胡斌彬

（重慶師范大學(xué)，重慶 401331）

馬爾科夫預(yù)測(cè)是利用現(xiàn)在的狀態(tài)去預(yù)測(cè)將來(lái)的狀態(tài)，因此它在預(yù)測(cè)上面的應(yīng)用十分廣泛。馬爾可夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣不僅可以描述研究對(duì)象的發(fā)展演變情況，而且還常被用于各種預(yù)測(cè)。本文將借助馬爾可夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣來(lái)研究未來(lái)幾年四川各地區(qū)的小康情況。

1 馬爾科夫鏈轉(zhuǎn)移概論矩陣的意義

馬爾科夫的一步轉(zhuǎn)移概論P(yáng)ij表示的意義是：變量現(xiàn)在處于狀態(tài)i，下一個(gè)狀態(tài)處于j的概率。比如，今年某產(chǎn)品的市場(chǎng)占有率處于狀態(tài)i，在明年的狀態(tài)可能會(huì)發(fā)生變化，處于狀態(tài)j，這發(fā)生的概率就是一步轉(zhuǎn)移概率，即是表示隨機(jī)現(xiàn)象朝某個(gè)方向發(fā)生變化的可能性的大小。我們考慮到馬爾科夫鏈的所有可能的m個(gè)狀態(tài)空間一步轉(zhuǎn)移概率Pij，就構(gòu)成了一步轉(zhuǎn)移概率矩陣。

2 四川省各地區(qū)人均GDP實(shí)證分析

四川省各地區(qū)2007-2009年人均GDP，可參見(jiàn)中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒。由于現(xiàn)在國(guó)內(nèi)還沒(méi)有對(duì)小康的評(píng)價(jià)做出統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，世界銀行《1990年世界發(fā)展報(bào)告》中按照人均GDP將各個(gè)國(guó)家或地區(qū)分別劃分為貧困、溫飽、小康、富裕、和發(fā)達(dá)型國(guó)家或地區(qū)五種類型。在評(píng)價(jià)國(guó)家小康的問(wèn)題上，采用了12項(xiàng)指標(biāo)，其中人均DGP和恩格爾系數(shù)是兩項(xiàng)重要指標(biāo)，現(xiàn)在我們利用人均DGP指標(biāo)，再利用馬爾科夫預(yù)測(cè)法來(lái)分析國(guó)家未來(lái)幾年的人均DGP。根據(jù)四川省的實(shí)際情況和國(guó)內(nèi)比較普遍的觀點(diǎn)，按照如下標(biāo)準(zhǔn)劃為五種狀態(tài)：

I1為貧困 （人均 GDP300美元以下）；I2為溫飽 （人均GDP300美元～800美元）；I3為小康（人均 GDP800美元～1500美元）；I4為 （人均 GDP1500～3000 美元）；I5為發(fā)達(dá) （人均GDP3000美元以上）。

根據(jù)馬爾科夫鏈的定義和性質(zhì)，考察特定年份的一組各市人均GDP情況，其變化時(shí)一種隨機(jī)的過(guò)程，且具有“無(wú)后效性”的性質(zhì)，因此視為以年為變化單位的一個(gè)馬爾科夫過(guò)程。

各地區(qū)按照人均GDP情況分為貧困地區(qū)、溫飽地區(qū)、小康地區(qū)、富裕地區(qū)、、和發(fā)達(dá)地區(qū)（見(jiàn)表2）。計(jì)算的方法是將人民幣按照當(dāng)年不同的匯率兌換成美元計(jì)算，本文取當(dāng)年12月月底的兌換率（其中2009年的兌換率是一美元兌換6.831的人民幣、2008年的兌換率是6.8346和2007年的兌換率是7.347）。

表1 四川省各地區(qū)2007年人均GDP類型統(tǒng)計(jì)表

表1表示的是，2009年貧困地區(qū)數(shù)為0，溫飽地區(qū)數(shù)為0，小康地區(qū)數(shù)為4（廣元市、巴中市、阿壩縣和甘孜縣），富裕地區(qū)數(shù)為13，發(fā)達(dá)地區(qū)數(shù)為3（成都市、攀枝花市、德陽(yáng)市），總數(shù)20表示的是四川所有要研究的地區(qū)數(shù)為20，其余的數(shù)據(jù)表示的意思類同。

我們對(duì)2007～2008年和2008～2009年的轉(zhuǎn)移概率矩陣取平均值，可得一步轉(zhuǎn)移概率為：

對(duì)于上述轉(zhuǎn)移概率矩陣求極限，由于只存在一種吸收狀態(tài)——發(fā)達(dá)地區(qū)，因?yàn)殡S時(shí)間的增加，最終所有地區(qū)的小康水平必會(huì)達(dá)到發(fā)達(dá)水平。

假設(shè) Xk=（X1k，X2k，X3k，X4k，X5k）表示第K年各種人均 GDP狀態(tài)的地區(qū)數(shù)，X0=（X10，X20，X30，X40，X50）=（0，1，5.6667，11,2.3333） 表示的是 2007-2009 年三年間平均各地區(qū)人均GDP的狀態(tài)數(shù)。

若要計(jì)算第K年各種人均GDP狀態(tài)的地區(qū)數(shù)，則可根據(jù)以下公式得出：Xk=X0×Pk（其中表示的是一步轉(zhuǎn)移概率矩陣的k次方）。比如我們計(jì)算2010年各種人均GDP狀態(tài)的地區(qū)數(shù)則有：X1=X0×P1，帶入數(shù)據(jù)則可計(jì)算出2010年各狀態(tài)的地區(qū)數(shù)是：X1=（0，0，2.925，12.9173，4.1577）。

即2010年，四川沒(méi)有貧困地區(qū)數(shù)，溫飽地區(qū)數(shù)也為0個(gè)，小康地區(qū)數(shù)為2.925個(gè)（即接近三個(gè)地區(qū)為小康地區(qū)），富裕地區(qū)數(shù)為12.9173（即接近13個(gè)地區(qū)為富裕地區(qū)），發(fā)達(dá)地區(qū)數(shù)為4.1577個(gè)（即接近4個(gè)地區(qū)為發(fā)達(dá)地區(qū)）。

3 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)本例，很明顯可以看出，馬爾科夫鏈在生活中，只需要最近和現(xiàn)在的數(shù)據(jù)便可對(duì)未來(lái)數(shù)據(jù)的改變趨勢(shì)作出有效的預(yù)測(cè)，即對(duì)將來(lái)預(yù)測(cè)是很可靠也很可行的，以后在各個(gè)領(lǐng)域?qū)︸R爾科夫鏈的使用也會(huì)越來(lái)越廣泛的。

[1]孫榮恒.隨機(jī)過(guò)程及其應(yīng)用[M].北京:清華大學(xué)出版社,2003.

[2]樊平毅.隨機(jī)過(guò)程理論與應(yīng)用[M].北京:清華大學(xué)出版社,2005,(8).

[3]Samuel Karlin Howard M.Taylor.隨機(jī)過(guò)程初級(jí)教程[M].北京：人民郵電出版社，2007,(9)

[4]A.T.BHARUCHA-REID.馬爾科夫過(guò)程初步及其應(yīng)用[M].上海：上?？萍技夹g(shù)出版社，1979.

[5]陸大金.隨機(jī)過(guò)程及其應(yīng)用[M].北京：清華大學(xué)出版社，1986.