郭曉龍，吳傳生，劉 文，李云廷

(武漢理工大學(xué)理學(xué)院，湖北武漢430070)

圖像去噪是圖像處理領(lǐng)域中一個重要的分支，它是圖像分割、特征提取與目標(biāo)識別等圖像處理過程的前提。由于傳統(tǒng)方法在去除圖像噪聲的同時不可避免地破壞了圖像的紋理信息，在不同程度上破壞了圖像的完整性，影響了圖像處理的下一步工作。如何在抑制噪聲的同時能夠很好地保留圖像的紋理特征，是構(gòu)建有效的去噪模型的至關(guān)重要的問題。

RUDIN等在1992年提出的全變差正則化模型(total variation，TV)是迄今最為成功的圖像復(fù)原模型之一，在圖像去噪領(lǐng)域得到了廣泛的研究與應(yīng)用。但該模型易將噪聲當(dāng)成圖像邊緣保留，使其在平滑區(qū)產(chǎn)生階梯效應(yīng)［1］。雖然基于L2范數(shù)的調(diào)和模型能有效地去除噪聲，但圖像的邊緣易模糊［2］。SONG等在TV模型與調(diào)和模型的基礎(chǔ)上提出了Lp(1≤p≤2)范數(shù)空間下的廣義TV模型，但系數(shù)p的客觀選取嚴(yán)重影響了該模型的圖像去噪效果［3－4］。根據(jù)TV模型與調(diào)和模型的去噪特點(diǎn)，筆者為兼顧圖像的平滑去噪與邊緣保留，提出了圖像去噪的自適應(yīng)全變差正則化模型(adaptive total variation，ATV)，并采用8鄰點(diǎn)數(shù)據(jù)［5］計算圖像的梯度模值以自適應(yīng)控制ATV模型的圖像去噪過程，并對其梯度下降流方程進(jìn)行了改進(jìn)，提高了ATV模型在圖像去噪中的穩(wěn)定性。

1 自適應(yīng)全變差正則化模型

令u為清晰的原始信號，f為含噪的觀測信號，則含噪圖像的數(shù)學(xué)模型為:

其中，n為零均值的高斯白噪聲，其方差為δ。

目前全變差正則化圖像復(fù)原模型主要集中在對L1范數(shù)空間和L2范數(shù)空間上的討論，基于L1范數(shù)空間的TV模型并不懲罰圖像的不連續(xù)區(qū)域，并且能夠有效地保護(hù)圖像的邊界，但其光滑性不足，并帶有分片效應(yīng)。基于L2范數(shù)空間上的調(diào)和模型對光滑區(qū)域處理的效果較好，可以較快平滑噪聲，但易導(dǎo)致圖像輪廓模糊，邊界消失［6］。兩者優(yōu)劣參半，將兩者結(jié)合可發(fā)揮各自優(yōu)點(diǎn)，于是筆者基于L1范數(shù)空間和L2范數(shù)空間提出自適應(yīng)全變差正則化圖像復(fù)原模型(ATV)。

其中Ω為圖像區(qū)域，且自適應(yīng)參數(shù)g(u)定義為［7］:

式中，Gσ(σ＞0)為高斯濾波器。

用高斯濾波器對圖像進(jìn)行預(yù)處理，其目的是去除小部分噪聲，以減少將噪聲當(dāng)作假邊緣的可能性，在圖像的邊緣區(qū)域，g(u)→0，此時式(2)近似于TV模型，能較好地保留圖像邊緣;在圖像的光滑區(qū)域，g(u)→1，此時式(2)近似于平滑性較好地調(diào)和模型，能有效地去除噪聲;在圖像的其他區(qū)域，式(2)根據(jù)‖▽Gσ×u‖12的大小自適應(yīng)地控制參數(shù)g(u)，使得自適應(yīng)全變差正則化模型(ATV)能同時兼顧圖像的邊緣保留與平滑去噪。

利用變分原理得到式(2)的Euler－Lagrange方程，即:

當(dāng)采用顯示方案求解式(4)對應(yīng)的梯度下降流時，此時的迭代時間步長 Δt需滿足這一苛刻條件，使得式(4)很難收斂至最優(yōu)解［8］。于是為穩(wěn)定求解式(4)并擴(kuò)大其應(yīng)用范圍，筆者在MARQUINA改進(jìn)TV模型［9］的基礎(chǔ)上，對式(4)的左邊乘以梯度模值‖▽u‖12，得到其對應(yīng)的改進(jìn)梯度下降流方程:

對于式(5)的求解，前兩項采用中心差分做數(shù)值計算，而后一項將借助于迎風(fēng)方案。

2 去噪模型的數(shù)值計算

計算式(5)時采用顯式方案，即:

3 實(shí)驗結(jié)果及分析

為驗證改進(jìn)自適應(yīng)全變差正則化模型(ATV)在圖像去噪中的有效性，筆者分別以Lady和Lena圖像為實(shí)驗對象，與MARQUINA提出的改進(jìn)全變差正則化模型(MTV)的實(shí)驗結(jié)果進(jìn)行了比較分析，并采用峰值信噪比(PSNR)作為客觀的評價標(biāo)準(zhǔn)，PSNR定義為:

在該實(shí)驗的仿真中，輸入圖像的大小均為256×256，灰度級為256，Lady和Lena圖像中加性噪聲的方差分別為0.005和0.010。其中高斯濾波器Gσ的窗口大小為3×3，時間迭代步長Δt=0.01，正則化參數(shù) λ=0.2，實(shí)驗結(jié)果如圖1、圖2和表1所示。

圖1 降噪前后的Lady圖(噪聲方差δ=0.005)

圖2 降噪前后的Lena圖(噪聲方差δ=0.010)

表1 各圖像去噪方法的峰值信噪比dB

圖1和圖2分別為降噪處理前后Lady和Lena圖像的視覺效果，從圖中可看出MTV模型在去噪中能較好地保留圖像的邊緣信息，但同時易將噪聲當(dāng)作圖像邊緣進(jìn)行處理，導(dǎo)致圖像依然有部分噪聲被保留。而筆者提出的正則化模型(ATV)能同時兼顧圖像的平滑去噪與邊緣保留，如表1所示，ATV模型較MTV模型在PSNR上有明顯的提高，且人眼能直觀地感受到復(fù)原圖像質(zhì)量的改善。

4 結(jié)論

筆者在分析TV模型(L1范數(shù)空間)與調(diào)和模型(L2范數(shù)空間)的基礎(chǔ)上，構(gòu)建了一種能同時兼顧圖像平滑去噪與邊緣保留的自適應(yīng)全變差正則化模型(ATV)，并對其梯度下降流方程進(jìn)行了改進(jìn)，提高了ATV模型在圖像去噪中的穩(wěn)定性，有效緩解了傳統(tǒng)TV模型中階梯效應(yīng)的問題。實(shí)驗結(jié)果表明，筆者構(gòu)建的自適應(yīng)去噪模型在有效去除噪聲的同時保留了圖像的細(xì)節(jié)信息，得到的復(fù)原圖像在峰值信噪比和主觀視覺效果方面有明顯提高。

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