陳學(xué)志 羅 瑩

北京師范大學(xué) 北京 100875

探究彈簧勁度系數(shù)的影響因素

陳學(xué)志 羅 瑩

北京師范大學(xué) 北京 100875

在人教版《高中物理(必修)1》中關(guān)于彈簧勁度系數(shù)的引入是這樣敘述的：“彈簧彈力的大小F和彈簧伸長x(或壓縮)成正比，即：F=kx。”

式中的k為彈簧的勁度系數(shù)，單位是牛頓/米，單位符號(hào)N/m。生活中有時(shí)說彈簧“硬”，有的彈簧“軟”，指的就是它們的勁度系數(shù)不同。這個(gè)規(guī)律是英國科學(xué)家胡克發(fā)現(xiàn)的，叫做胡克定律。在高中物理課本中沒有對(duì)彈簧的勁度系數(shù)給出更多的解釋，這樣就使得中學(xué)生在學(xué)習(xí)高中物理時(shí)經(jīng)常產(chǎn)生這樣的問題：若把一個(gè)勁度系數(shù)為k的彈簧均分為二段，每段彈簧的勁度系數(shù)如何變化，原來一樣，均為k？還是不同？彈簧的勁度系數(shù)由什么決定的？

在大學(xué)物理課程中關(guān)于彈簧勁度系數(shù)的講解也很少，例如：在趙凱華著的《新概念物理教程》、梁紹榮和管靖著的《基礎(chǔ)物理學(xué)》等大學(xué)物理教材中均沒有涉及勁度系數(shù)與哪些因素有關(guān)的問題。由于這是一個(gè)比較容易理解的問題，教師僅在課堂上一帶而過，所以在大學(xué)基礎(chǔ)物理課程的作業(yè)中仍然會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)串聯(lián)彈簧的等效勁度系數(shù)等于兩個(gè)彈簧的勁度系數(shù)之和，這種不應(yīng)該出現(xiàn)的錯(cuò)誤。筆者力圖通過一系列簡單的實(shí)驗(yàn)說明彈簧的勁度系數(shù)與哪些因素有關(guān)？幫助學(xué)生改變頭腦中關(guān)于勁度系數(shù)的前概念，建立正確、清晰彈簧勁度系數(shù)的概念。

一、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

生活中最常見的彈簧之一為圓柱形的彈簧，對(duì)于這種圓柱形的彈簧，影響彈簧的勁度系數(shù)的因素應(yīng)包括原長、彈簧的半徑、制備彈簧所用的材料以及彈簧制造的工藝等。為了確定圓柱形彈簧的勁度系數(shù)與哪些因素有關(guān)，筆者采用控制變量的方法，分別選取4對(duì)彈簧(詳細(xì)情況見表1)作為測量對(duì)象，通過焦利氏秤(如圖1所示)分別測量它們的勁度系數(shù)。

表1 實(shí)驗(yàn)的圓柱形彈簧樣品

圖1

二、實(shí)驗(yàn)結(jié)果及其分析

對(duì)于表1中的彈簧，采用焦利氏秤測量彈簧的勁度系數(shù)的結(jié)果，見表2。

表2 測量的圓柱形彈簧的彈性系數(shù)

在表2中,對(duì)于第1對(duì)彈簧,它們的勁度系數(shù)分別為4.25N/m,4.21N/m,測量的不確定度均為0.07N/m。這說明當(dāng)圓柱形彈簧的原長、直徑以及制備彈簧的材料性質(zhì)相同時(shí),彈簧的勁度系數(shù)在測量誤差的范圍內(nèi)是相同的。第2對(duì)彈簧,兩個(gè)彈簧的原長不同,但其截面相同,其制備彈簧的材料性質(zhì)相同。彈簧2的原長比彈簧2’約短一半,彈簧2的勁度系數(shù)(N/m)比彈簧2’的(N/m)大近似為1倍。第3對(duì)彈簧,兩個(gè)彈簧的原長相同,其制備彈簧的材料性質(zhì)相同,但其直徑不相同。也就是說對(duì)于第3對(duì)彈簧,它們的圓柱形截面不同,表2中的數(shù)據(jù)顯示彈簧3的勁度系數(shù)比彈簧3’大,也就是直徑大的彈簧的勁度系數(shù)比直徑小的彈簧的勁度系數(shù)小。對(duì)于第4對(duì)彈簧,雖然它們的形狀、原長、直徑均相同,但是制備它們的材料不同,這也導(dǎo)致了它們的勁度系數(shù)差別很大。

