李二森，張保明，楊 娜，楊靖宇，郭曉剛

(信息工程大學(xué)測繪學(xué)院，河南鄭州450052)

非負矩陣分解在高光譜圖像解混中的應(yīng)用探討

李二森，張保明，楊 娜，楊靖宇，郭曉剛

(信息工程大學(xué)測繪學(xué)院，河南鄭州450052)

從線性混合模型與非負矩陣分解的定義出發(fā)，分析非負矩陣分解適用于高光譜圖像解混的原因，總結(jié)近年來學(xué)者們提出的基于非負矩陣分解的光譜解混算法，并重點對SC-NMF、MVC-NMF、APS-NMF算法步驟進行介紹與分析，最后總結(jié)非負矩陣分解及其應(yīng)用于混合像元分解所面臨的問題。

混合像元;光譜解混;非負矩陣分解;線性混合模型;端元

一、引 言

混合像元在高光譜圖像中廣泛存在，傳統(tǒng)的硬分類方法可能會產(chǎn)生不準確的分類結(jié)果，而子像元分類方法能夠提供更加精確的分類結(jié)果用于確定細小的特征。如何從混合像元廣泛存在的高光譜遙感圖像中準確地提取端元，并有效地對混合像元進行分解，已成為遙感圖像定量分析的一個重要研究課題。

總的來說，混合像元分解模型可以分為兩類，即線性光譜混合模型(linear spectral mixture model，LSMM)和非線性光譜混合模型(nonlinear spectral mixture model，NLSMM)。其中線性光譜混合模型的原理簡單、效率高、物理意義明確，因而得到廣泛的研究和應(yīng)用。

非負限制下的低階估計問題通常被稱作非負矩陣分解(nonnegative matrix factorization，NMF)，NMF的思想可以追溯到1994年P(guān)aatero和Tapper的文章［1］。Lee和Seung在一篇關(guān)于非監(jiān)督學(xué)習(xí)的文章［2］中也獨立地提出了NMF的概念，隨后他們發(fā)表在《自然》上的一篇文章給出了計算NMF的簡化算法［3］，用于解決人臉識別和語義分析中的問題，而且他們以矩陣的歐氏距離和K-L散度作為目標函數(shù)，證明了NMF算法的收斂性。目前，NMF在人臉識別、數(shù)據(jù)挖掘、數(shù)據(jù)壓縮、非負數(shù)據(jù)的解譯、語音信號處理和神經(jīng)生物學(xué)等領(lǐng)域中得到了廣泛應(yīng)用［4-5］。NMF的數(shù)學(xué)模型與線性光譜混合模型十分相似，為將NMF應(yīng)用于線性混合模型下的光譜解混提供了可能。文獻［6-7］將沒有附加任何限制的NMF直接應(yīng)用于光譜解混，在試驗中取得了一定的成果，文獻［8-10］結(jié)合非負矩陣分解分別提出了平滑限制非負矩陣分解(smoothness constrained nonnegative matrix factorization，SC-NMF)、最小體積限制的非負矩陣分解(minimum volume constraint nonnegative matrix factorization，MVC-NMF)和交互投影子梯度非負矩陣分解(alternating projected subgradients-nonnegative matrix factorization，APS-NMF)應(yīng)用于高光譜混合像元解混，在試驗中取得了較好的結(jié)果。

本文在分析線性光譜混合模型和NMF原理的基礎(chǔ)上，對NMF在光譜解混中的應(yīng)用進行了研究，并對MVC-NMF、APS-NMF和SC-NMF三種算法進行了總結(jié)，最后分析了NMF及其應(yīng)用于光譜解混面臨的問題。

二、線性光譜混合模型

線性光譜混合模型的表達式為

式中，x為l(l為影像波段數(shù))維混合像元光譜，是已知觀測量;A為l×p(p為端元數(shù)目)端元矩陣或源矩陣，其中每一列為一個端元的光譜向量;向量s為該像元中各端元的豐度(abundance);ε為l維高斯隨機噪聲或模型誤差。如果將高光譜圖像的n個像元(n為像元個數(shù))均考慮進式(1)，則式(1)擴展為

式中，X∈Rl×n，其列向量為每個像元的光譜;S∈Rp×n，構(gòu)成豐度矩陣或混合矩陣。圖1為式(2)表示的線性混合模型示意圖。對于線性混合模型而言，豐度矩陣S存在兩個限制條件:非負性限制(sij≥0，i=1，2，…，p，j=1，2，…，n) 以及其和為1的限制

圖1 線性混合模型示意圖

三、非負矩陣分解

非負矩陣分解作為一種盲源分解(blind source separation，BSS)算法已經(jīng)廣泛應(yīng)用于人臉識別和語義分析中，其具體過程為:給定非負矩陣X∈Rm×n和正整數(shù)p(p＜min(m，n))，非負矩陣分解的任務(wù)是尋找元素均為非負的矩陣A∈Rm×p和S∈Rp×n，滿足

