王彥青, 魏連鑫

(上海理工大學(xué)理學(xué)院,上海 200093)

一種改進(jìn)的小波閾值去噪方法

王彥青, 魏連鑫

(上海理工大學(xué)理學(xué)院,上海 200093)

介紹了基于閾值選取的小波去噪原理及實現(xiàn)方法,并對傳統(tǒng)的軟、硬閾值方法進(jìn)行分析,提出一種改進(jìn)的閾值函數(shù).實驗結(jié)果表明,新方法能有效地減少平穩(wěn)信號與非平穩(wěn)信號中產(chǎn)生的震蕩和恒定偏差的影響,去噪效果優(yōu)于傳統(tǒng)方法.

小波分析;閾值去噪;信噪比;均方差

小波去噪作為小波分析在信號處理領(lǐng)域的重要應(yīng)用之一,其優(yōu)越性在于小波變換能同時在時域和頻域?qū)π盘栠M(jìn)行分析,實現(xiàn)自動變焦的功能,因此,能有效地區(qū)分信號中的突變部分和噪聲,從而達(dá)到很好的去噪效果.目前,基于小波分析的去噪方法主要有比例萎縮去噪、相關(guān)法去噪和閾值去噪這3種.其中,閾值去噪方法是Donoho在1995年提出的一種簡單有效的小波去噪方法[1],該方法在Besov空間上可得到最佳估計值,而其他線性估計都不能得到同樣的結(jié)果,因此,在信號去噪領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[2].

1 基于小波分析的閾值去噪方法

信號和噪聲在小波域中的表現(xiàn)形態(tài)不同,即它們的小波分析幅值隨尺度變化呈現(xiàn)出不同的變化趨勢.隨著尺度的增加,噪聲的幅值很快衰減為零,而真實信號的幅值基本不變.小波去噪就是根據(jù)這一機理,在小波域采取有效的數(shù)學(xué)方法盡量多地剔除由噪聲產(chǎn)生的系數(shù),同時最大限度地保留真實信號系數(shù),最后由經(jīng)過處理的小波系數(shù)重構(gòu)信號,即去噪后的信號.

目前,閾值去噪法是小波去噪應(yīng)用最廣泛的方法之一.基于上述理論,Donoho和Johnstone等從理論上證明了它在極小化極大意義上的近似最優(yōu)性,它的理論依據(jù)是,屬于Besov空間的信號的能量主要集中在小波域內(nèi)有限的幾個系數(shù)中,而噪聲的能量卻分布在整個小波域內(nèi),因此,經(jīng)過小波分解后,信號的小波變換系數(shù)要大于噪聲的系數(shù),于是,可以選取適當(dāng)?shù)拈撝礣,當(dāng)小波系數(shù)小于T時,認(rèn)為這時的系數(shù)主要是由噪聲引起的,并置為零,予以舍棄;當(dāng)小波系數(shù)大于T時,則認(rèn)為主要是由信號引起的,將其直接保留或按某一固定量向零收縮,然后由新的小波系數(shù)進(jìn)行重構(gòu),得到去噪的信號,從而實現(xiàn)信號和噪聲的分離.

2 小波閾值去噪實現(xiàn)步驟

可將含噪聲的一維信號表示為

式中,f(i)為原始信號;y(i)為含噪信號;z(i)為高斯白噪聲,z(i)～N(0,σ)

式中,Df(j,k)為小波系數(shù),為了方便起見,記為d j,k;φ(2-jn-k)為尺度函數(shù);k為尺度函數(shù)平移的單位數(shù).

小波去噪過程即從信號y(i)中將噪聲z(i)除去,得到原始信號f(i)的最佳逼近.

2.1 Donoho提出的小波閾值去噪算法

a.選定合適的小波函數(shù)和分解尺度j,對含噪信號y(i)進(jìn)行小波分解,得到尺度系數(shù)c j,小波系數(shù)d1,d2,…,d j.2;σ為噪聲強度.

