尋找股票收益率的臨界變化點——基于股票市場的閾值非線性建模

○陳 普 （華中科技大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院 湖北 武漢 430074）

一、引言

用非線性的方式研究金融時間序列的文獻(xiàn)可以分為兩大類，一類是研究條件方差的非線性，這包括廣為人知的ARCH或者GARCH模型，另外一類條件均值非線性卻很少受到如此廣泛的注意，但最近十幾年來該領(lǐng)域的文獻(xiàn)增長迅速。例如，Abhyankar，Copeland，和 W ong（1995，1997），Martens，Kofman和Vorst（1998），Perez-Quiros和 Timmermann（2000），M cMillan（2001，2003，2005）以及 Maasoum i和 Racine（2002）。

研究股市條件均值的非線性也是十分重要的。其一，由于股市的一些特有現(xiàn)象，如噪聲交易和套利交易的存在，交易成本的存在，市場摩擦的存在等等，使得股市呈現(xiàn)出一些明顯的條件均值非線性特征。因此使用這些非線性模型必然能夠更為精細(xì)地捕捉這些非線性現(xiàn)象，那么相對線性模型而言，其應(yīng)在樣本內(nèi)擬合或樣本外預(yù)測上給出更為可信的答案。其二，利用這些非線性方法研究一些傳統(tǒng)的命題，往往能給出另外一個不同的答案，例如，F(xiàn)ama and French（1988） 和 Poterba and Summers（1988）證明了股價的均值回復(fù)，然而Cecchetti，Lam and Mark（1990）卻證明了如果紅利的增長是非線性的，那么他們的研究結(jié)果并不顯著。其三，在實踐上，利用閾值非線性模型為股價或者股票收益建模，從而找出模型中的閾值極有操作意義。因為閾值表達(dá)了體制轉(zhuǎn)換的臨界點，在找出閾值之后，判斷當(dāng)前股票運行處于何種體制之內(nèi)，必然能給正確的股票操作提供富有建設(shè)性的看法。

正是在上述非線性建模背景的啟發(fā)下，我們觀察到中國股市日收益似乎存在一個顯著的非線性現(xiàn)象：較高的股票收益之后往往伴隨著收益的回落，而較低的股票收益之后往往伴隨著收益的反彈。而關(guān)于這種現(xiàn)象的非線性建模，國內(nèi)文獻(xiàn)還十分少見。因此，借鑒Shively（2003）的建模方法，我們使用了上證綜指，深證成指和滬深300，建立了一個用兩閾值將時間序列隔成三個體制（我們稱之為上中下三個體制）的非線性閾值模型，該模型的兩個閾值即意味著股票收益率運行體制發(fā)生變化的臨界點，這具有極大的實踐意義，因為找出這兩個顯著的閾值能夠為我們在股市上的反向操作提供有益參考。

二、模型介紹

假設(shè)pt是t時的股票價格，對其取對數(shù)得到lnpt，一般而言，股價均不平穩(wěn)，我們使用其一階差分序列△lnpt（易知此即股票收益率）進(jìn)行建模，本文中三體制非線性閾值模型為：

該模型的非線性檢驗我們使用了Ploberger和Kramer（1992）建議的CUSUM-OLS方法，而模型的設(shè)定、估計，包括閾值變量延滯期數(shù)的選擇，我們參考了Tsay（1989）。

三、實證分析

1、數(shù)據(jù)的處理

我們使用了三只股票市場指數(shù)的日收盤價，即2000年1月4日至2010年7月12日的上證綜指和深證成指，受編制起始日期的限制，使用了2005年4月8日至2010年7月12日的滬深300。數(shù)據(jù)均來自國泰安數(shù)據(jù)庫。圖1是三只股指水平值的時間序列圖，可以看到三支股指均在2007年下半年達(dá)到局部峰頂，其他時間段均比較平緩。

圖1 三支股指水平值的時間序列圖

對三支股指的水平序列取對數(shù)后進(jìn)行單位根檢驗，無論是在有截距或者有趨勢的情況下，均不能拒絕有單位根的原假設(shè)。結(jié)果見表1。

表1 四支股指的單位根檢驗

接下來對其一階差分即股指收益率的單位根檢驗表明，其為一穩(wěn)定序列，可見，三支股指均為一個帶漂移的隨機(jī)游走，即：

△lnpt=μ+ε或者 lnpt=μ+φlnpt-1ε，其中 φ<1。

2、非線性檢驗

正如Tsay（1989）所指出的，當(dāng)利用閾值變量將觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行重新排序后，那么閾值非線性就體現(xiàn)為結(jié)構(gòu)斷點問題。

檢驗?zāi)Ｐ偷慕Y(jié)構(gòu)斷點有由Brown et al.（1975）率先提出的遞歸預(yù)報殘差的累積和（cumulative sum，CUSUM）檢驗，并最終由Petruccelli和Davies（1986）加以完善，而Ploberger和Kramer（1992）認(rèn)為遞歸的最小二乘殘差累積和（CUSUM-OLS）比通常的遞歸預(yù)報殘差累積和檢驗具有更高的勢，故本文此處使用Ploberger和Kramer（1992）的方法論，他們在文中提出了p值的計算公式為：

其中T為樣本觀測數(shù)，k為遞歸回歸的起始期，St（w）為從k期開始直至t期的遞歸殘差的累積和。

按照Tsay（1989）的排序理論，我們首先將觀測數(shù)據(jù)按照閾值變量rt-d的大小進(jìn)行了升序排列，并對d=1—5的五種情況分別進(jìn)行了檢驗，各股指結(jié)構(gòu)斷點檢驗的P值見表2。