或等價地寫為

式中，Xj為X的第j列列向量;Sj∈Rp;參數(shù)p為矩陣A的期望秩，并且一般情況下p為先驗信息或者可以由數(shù)據(jù)X確定。一般認為A的列向量代表了數(shù)據(jù)X中潛在的信息，如具有物理意義的非負成分。這一特性使得非負矩陣分解廣泛使用于數(shù)據(jù)分析、降維、特征提取、目標識別中。

解決NMF問題的很自然的方法就是通過最小化Y和AS之間的歐氏距離來尋找最優(yōu)化途徑。

式中，符號‖‖2F代表Frobenius模。

對于代價函數(shù)式(6)，許多文獻提出了學(xué)習(xí)準則，其中解決這個最優(yōu)化問題的常用方法是文獻［3］中提出的乘法準則。該算法從兩個正矩陣開始，每次迭代過程中，將A和S的元素乘以一些正因子，以證明該方法 Y－AS2F在乘法準則下單調(diào)非增。為了加速NMF的迭代算法過程，文獻［4］提出了一種投影梯度限制的優(yōu)化算法。非負矩陣分解經(jīng)常遇到的問題就是局部最優(yōu)，很明顯的是，如果矩陣D為可逆矩陣，則AS=(AD)(D－1S)，因此NMF主要依賴于初始化和特定的學(xué)習(xí)策略。在很多應(yīng)用中，需要通過增加限制條件來減輕NMF結(jié)果的非唯一性，將式(2)與式(3)比較不難發(fā)現(xiàn)，NMF具有使用于混合像元分解的潛力。

四、非負矩陣分解在光譜解混中的應(yīng)用

混合像元分解的步驟主要包括數(shù)據(jù)降維、端元提取和豐度估計三部分，其中端元提取是混合像元分解的關(guān)鍵。端元提取算法的分類方法較多:根據(jù)是否假定光譜數(shù)據(jù)中存在純像元，端元提取算法可分為兩類:端元識別算法(endmember identification algorithm，EIA)和端元生成算法(endmember generation algorithm，EGA)，EIA直接從光譜數(shù)據(jù)中提取端元(即假定影像中存在純像元)，算法的理論一般比較簡單，而EGA是從光譜數(shù)據(jù)中產(chǎn)生端元，算法的過程較為復(fù)雜。對于多(或高)光譜數(shù)據(jù)而言，由于地面分辨率等因素的限制，在大多數(shù)情況下，數(shù)據(jù)中并不存在純像元，因此，相對而言EGA提取的端元精度較高。NMF與線性混合模型具有一定的相似性:NMF通過線性結(jié)合尋找近似原始數(shù)據(jù)的非負基向量集，這些基向量的作用類似于端元?；贜MF的光譜解混算法不需要假定純像元的存在，并且在提取端元的同時可以獲取相應(yīng)的豐度矩陣，屬于EGA算法。NMF適合應(yīng)用于高光譜數(shù)據(jù)解混，主要原因包括［5］:

1)高光譜數(shù)據(jù)的空間維數(shù)和光譜維數(shù)都很高;

2)高光譜數(shù)據(jù)本身、端元光譜及其豐度均為非負;

3)高光譜圖像中，波段數(shù)大于圖像中端元的個數(shù)。

文中重點對近年來學(xué)者們提出的 SC-NMF、MVC-NMF、APS-NMF算法步驟進行總結(jié)和分析。

1.SC-NMF算法

SC-NMF算法將平滑限制引入NMF中用于光譜解混、空間目標識別與分類。SC-NMF構(gòu)建的目標函數(shù)為

SC-NMF算法的更新準則為

1) 初始化矩陣 Ai，j＞ 0 ，hi，j＞ 0 ，?i，j;

2) 當 t=1，2，…(取最大迭代次數(shù))時則

由此可見，SC-NMF采用的是乘法更新準則，與非負矩陣分解的梯度下降算法、交互最小二乘算法相比，其效率不高。文獻［8］將SC-NMF算法應(yīng)用于空間目標識別并與LEE的NMF算法［3］結(jié)果進行了比較，試驗結(jié)果表明SC-NMF算法光譜解混的結(jié)果更優(yōu)。

2.MVC-NMF算法

MVC-NMF通過將體積限制加入到NMF中將最小二乘分析和凸面幾何結(jié)合起來。其提出的代價函數(shù)包括兩部分，一部分為估量觀測數(shù)據(jù)與端元和豐度重建數(shù)據(jù)之間的近似誤差，另一部分由最小體積限制組成。文獻［9］把這兩部分作為兩種力:外力(最小化近似誤差)使估計結(jié)果向點云外部移動，內(nèi)力(最小化單體體積)在相反方向上使端元盡可能地相互靠近。算法具體過程為:

1)構(gòu)建目標函數(shù)