對于一維信號來說,首先對其進(jìn)行離散采樣得到N點離散信號f(n),n=0,1,2,…,N,其小波變換為

式中,{g n}為低通濾波器;{h n}為高通濾波器;N為采樣點集.

b.保留所有尺度系數(shù)c j,對各尺度的小波系數(shù)選定一個閾值T,并利用閾值函數(shù)進(jìn)行處理,得到小波系數(shù),,…,.

c.由c j和處理后的小波系數(shù)利用式(2)進(jìn)行重構(gòu),得到去噪后的信號f(i).

2.2 閾值T的選取

小波閾值去噪方法的關(guān)鍵是對閾值的具體估計.閾值選取的優(yōu)劣直接影響到去噪的效果,本文閾值設(shè)定為

式中,σn為噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差;N為信號長度(采樣點集).

該閾值選取方法是Donoho在1994年提出的,并證明了這種估計在信號屬于Besov集時在大量風(fēng)險函數(shù)下獲得近似理想的去噪風(fēng)險[3].

2.3 閾值函數(shù)的選取

對于上述的閾值T,閾值函數(shù)的選取體現(xiàn)了對超過和低于閾值的小波系數(shù)模的處理策略和估計方法的不同,最為常用的是硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù).

用軟、硬閾值函數(shù)對各尺度的小波系數(shù)進(jìn)行處理

軟閾值函數(shù)

硬閾值函數(shù)

式中,為閾值化小波系數(shù);d j,k為小波系數(shù).

從圖1可以看出,軟閾值函數(shù)是硬閾值函數(shù)的擴展,它首先將絕對值小于閾值T的系數(shù)置為零,然后將其余系數(shù)向零進(jìn)行縮進(jìn).硬閾值函數(shù)可以很好地保留信號的局部特征,但由于硬閾值在±T處不連續(xù),因此,信號在重構(gòu)的時候可能會產(chǎn)生一些震蕩;軟閾值函數(shù)在T處是連續(xù)的,重構(gòu)信號比較光滑,但當(dāng)小波系數(shù)較大時,處理前和處理后的小波系數(shù)之間總存在較大的恒定偏差,從而影響重構(gòu)信號與真實信號的逼近程度.

圖1 硬閾值函數(shù)與軟閾值函數(shù)作用下的小波系數(shù)Fig.1 Wavelet coefficients by the role of hard and soft threshold function

3 改進(jìn)的閾值函數(shù)

由以上分析可知,軟、硬閾值函數(shù)去噪方法本身還存在一些缺陷,從而制約了小波閾值去噪方法的廣泛應(yīng)用.本文將兩者結(jié)合,采用改進(jìn)后的閾值函數(shù)

其中,α∈[0,1],α取0或1時式(5)分別為硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù).

圖2為當(dāng)α=0.5時的函數(shù)圖像,可以看出,改進(jìn)的閾值函數(shù)中的因子α的不同取值可控制其在軟、硬閾值函數(shù)之間變動,對于縮小原始信號和去噪信號之間的恒定偏差以及減少信號震蕩起到調(diào)節(jié)控制作用[4].新閾值函數(shù)是一個更優(yōu)、更靈活的選擇,只要在0和1之間調(diào)整α的大小,就可以獲得更好的去噪效果.

圖2 改進(jìn)的閾值函數(shù)與軟、硬閾值函數(shù)Fig.2 Modified threshold function,soft and hard threshold function

4 MATLAB仿真數(shù)值實驗

在實驗中分別采用軟、硬閾值函數(shù)和改進(jìn)閾值函數(shù)對兩個加入白噪聲的周期信號與非平穩(wěn)信號進(jìn)行去噪處理.

選取db3小波,該小波是具有三階消失矩的緊支集正交小波,能夠避免頻域區(qū)間被截斷,適用于提取不同頻率范圍的步信息,對染噪信號進(jìn)行5層分解,選取相同的閾值,作用于3個閾值函數(shù),然后對閾值化后的小波系數(shù)進(jìn)行重構(gòu)得到去噪信號,結(jié)果如圖3和圖4(見下頁)所示.

圖3 周期信號經(jīng)3種閾值函數(shù)去噪后的效果圖Fig.3 Periodic signal by three threshold de-noising functions

由圖3和圖4可以看出,利用改進(jìn)的閾值函數(shù)處理后的平穩(wěn)信號與非平穩(wěn)信號和原信號相差無幾,且信號逼近程度高,并有效地抑制了振蕩現(xiàn)象,波形平滑,損失較小.