上面的討論表明,彈簧的勁度系數(shù)與制備彈簧的材料性質(zhì)有關(guān)。制備彈簧的材料形狀包括制造彈簧的金屬絲(截面的性質(zhì)與大小)、金屬絲的材質(zhì)等因素,這些因素對(duì)于彈簧的勁度系數(shù)有重要的影響。此外,彈簧的勁度系數(shù)與彈簧的形狀有關(guān)。對(duì)于實(shí)驗(yàn)測量的圓柱形彈簧,彈簧的原長和其截面的直徑之間影響彈簧的彈性系數(shù)。表中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)顯示圓柱形彈簧的勁度系數(shù)與其原長、直徑均有關(guān)。原長越長,其勁度系數(shù)越小；直徑越大,其勁度系數(shù)越小。

通常來說，影響彈簧勁度系數(shù)的因素大體上可以分為兩類，一類為彈簧的形狀、大小等因素，例如：圓柱形(半徑、原長)、圓錐形(半徑、高)等因素；另一類是制備彈簧所用的材料形狀，如材料的彈性模量、剪切模量、彈簧絲等因素。簡單地可以概括為在彈性限度內(nèi)，彈簧的勁度系數(shù)表示彈簧的一種屬性，其大小與彈簧的材料，彈簧絲的粗細(xì)，彈簧圈的直徑，彈簧的原長等因素有關(guān)。此外彈簧所出的環(huán)境溫度對(duì)于其勁度系數(shù)也有影響，這是由制備彈簧的材料性質(zhì)所決定的。

在教學(xué)和生活中經(jīng)常使用的圓柱形彈簧，通常是由細(xì)絲線密繞而成。對(duì)于這類彈簧，當(dāng)彈簧原長遠(yuǎn)大于其半徑，彈簧的半徑遠(yuǎn)大于彈簧絲的半徑時(shí)，其勁度系數(shù)可以近似表示為

其中G為彈簧材料的剪切模量、r為彈簧絲半徑，n為有效圈數(shù)，R為彈簧的半徑。

有效圈數(shù)n與圓柱形彈簧的原長L的關(guān)系為L=2rn,因?yàn)檫@類彈簧是密繞而成的。將其代入上式得

由此可見，對(duì)于通常使用的圓柱形彈簧，其勁度系數(shù)與其原長成反比。表2中的第2對(duì)彈簧的測量結(jié)果證實(shí)了這個(gè)結(jié)論。依據(jù)這個(gè)結(jié)論，我們可以推算出如果將一個(gè)圓柱形的彈簧截成兩個(gè)原長相等的彈簧，那么得到的新彈簧的勁度系數(shù)比原來大還是??？答案應(yīng)該新彈簧的勁度系數(shù)是比原來大，而且比原來彈簧的勁度系數(shù)大一倍，因?yàn)閺椈傻脑L變?yōu)榱嗽瓉淼?/2。

對(duì)于這個(gè)問題，也可以這樣理解。原彈簧可以看作兩個(gè)“相同的半彈簧”串接，設(shè)原來的彈簧勁度系數(shù)為k，這兩個(gè)半勁度系數(shù)為k1=k2=k’。當(dāng)原彈簧受力變形時(shí)，每個(gè)“半彈簧”變形量為x，則整個(gè)彈簧變形為2x。則有彈簧受到的彈簧力為

如果把一根彈簧在其一半處折疊成一根雙股彈簧，則其彈簧的勁度系數(shù)為多少，等于原來的兩倍嗎？通過上面的推導(dǎo)可以得到這個(gè)彈簧的勁度系數(shù)為原來彈簧的4倍。

[1] 江昌龍.能量法求解彈簧的彈性系數(shù)[J].力學(xué)與實(shí)踐，2008，6

陳學(xué)志，大專，實(shí)驗(yàn)師。羅瑩，博士，副教授。