蘇 強, 程財生

(1.連云港師范高等?？茖W校,江蘇連云港 222006; 2.防化指揮工程學院數(shù)學教研室,北京 102205)

關(guān)于一類連續(xù)型隨機變量的最優(yōu)區(qū)間問題

蘇 強1, 程財生2

(1.連云港師范高等?？茖W校,江蘇連云港 222006; 2.防化指揮工程學院數(shù)學教研室,北京 102205)

設(shè)隨機變量的概率密度函數(shù)為R(Rn)上連續(xù)函數(shù),給出最優(yōu)區(qū)間(區(qū)域)的概念,討論最優(yōu)區(qū)間(區(qū)域)的必要條件,并且以四個實例說明最優(yōu)區(qū)間的求解思路.

連續(xù)型隨機變量; 最優(yōu)區(qū)間; 最優(yōu)區(qū)域; 概率密度函數(shù)

1 引言和結(jié)果

在講授概率論這門課程時,我們經(jīng)常會遇到許多具有相同概率的事件,特別是在同一隨機變量的情況下,實數(shù)集R的不同可測子集所對應(yīng)事件的概率有時是相同的[1]1后者引起了我們的興趣,這促使我們提出了一個關(guān)于給定概率的最優(yōu)可測集的問題,即:設(shè)連續(xù)型隨機變量ξ,對于任意給定α(0< α<1),考慮所有概率等于α的事件A,問在什么條件下,數(shù)集ξ-1(A)測度最小以及如何找出測度最小的ξ-1(A)?簡言之,尋找最小測度的數(shù)集,使其對應(yīng)事件的概率為預(yù)先給定值?對于一般的隨機變量來說,這個問題比較復雜1在本文中我們就一類簡單的情形給出上述問題的一個解答1

下面定義連續(xù)型隨機變量的最優(yōu)區(qū)間概念:

定義2 設(shè)ξ是一連續(xù)型隨機變量,對于任意給定的α(0<α<1),如果存在區(qū)間[c,d]為使等式成立的長度最小的區(qū)間,則稱[c,d]為最優(yōu)區(qū)間1

根據(jù)定義1,等式(3)可表示為F(d)-F(c)= α 1又知連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)F(x)具有三個基本性質(zhì):①F(x)是實數(shù)集R上的連續(xù)函數(shù);②F(x)是單調(diào)不減的;③=11因此滿足等式(3)的區(qū)間存在,并有無窮多個1

關(guān)于最優(yōu)區(qū)間的存在性,本文中不作詳細分析1下面給出一類連續(xù)型隨機變量關(guān)于某個給定概率的最優(yōu)區(qū)間問題的一個必要條件:

定理1 設(shè)ξ是一連續(xù)型隨機變量,概率密度函數(shù)為p(x),x∈(-∞,+∞)1如果p(x)是一連續(xù)函數(shù),對于任意給定的α(0<α<1),使得[a,b]為最優(yōu)區(qū)間的必要條件為p(a)=p(b)1

2 定理1的證明與應(yīng)用舉例

證明:采用反證法1假設(shè)p(a)≠p(b)1不妨設(shè)p(a)

從而P(x)-P(a)>01這樣,就能縮短區(qū)間[x, x+b-a]的長度,因而比[a,b]的長度小,這與[a, b]的長度最小相互矛盾1所以p(a)=p(b)1

定理1給我們提供了一個比較有效的辦法去尋找給定概率的最優(yōu)區(qū)間,下面結(jié)合實例來分析.

例1 設(shè)隨機變量ξ～N(a,σ2),解釋其最優(yōu)區(qū)間情況.

解:對于正態(tài)分布ξ,知其概率密度是關(guān)于x=a對稱的,結(jié)合上面的定理,我們知道其最優(yōu)區(qū)間是關(guān)于x=Eξ=a對稱的,并且最優(yōu)區(qū)間是惟一的1根據(jù)標準正態(tài)分布表,容易求出給定概率的最優(yōu)區(qū)間.