表1和表2為3種閾值函數(shù)的峰值信噪比和均方誤差的對比.峰值信噪比λ和均方誤差σ[5]分別為

式中,f(i)為原始信號;s(i)為去噪信號;N為信號長度.

圖4 非平穩(wěn)信號經(jīng)3種閾值函數(shù)去噪后的效果圖Fig.4 Non-stationary signal denoising by three threshold functions

表1 3種閾值函數(shù)對周期信號去噪的峰值信噪比和均方誤差比較Tab.1 Periodic signal de-noising by three threshold functions PSNR and MSE

表2 3種閾值函數(shù)對非平穩(wěn)信號去噪的峰值信噪比和均方誤差比較Tab.2 Non-stationary signal de-noising by three threshold functions PSNR and MSE

從表1和表2中的數(shù)據(jù)對比結(jié)果可見,硬閾值函數(shù)要比軟閾值函數(shù)去噪效果好,這是因為軟閾值函數(shù)得到的去噪信號圖象雖然比較平滑,但損失了更多原始信號信息,而本文提出的改進(jìn)后的閾值函數(shù)與軟、硬閾值函數(shù)對比具有最佳的去噪性能.另外,表1和表2中的計算結(jié)果也與小波分析的閾值設(shè)置有關(guān),如果閾值設(shè)置適中,它的去噪性能也將會有不同程度的提高.

5 結(jié)束語

由于噪聲和有用信號的頻率分布特點以及小波變換的時頻特性,使得小波信號去噪具有了更為突出的優(yōu)勢.本文根據(jù)小波閾值去噪的基本原理,結(jié)合軟、硬閾值去噪的方法,提出了一種改進(jìn)的閾值函數(shù),它結(jié)合了軟、硬閾值函數(shù)的優(yōu)點,又在一定程度上克服了這兩種方法的不足,具有更好的靈活性和數(shù)學(xué)特性.從實驗對比可以看出,其對周期信號和非平穩(wěn)信號的去噪效果均優(yōu)于軟、硬閾值去噪方法.

[1] DONOHO D L.Denoising by soft threscholding[J].IEEE Trans on Inform Theory,1995,41(3):613-627.

[2] 向曉燕,譚子尤,張書真.基于小波的閾值消噪方法討論及實現(xiàn)[J].現(xiàn)代電子技術(shù),2007(17):172-173.

[3] DONOHO D L.Denoising orthonormal ridgelets and linear singualarities[J].SIAM J Math Anal,2000,31(5):1062-1099.

[4] MAX ZHOU C,KEMP I J.Interpretation of wavelet analysis and it sapplication in partial discharge detection[J].IEEE Trans on Dielect Ricsand Elect Rical Insulation,2002,9(3):446-457.

[5] DOWNIE T R,SILVERMAN B W.The discrete multiple wavelet transform and thresholding methods[J].IEEE Trans on Signal Processing,1998,46(9):2558-2561.

Analysis on modified wavelet threshold de-noising functions

WANGYan-qing, WEILian-xin
(College of Science,University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093,China)

For the wavelet threshold de-noising method,the threshold selection of wavelet was addressed based on de-noising principle,and the traditional soft and hard threshold methods were descussed.On this basis,the modified threshold function was introduced.The results of experimental simulations indicate that the modified de-noising method can reduce effectively the stationary and non-stationary signals generated by the impact of shocks and the constant bias.The new threshold function is of better de-noising capability than the traditional functions.

wavelet analysis;threshold de-noising;signal to noise ratio;mean square error

TP 391

A

1007-6735(2011)04-0405-04

2010-06-04

上海市高校選拔培養(yǎng)優(yōu)秀青年教師科研專項基金資助項目(5107341007)

王彥青(1984-),男,碩士研究生.研究方向:小波分析.E-mail:wyq198411@163.com魏連鑫(聯(lián)系人),男,講師.研究方向:小波分析.E-mail:weilianxin@usst.edu.cn