張林，李鵬，張軍

(洛陽軸研科技股份有限公司，河南 洛陽 471039)

在目前的摩擦學試驗中，經常遇到數據個數很少的情況，如果采用經典統計理論進行分析，則可靠性較低，如何正確處理是一個難題。而乏信息理論在很多小樣本、概率分布未知的試驗數據的評估中優(yōu)勢比較明顯，可靠度和準確度也較高。運用非統計理論對樣本數據的評估和預報已應用于航空領域[1-2]，并發(fā)揮了不可估量的作用。這里，結合添加納米粒子潤滑脂的小樣本摩擦試驗數據，介紹模糊集合理論對小樣本試驗數據的評估。

1 試驗及數據

試驗方法及試驗條件見文獻[3]，試驗數據見圖1。

圖1 9種潤滑脂摩擦力數據

2 評估方法

2.1 模糊范數法

模糊范數法是以隸屬函數和范數的數學概念為基礎，建立經驗概率密度函數，進而對系統總體屬性參數進行評估的一種本征融合方法，可以獲得新信息的最終解。

將每組摩擦數據x從小到大排序，以研究其內在特性，新的數據序列xi為

xi≤xi+1，i=1,2…,n;

(1)

定義差值序列為

di=di(xi)=xi+1-xi≥0。

(2)

差值di越小，數據的分布越密集；否則越稀疏。用如下線性隸屬函數描述系統總體的概率密度函數

(3)

(4)

(5)

式中:mi為分布因子。

設最大分布因子為mmax，與其對應的xi為Xv，序列號i為v。若有多個重復的mmax，則Xv和v可以由算數平均值確定。

設

f1i(xi)=mi,i=1,2,…,v;

(6)

f2i(xi)=mi,i=v,v+1,…,n。

(7)

用兩個多項式分別逼近離散值f1i(xi)和f2i(xi)，就可以得到f1和f2。

(8)

(9)

式中：X0為摩擦數據真值；l為多項式階次，l=1,2,…,L。

設

r1i=f1(xi)-f1i(xi),i=1,2,…,v;

(10)

r2i=f2(xi)-f2i(xi),i=v,v+1,…,n。

(11)

定義最大模范數

(12)

對于al，有

(13)

對于bl，有

(14)

可以確定系數al和bl，進而得到隸屬函數f1(x)和f2(x)。

(13)和(14)式的約束條件分別為

(15)

(16)

摩擦數據的真值X0是未知的，在經典統計學上，它可以用數學期望表示?？紤]到小樣本問題，這里用最大隸屬度值表示真值X0，即

X0≈x|f(x)=1=Xv。

(17)

根據模糊集合理論，一個系統的屬性從真到假變化有一個過渡區(qū)間，即

(18)

式中：G(x)為系統總體屬性變化的特征函數；q為水平，q∈[0，1]；q*為最優(yōu)水平。

設摩擦數據參數的變化區(qū)間為[xL,xU]，在區(qū)間內x是可用的，特征值為1(真)；而在區(qū)間外x是不可用的，特征值為0(假)。選擇水平q=q*分別滿足

min|f1(x)-q|時，

x=xL;

(19)

min|f2(x)-q|時，

x=xU。

(20)

以此求出摩擦數據的變化區(qū)間[xL，xU]。

2.2 經驗概率密度函數與置信水平

系統總體屬性參數的經驗概率密度函數可以用隸屬函數表示為

(21)

置信水平P為

(22)

(22)式必須滿足

0≤P≤1。

(23)

由(22)式可知，P受q和L的影響。若要求P為某一常數，如P=95%或P=99%或P=100%，則可以調節(jié)q和L來滿足此要求。此外，因小樣本數據個數很少，故L值一般是很小的，如L=1，2或3。

在實際計算中，一般給定P，優(yōu)選L=3，再調節(jié)q以滿足P，就可以得到在P置信水平下的區(qū)間評估結果[xL,xU]。

3 評估結果及理論分析

取L=3，置信水平分別為90%，95%和99%，運用模糊范數法建立數學模型，對試驗數據進行評估，L=3時數據的分析結果可靠性較高，但計算相對復雜，可以借助計算機編程實現。在3種置信水平下，運用模糊范數理論對摩擦力的數據進行評估，結果見表1、表2和表3。

表1 置信水平為90%的摩擦力數據評估結果 N

表2 置信水平為95%的摩擦力數據評估結果 N

表3 置信水平為99%的摩擦力數據評估結果 N

無論是滾動摩擦還是滑動摩擦，其摩擦力隨時間在一定區(qū)間波動。一般情況下，摩擦力變大，磨損加劇，壽命就會變短；相反，摩擦力變小，磨損會減小，壽命就會延長。 而更重要的是摩擦力的波動區(qū)間，摩擦力在一個區(qū)間內波動，如果其波動范圍小，說明摩擦均勻，機器運轉平穩(wěn)，壽命會更長。從3種置信水平下評估的試驗數據可以看出，同種添加劑的摩擦力數據波動區(qū)間都是隨著添加量的增加先減小后增大，在某個添加比例時達到一個最小值，即存在一最佳添加比例，而不同的材料該最佳添加比例是不同的。從數據中還發(fā)現含0.5%納米氧化鋯的潤滑脂的摩擦力數據的波動區(qū)間和均值在3種置信水平下都是最小的，說明本試驗中氧化鋯粒子在此比例時能夠有效地降低摩擦磨損，延長軸承的使用壽命。

4 結論

(1)納米銅在此種潤滑脂中作為添加劑減摩效果不明顯；而納米氧化鋯納米粒子作為此種脂添加劑的減摩效果明顯。

(2)在選用的銅及氧化鋯納米粒子作為添加劑時，其摩擦力隨著納米粒子添加量的增加都是先減小后增大，并且在某一添加量下存在一個最小值，不同材料的最小值是不同的。

(3)在90%，95%和99%的3種置信區(qū)間下，含0.5%納米氧化鋯粒子的潤滑脂的摩擦力數據均最小，說明在該添加量時，減摩效果最好，可以有效地降低摩擦，減小磨損，進而延長軸承的使用壽命。