李保霞

(中國地質(zhì)大學(xué)(武漢)經(jīng)濟管理學(xué)院，湖北武漢430074)

一、引言

2008年以來國際金融危機的爆發(fā)和不斷擴展，使人們進一步意識到對金融工具及其衍生產(chǎn)品的風(fēng)險管理的重要性。而波動率模型恰恰很好地刻畫了金融資產(chǎn)的風(fēng)險變化特征。它的提出雖然只有短短將近30年的時間，但是該模型在衍生證券定價和風(fēng)險管理方面的重要作用使得它引起了廣泛的關(guān)注。本文采用典型的波動率ARCH模型，通過Eviews軟件利用股票價格指數(shù)數(shù)據(jù)來分析如何具體建立此種模型及預(yù)測未來的波動。

二、基本原理

一般來說，金融資產(chǎn)收益率的分布常常表現(xiàn)波動的聚集性，即指收益率序列的波動(用方差衡量)往往表現(xiàn)出大的波動后跟隨著大的波動，小的波動后跟隨著小的波動。傳統(tǒng)的建模方法難以解決此類問題。當(dāng)殘差序列出現(xiàn)異方差時，而又不知道方差函數(shù)的具體形式時，常擬合條件異方差模型。自回歸條件異方差模型(auto－regressive conditional heteroskedasticity model，ARCH)可以很好地描述金融資產(chǎn)收益率的分布特征。而廣義的ARCH模型(GARCH)進一步改善和發(fā)展了 ARCH模型。GARCH模型的函數(shù)形式如(1)所示。

(1)式中，f(t，xt－1，xx－2，…)是{xt}的自回歸模型，稱為均值方程，vti，i，~dN(0，1)，{aj}，j=1，…p是未知參數(shù)。Var(εt)=ht，ht是εt的條件方差。在此基礎(chǔ)上還需滿足，此時模型是寬平穩(wěn)的。

三、實證分析

(一)數(shù)據(jù)來源及描述性統(tǒng)計

本次分析采用從2008年1月1日至2011年4月30日的深證股票價格綜合指數(shù)的每日收盤價數(shù)據(jù)，由于存在節(jié)假日休市，實際上共有815個實際觀察值。本次分析將對前806個數(shù)據(jù)(2008年1月1日—2010年4月30日)建模，對樣本區(qū)間為807～815之間(2011年5月1日－14日)的數(shù)據(jù)作預(yù)測。由于2008年以來金融危機的爆發(fā)，本次分析亦可以在一定程度上找出金融危機對中國股票市場的沖擊。

因為GARCH模型一般用來衡量金融資產(chǎn)收益率的變動情況，所以按照常用的連續(xù)復(fù)利公式:rt=100×(lnpt－ lnpt－1)，(rt表示每日的收益率)，對股票價格指數(shù)的收盤價(記為pt)作變換。

(二)平穩(wěn)性檢驗和純隨機性檢驗

對收益率數(shù)據(jù)進行單位根ADF檢驗，滯后階數(shù)的選擇根據(jù)SIC信息準(zhǔn)則選擇使其值最小的滯后階數(shù)，并且由于收益率的均值幾乎為零，所以選擇無截距檢驗，結(jié)果ADF統(tǒng)計量檢驗的p值非常小，所以原序列是一個平穩(wěn)序列，這與人們普遍認(rèn)為的收益率數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的思想是一致的。

用Q統(tǒng)計量來檢驗序列是否為白噪聲，如圖1，結(jié)果其p值很小，從而說明原序列是非白噪聲序列，收益率序列中仍有可供提取的信息，還有進一步分析的價值。

通過觀察收益率r的自相關(guān)和偏自相關(guān)函數(shù)走勢，發(fā)現(xiàn)自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)除了一階滯后的函數(shù)值較大外，其余值均較小，在零左右徘徊。因此可以擬合一個ARMA(1，1)模型作為ARCH模型的均值方程部分。

(三)均值方程的建立

根據(jù)上面的分析結(jié)果，對因變量建立ARMA(1，1)模型。參數(shù)的估計采用的是Eviews默認(rèn)的最小二乘估計法，結(jié)果如表1。

表1 ARMA(1，1)模型的參數(shù)估計結(jié)果

S．E．of regression 0.022675 Akaike info crite rion －4.732643 Sum squared resid 0.416983 Schwarz criterion －4.721079 Log likelihood 1925.819 Durbin－Watson stat 2.020847

各個滯后項系數(shù)的p值都非常小，從而說明參數(shù)的有效性。除此之外DW統(tǒng)計量幾乎為2，說明此時模型提取到了足夠的自相關(guān)信息，從另一個方面說明了模型的有效性。

(四)殘差序列的ARCH效應(yīng)檢驗

這里的殘差是均值方程產(chǎn)生的殘差序列。

1.殘差序列的純隨機性檢驗

經(jīng)Q統(tǒng)計量檢驗，自相關(guān)函數(shù)值和偏自相關(guān)函數(shù)值均落在2個標(biāo)準(zhǔn)差內(nèi)，并且Q統(tǒng)計量的p值都很大，說明殘差是一個獨立白噪聲序列，因此可以對收益率數(shù)列建立如下的回歸形式模型:rt= φ1rt－1+ εt－ θ1εt－1。