例2 設(shè)隨機變量η～p(x),其中

給定概率后,可知其最優(yōu)區(qū)間關(guān)于x=0對稱,觀察概率密度函數(shù)p(x)的圖像[2](見圖1),容易推出最優(yōu)區(qū)間也是惟一的1但p(x)的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表出,所以不能具體寫出最優(yōu)區(qū)間.

圖1

注:(1)在上面兩個例子中最優(yōu)區(qū)間是惟一的,而有時最優(yōu)區(qū)間未必惟一;

(2)在實際問題中,可能為最優(yōu)區(qū)間的區(qū)間個數(shù)僅有有限個,只需在他們之間做簡單分析就能找出所求的最優(yōu)區(qū)間1因此,對于滿足定理1條件的隨機變量,我們都能通過必要條件找出給定概率的最優(yōu)區(qū)間,再做一些比較,就能找出最優(yōu)區(qū)間;

(3)一些常用的連續(xù)型隨機變量其最優(yōu)區(qū)間是比較容易求得,如指數(shù)分布ξ～exp(λ)1

3 定理1的推廣與應(yīng)用

下面給出上述理論在高維的推廣.

定義3 設(shè)η是一n維連續(xù)型隨機變量,對任意給定的α(0<α<1),如果存在一區(qū)域D為使得式P{ω∈Ω|η(ω)∈D}=α成立的長度最小的區(qū)間,則稱區(qū)域D為最優(yōu)區(qū)域.

定理2 設(shè)η是多元連續(xù)型隨機變量,概率密度函數(shù)為p(x1,x2,…,xn),其中(x1,x2,…xn)∈Rn,如果p(x1,x2,…,xn)是Rn上連續(xù)函數(shù),對于任意給定的α(0<α<1),使得閉區(qū)域D為最優(yōu)區(qū)域的必要條件為p(a)=p(b),其中a,b∈5D.

證明 采用反證法1假設(shè)存在兩點a,b∈5D,使得p(a)≠p(b)1可不妨設(shè)p(a)0,使得當|a-x|< δ和|b-y|<δ時,有|p(a)-p(x)|<ε0,|p(b) -p(y)|<ε0.

這樣,就能找到更小的區(qū)域,從而導致矛盾.因此定理證畢.

注:(4)從幾何的角度看,定理2的最優(yōu)區(qū)域D的邊界5D是概率密度函數(shù)p(x1,x2,…,xn)的等高線[3](或等高面);

(5)相對于一維連續(xù)型隨機變量,多維連續(xù)型隨機變量的最優(yōu)區(qū)域更復雜些.

例3 設(shè)二維隨機變量(ξ,η)～p(x,y),其中

解:聯(lián)合密度函數(shù)p(x,y)是平面上連續(xù)函數(shù),由定理2可知,最優(yōu)區(qū)域是以原點為中心的圓盤.

對于給定的α(0<α<1),設(shè)所對應(yīng)的圓盤Da的半徑為t,則有

[1]李賢平.概率論[Z].北京:高等教育出版社,1998.

[2]王昆揚.簡明數(shù)學分析[Z].北京:高等教育出版社, 2001.

[3]威廉·費勒.概率論及其應(yīng)用(第三版)[M],北京:人民郵電出版社,2006.

[4]Г.М.菲赫金哥爾茨.微積分學教程(第八版)第一卷[Z].北京:高等教育出版社,2006.

Abstract:This paper discusses a necessary condition for the optimal interval(optimal region)of certain continuous random variable with a given probability and illustrates the solving approaches of the optimal interval via four examples.

Key words:continuous random variables; optimal interval; optimal region; probability density function

On the Optimal Interval of Certain Continuous Random Variables

SU Qiang1, CHENG Cai-sheng2

(1.Lianyungang Teachers'College,Lianyungang,Jiangsu 222006;
2.Institute of Chemical Defense,Beijing 102205)

O211.5

A

1671-9743(2011)02-0030-03

2010-01-20

蘇 強(1976-),男,江蘇贛榆人,連云港師范高等?？茖W校講師,碩士研究生,主要研究高等數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學;

程財生(1978-),男,江西九江人,北京防化指揮工程學院講師,碩士研究生,主要研究基礎(chǔ)數(shù)學1