式中，1p為元素全是1的p維列向量;1n為元素全是1的n維列向量;J(A)為懲罰項，計算用估計的端元構(gòu)成的單體體積;λ∈R。

2)初始化:從點云數(shù)據(jù)中隨機選擇p個點并將它們構(gòu)成A的初始值，S矩陣也可以隨機初始化，文獻［9］在試驗中將矩陣S初始化為零矩陣。

3)利用虛擬維(VD)估計端元數(shù)目p。

4)停止準則:給定迭代次數(shù)和誤差閾值。

5)根據(jù)一定準則計算能夠最小化目標函數(shù)的矩陣A、S，如果滿足停止準則，則迭代停止，否則，更新矩陣A、S，繼續(xù)尋找最小化目標函數(shù)的矩陣。

3.APS-NMF算法

APS-NMF算法認為鄰域像素具有相似的豐度信息作為懲罰項引入NMF用于高光譜圖像解混。APS-NMF的目標函數(shù)為

式中，Si表示豐度矩陣 S的列向量;表示第i個像素的鄰域像素集。APSNMF利用交互投影梯度算法求解函數(shù)f(A，S)的最優(yōu)解。文獻［10］將APS-NMF算法應(yīng)用于 AVIRIS高光譜數(shù)據(jù)，取得了一定的試驗成果。

因為高光譜圖像空間分辨率較低，鄰域像素或許會差別比較大，將每個像素均同樣考慮鄰域像素的豐度相似性似乎不妥。

五、非負矩陣分解及其應(yīng)用于光譜解混面臨的困難

本文分析了線性混合模型與非負矩陣分解的定義及特點，總結(jié)了NMF適合應(yīng)用于高光譜圖像解混的原因，重點對近年來的 SC-NMF、MVC-NMF、APS-NMF算法步驟進行了介紹與分析。雖然人們針對非負矩陣分解開展了不少的研究，并且在實際中取得了很好的應(yīng)用，但非負矩陣分解及其應(yīng)用于光譜解混仍然面臨一些問題。

1)初始化方法:好的初始化方法能夠提高算法運行的速度、加快算法收斂，目前大多數(shù)算法還只是采用隨機初始化方法進行初始化;

2)子空間選擇:到目前為止，還沒有確定最優(yōu)p值(非負矩陣分解的最低階數(shù))的方法，該問題比較困難且常取決于實際應(yīng)用;

3)最優(yōu)化問題:目前，所有的NMF方法都存在該缺點，即求取的結(jié)果并非全局最優(yōu)，而是局部最優(yōu)解;

4)并行算法研究:由于大多數(shù)NMF方法存在雙線性特性，因此可以研究非負矩陣分解的并行算法，提高算法的效率。

［1］PAATERO P，TAPPER U.Positive Matrix Factorization:A Non-negative Factor Model with Optimal Utilization ofError Estimates of Data Values［J］.Environmetrics，1994(5):111-126.

［2］LEE D D，SEUNG H S.Unsupervised Learning by Convex and Conic Coding［J］.Advances in Neural Information Processing Systems，1997(9):515-521.

［3］LEE D D，SEUNG H S.Learning the Parts of Objects by Nonnegative Matrix Factorization［J］.Nature，1999，401(10)，788-791.

［4］GILLIS N，GLINEUR F.Using Underapproximations for Sparse Nonnegative Matrix Factorization［J］.Pattern Recognition，2010，43(4):1676-1687.

［5］賈森.非監(jiān)督的高光譜圖像解混技術(shù)研究［D］.杭州:浙江大學(xué)，2007.

［6］MASALMAH Y M.Unsupervised Unmixing of Hyperspectral Imagery Using the Constrained Positive Matrix Factorization［D］.Puero Rico:The University of Puerto Rico Mayaguez Campus，2007.

［7］PARRA L C，SAJDA P，DU S.Recovery of Constituent Spectra Using Non-negative Matrix Factorization［J］.SPIE Proceedings，2003，5207(11):321-331.

［8］PAURA V P，PIPER J，PLEMMONS R J.Nonnegative Matrix Factorization for Spectral Data Analysis［J］.Linear Algebra and Applications，2006，416(7):29-47.

［9］MIAO L，QI H.Endmember Extraction from Highly Mixed Data Using Minimum Volume Constrained Nonnegative Matrix Factorization［J］.IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing，2007，45(3):765-777.

［10］ZYMNIS A，KIM S J，SKAF J，et al.Hyperspectral Image Unmixing via Alternating Projected Subgradients［C］∥Proceeding of 41st Asilomar Conference on Signals，Systems，and Computers.Pacific Grove，CA:［s.n.］，2007.

Discussion of the NMF’s Application for Hyperspectral Imagery Unmixing

LI Ersen，ZHANG Baoming，YANG Na，YANG Jingyu，GUO Xiaogang

0494-0911(2011)03-0007-04

P237

B

2010-01-08;

2010-06-23

礦山空間信息技術(shù)國家測繪局重點實驗室(河南理工大學(xué)，河南省測繪局)開放基金資助項目(KLM200904)

李二森(1984—)，男，河南新安人，博士生，主要研究方向為高光譜圖像處理和模式識別。