2.殘差平方項的純隨機性檢驗

對殘差的平方進行純隨機性檢驗可以檢驗出殘差序列是否存在ARCH效應(yīng)，用ARCH—LM檢驗結(jié)果如表2。

表2 滯后階數(shù)為10時的ARCH—LM檢驗結(jié)果

明顯的LM檢驗的統(tǒng)計量的P值很小，在5%的顯著性水平下拒絕原假設(shè)，即殘差平方序列是非白噪聲序列，存在條件異方差。

(五)GARCH模型的參數(shù)估計

由上文分析，可以對收益率數(shù)據(jù)建立波動率模型。我們嘗試著將滯后階數(shù)p和q取不同值以擬合模型，發(fā)現(xiàn)GARCH(1，1)模型較好(系數(shù)顯著，AIC值最小)，這與一般情況下對金融收益率時間序列應(yīng)該擬合GARCH(1，1)模型的結(jié)論是一致的。參數(shù)估計采用的是Eviews默認(rèn)的極大似然估計法，結(jié)果如表3所示。

表3 GARCH(1，1)模型參數(shù)估計結(jié)果

表3中常數(shù)項的值很小，幾乎為零，這與實際數(shù)據(jù)是相符的。ARCH(1)和GARCH(1)項的系數(shù)非負(fù)，從而保證了條件方差的非負(fù)數(shù)要求，符合GARCH模型參數(shù)的約束條件。其顯著性檢驗統(tǒng)計量p值均很小，從而高度顯著，說明了深圳股票價格指數(shù)的收益率波動性的集聚性。ARCH(1)和GARCH(1)項的系數(shù)估計值^α，^β分別為0.067和0.918，^α1+^β1＜1，滿足GARCH模型的參數(shù)約束條件，從而說明隨機誤差項的條件方差能夠收斂于無條件方差0.00055。根據(jù)表4的輸出結(jié)果，可以寫出模型的估計結(jié)果如下:

圖1為上述模型的條件方差序列圖，它清晰地表明了收益率波動的集聚性。第50個至100個數(shù)據(jù)之間(2008年3月中旬至5月底)和170個至200個數(shù)據(jù)之間(2008年9月至10月底)共兩個時間段條件方差較大，從而表明深圳股票綜合價格指數(shù)在這兩個時間段存在較大波動，除此之外的其它時間段的條件方差較小。這與2008年突然爆發(fā)的金融危機對股市造成沖擊的實際情況是一致的。

圖1 條件方差的折線圖

(六)擬合效果檢驗

1.正態(tài)性檢驗

模型擬合好之后，需對模型的有效性進行檢驗。這里采用的檢驗工具是正態(tài)性檢驗。通過對擬合好之后的GARCH(1，1)模型的殘差進行自相關(guān)檢驗，如果殘差序列和殘差平方序列均不存在自相關(guān)，就認(rèn)為殘差是高斯白噪聲序列。表4的Q統(tǒng)計量的p值在5%的顯著性水平下均不能拒絕原假設(shè)，所以認(rèn)為GARCH(1，1)模型擬合較好。

表4 殘差序列自相關(guān)偏自相關(guān)函數(shù)和Q統(tǒng)計量檢驗結(jié)果

2.再次的ARCH效應(yīng)檢驗

對GARCH模型估計的殘差再次做LM檢驗，以確定GARCH(1，1)模型是否把異方差信息提取充分。LM檢驗結(jié)果表明LM統(tǒng)計量的p值很大，不能拒絕其原假設(shè)(不存在ARCH效應(yīng))，從而再一次說明模型對樣本數(shù)據(jù)異方差信息提取的充分性。

(七)預(yù)測

對樣本外數(shù)據(jù)為807－815的日收益率數(shù)據(jù)，模型的預(yù)測結(jié)果如圖2和圖3所示。

圖2 動態(tài)預(yù)測的條件方差

圖2 中條件方差在不斷增大，因為隨著預(yù)測期限的增加，預(yù)測值向其長期均值即無條件均值0.00055收斂。而圖3中采用靜態(tài)預(yù)測法的條件方差在最近幾步預(yù)測時條件方差較大，之后隨著預(yù)測階數(shù)的增加，其值越來越小。

四、結(jié)論

以上的實證分析表明深證綜合指數(shù)存在明顯的波動聚類現(xiàn)象和異方差現(xiàn)象等，而GARCH模型很好地刻畫了這些特征。除此之外，以上分析還表明2008年3月中旬至5月底和2008年9月至10月底，這兩個時間段深證綜合指數(shù)波動性較其他時間段大，體現(xiàn)了2008年突發(fā)的國際金融危機對我國的股票市場的沖擊，這種沖擊加劇了我國股票市場的波動。2008年11月以來，深圳股票市場波動相對趨緩，這與國家的宏觀調(diào)控密切相關(guān)。

圖3 靜態(tài)預(yù)測的條件方差

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