表2 各股指結(jié)構(gòu)斷點的檢驗p值

從表2可以看出，上證綜指和深證成指在延滯期數(shù)為1和3時，滬深300在延滯期數(shù)為1時，呈現(xiàn)出了明顯的結(jié)構(gòu)斷點或者說閾值非線性。這實際上說明一旦當(dāng)天的股票收益率超過向上或者向下的臨界值，則第二天或者第四天的股票收益率就會立刻往中間體制轉(zhuǎn)移。

3、閾值非線性模型的參數(shù)估計

對閾值非線性模型的估計按照邏輯順序，包括延滯期數(shù)d的選擇（這實際上確定了閾值變量），閾值的估計，以及在三個體制內(nèi)模型參數(shù)μ的估計。

根據(jù)Tsay（1989），進(jìn)行閾值非線性建模時，對延滯期數(shù)的選擇依賴于在進(jìn)行非線性檢驗時的p值，p值最小，則該延滯期數(shù)最為合理。所以，從表2可以看出，上證綜指的延滯期數(shù)d=3，深證成指和滬深300的延滯期數(shù)d=1。

對閾值的估計，我們使用網(wǎng)格搜索。首先，在“較高的股票收益之后往往伴隨著收益的回落，而較低的股票收益之后往往伴隨著收益的反彈”的思想指導(dǎo)下，我們先驗地認(rèn)為在小于0和大于0處各有一個閾值。然后，我們排除了觀測數(shù)據(jù)中最小的15%和最大的15%，不將他們作為閾值的選擇范圍。最后，我們分別在小于0和大于0的區(qū)域內(nèi)進(jìn)行了密度為0.001的網(wǎng)格搜索來尋找閾值，并在一系列最小二乘回歸中選擇具有最小AIC值處的分離點作為閾值。結(jié)果如表3所示。

表3 股市收益率的閾值估計

在得到閾值后，對如下閾值非線性模型的估計比較簡單：

按閾值將觀測數(shù)據(jù)分類后，在每個體制內(nèi)直接進(jìn)行最小二乘回歸即可。其漂移項 μ（1），μ（2）和 μ（3）的估計結(jié)果，如表 4所示。

表4 股指漂移項的估計

4、實證結(jié)果分析

如果我們對各指數(shù)下體制內(nèi)和指數(shù)上體制內(nèi)的均值或者漂移項注意觀察，就會發(fā)現(xiàn)，上證綜指下體制和上體制的均值處于兩個閾值之間，而且即便將其均值擴(kuò)展到兩個標(biāo)準(zhǔn)差的范圍，他們?nèi)匀宦湓趦蓚€閾值之間。這說明上證綜指有一個統(tǒng)計上顯著的均值回復(fù)過程，即在股市收益率在上或者下體制時，其回到中間體制的趨勢是強(qiáng)烈的。

值得注意的深證成指的下體制均值卻在負(fù)閾值之下，雖然其距離負(fù)閾值ρ1只有0.57個標(biāo)準(zhǔn)誤，而上體制均值包括其兩個標(biāo)準(zhǔn)差的范圍仍然落在兩閾值之間。這至少說明了深證成指從上體制往中間體制中的回復(fù)在統(tǒng)計上是顯著的。

滬深300的上體制的均值包括其兩個標(biāo)準(zhǔn)差的范圍也處在兩個閾值之間，下體制均值處于兩閾值之間，不過其距離負(fù)閾值ρ1只有1.37個標(biāo)準(zhǔn)誤。這說明，上體制往中間體制的回復(fù)依然顯著，而下體制往中間體制的回復(fù)的顯著性則不如上證綜指。

最后，應(yīng)該看到每只股指的殘差標(biāo)準(zhǔn)差均大于其相應(yīng)的（ρ2-ρ1），可見，如此大殘差標(biāo)準(zhǔn)差是完全可以讓其飄出中間體制而到達(dá)上下體制中的任何一個。但均值回復(fù)的趨勢又往往將其拉回中間體制。

四、結(jié)論

本文在非線性建模背景的啟發(fā)下，觀察到中國股市在“較高的股票收益之后往往伴隨著收益的回落，而較低的股票收益之后往往伴隨著收益的反彈”的非線性現(xiàn)象，于是分別對上證綜指、深證成指和滬深300進(jìn)行了兩閾值三體制的非線性建模。在這個過程中，我們找到了各股指收益率變化的臨界點，即體制變換的閾值，并發(fā)現(xiàn)以下結(jié)論。

第一，上證綜指均值回復(fù)的趨勢是明顯的。其大漲之后的回跌和大跌之后的回漲是顯著的，不過由于延滯期數(shù)d=3，這種反應(yīng)在第四天比第二天應(yīng)更為強(qiáng)烈。

第二，深證成指和滬深300從上體制往中間體制回復(fù)的趨勢明顯，而從下體制往中間體制回復(fù)則并非如此，盡管滬深300的下體制均值僅僅距離負(fù)閾值ρ11.37個標(biāo)準(zhǔn)誤。

第三，應(yīng)該看到各股指殘差標(biāo)準(zhǔn)差均大于其相應(yīng)兩閾值之差，所以他們能夠地從中間體制往外面兩體制飄移。

從實踐上說，上述結(jié)論應(yīng)能對反向操作提供一定的參考。

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