普通B型V帶傳動(dòng),其單根V帶傳遞功率P不小于P min=3.50k W。

查表[19]得普通 B型 V帶參數(shù)：ρl≈0.17kg/m,A=142.96mm2,y0=4.1212mm。Eb=55.7MPa,K i=1.1373,μV=0.51,C ≈1.8099×1014。優(yōu)化模型中各系數(shù)值如表 2所示。

表2 設(shè)計(jì)實(shí)例的模型系數(shù)值列表

首先選定 x3=3.50kW。經(jīng)計(jì)算得：B2=24.4824,B3=30.8592,B4=0.5312×10-6。

通過(guò)整理各約束條件得到總的可行域Ix為

圖1 實(shí)例中可行域Ix的圖形

此優(yōu)化問(wèn)題可行域的特點(diǎn)符合最優(yōu)值線段算法(2)中的情形 ②。由最優(yōu)值線段算法可知,T(x)的全局最大值解必然就是圖1中的點(diǎn)C,即全局最優(yōu)解x*=(4018.322,154,3.50)T。設(shè)此問(wèn)題中m取值為11.0,則V帶疲勞壽命最長(zhǎng)的全局最優(yōu)值 Tmax≈61923h。

在已有的文獻(xiàn)中,尚未見(jiàn)到關(guān)于V帶疲勞壽命最長(zhǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的具體研究,所以無(wú)從比較。但在文獻(xiàn)[20]中計(jì)算得到的普通B型V帶在額定功率工作時(shí)的預(yù)期疲勞壽命約為24 000h,遠(yuǎn)低于本實(shí)例中得到的B型V帶疲勞壽命最長(zhǎng)的全局最優(yōu)值。這也反映了本文優(yōu)化模型和優(yōu)化方法的有效性。

工程實(shí)際中由于工作空間或機(jī)械整體尺寸的限制,有時(shí)還要求中心距a≤a max,其中a max為一常數(shù),這相當(dāng)于在原模型中增加約束條件：

即

以上為一線性約束和非線性約束的組合。當(dāng)曲線

為可行域Ix沿坐標(biāo)x 1增大方向一側(cè)的全部或部分邊界時(shí),可行域就不一定是凸集。但此時(shí)并不妨礙上述最優(yōu)值線段算法的使用。若可行域最右側(cè)邊界全部由該二次曲線組成,則可按最優(yōu)值線段算法(2)中情形 ②的處理方法來(lái)計(jì)算最優(yōu)解,最優(yōu)解為

其中,d 1max為小帶輪直徑在可行域范圍內(nèi)能取到的最大值。若可行域最右側(cè)邊界只是一部分由該二次曲線組成,則可按(2)中的情形 ③來(lái)計(jì)算。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文建立了以V帶疲勞壽命最長(zhǎng)為目標(biāo)的優(yōu)化設(shè)計(jì)模型。深入研究了該模型中目標(biāo)函數(shù)的凸性、單調(diào)性等特性,證明了其可行域是有界閉凸集。以此為基礎(chǔ)提出了求解該模型的一種全局優(yōu)化解法——最優(yōu)值線段算法。最后的實(shí)例說(shuō)明了該模型和全局優(yōu)化方法的有效性和實(shí)用性。

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