雙連續(xù)N次積分C－半群的逼近定理

秦喜梅， 錢 云

（巢湖學(xué)院數(shù)學(xué)系，安徽巢湖 238000）

雙連續(xù)N次積分C－半群的逼近定理

秦喜梅， 錢 云

（巢湖學(xué)院數(shù)學(xué)系，安徽巢湖 238000）

在C0半群和雙連續(xù)半群逼近定理的啟發(fā)下，討論了雙連續(xù)n次積分C－半群的逼近定理.

雙連續(xù)；n次積分C－半群；雙等度連續(xù)；生成元

1 引 言

近年來對有界連續(xù)（或一致連續(xù)）函數(shù)空間上半群的研究，引起了人們對Banach空間上非強連續(xù)半群的研究.Kǔhnemund在Banach空間上另外附加一個比范數(shù)拓撲粗的局部凸拓撲，使得半群在這個局部凸拓撲下強連續(xù)，由此提出了雙連續(xù)半群的概念，為半群理論的研究開辟了新的研究領(lǐng)域，說明了雙連續(xù)半群理論有很好的前景和研究價值.

本文討論的雙連續(xù)n次積分C－半群所在的空間要滿足：

設(shè)（X，‖·‖）是Banach空間，其共軛空間是X′，τ是X上的一個局部凸拓撲并具有如下性質(zhì)：

（i）空間（X，τ）在‖·‖－有界集上序列完備，即每個‖·‖－有界的τ－柯西列在（X，τ）中收斂；

（ii）拓撲τ比‖·‖－拓撲粗且τ是Hausdorff拓撲；

（iii）空間（X，‖·‖）中的范數(shù)可由空間（X，τ）′定義，即對每個x∈X，有

為了方便，記Φ＝｛φ∈（X，τ）′∶‖φ‖（X，‖·‖）′≤1｝.Pτ表示X上的局部凸τ拓撲τ所對應(yīng)的半范數(shù)族.由約定，不失一般性，假定p（x）≤‖x‖，?x∈X，p∈Pτ.

如不特別說明，本文中的積分均是在τ－拓撲意義下的積分，算子C∈B（X）為單射.

2 雙連續(xù)n次積分C－半群的概念和性質(zhì)

下面給出雙連續(xù)n次積分C－半群的定義.以下記（M，ω，C）表示空間X上的指數(shù)有界的雙連續(xù)n次分C－半群全體.

一般情形可以由歸納法證明.

（ii）由（i）易證.

（iii）由（i）知對任意x∈D（An＋1），有

對上式兩端關(guān)于t再求一次導(dǎo)數(shù)，得

3 雙連續(xù)n次積分C－半群的逼近定理

［1］Albanese A，Mangino E.Trotter－Kato theorems for bi－continuous semigroups and applications to Feller semigroups［J］.J.Math.Anal.Appl.，2004，289（2）：477－492.

［2］Kǔhnemund F.A Hille－Yosida theorem for bi－continuous semigroups［J］.Semigroup Forum，2003，67（2）：205－225.

［3］Xiao Tijun，Liang Jin.Approximation of Lapace transforms and integrated semigroups［J］.Joural of Function Analysis，2000，172（1）：202－220.

［4］Liang Jin，Xiao Tijun.Higher order abstract Cauchy problem：their existence and uniqueness families［J］.J.London Math.Soc.，2003，67（1）：149－164.

［5］Liang Jin，Xiao Tijun，Li Fang.Multiplicative perturbations of localC－regularized semigroups［J］.Semigroup Forum，2006，72（3）：375－386.

［6］Sun Guozheng.Representation theorem for mildC－existence families［J］.Northeast Math.，1999，15（4）：469－472.

［7］Delaubenfels R.，Sun Guozheng，Wang Shengwang.Regularized semigroups，existence families and the abstract Cauchy problem［J］.Differential Integral Equations，1995，8（6）：1477－1496.

［8］Lizama C.On the convergence and approximation of integrated semigroups［J］.Math.Anal.Appl.，1994，181（1）：89－103.

［9］Zheng Quan.Perturbation and approximations of integratedC－semigroups［J］.Acta.Math.Sinica，New Series，1993，9（3）：252－260.

［10］秦喜梅，葛國菊.指數(shù)有界的雙連續(xù)n次積分C－半群及其生成逼近定理［J］.大學(xué)數(shù)學(xué)，2008，24（3）：104－111.

The Approximation Theorem for Bi－ContinuousN－times IntegratedC－Semigroups

QINXi－mei，QIANYun
（Department of Mathematics，Chaohu College，Chaohu Anhui 238000，China）

Inspired by the approximation theorems forC0semigroups and bi－continuous semigroups，we discuss the approximation theorems for bi－continuousntimes integratedC－semigroups.

bi－continuous；Ntimes integratedC－semigroup；bi－equicontinuous；generator

O177

A

1672－1454（2011）04－0103－05

2008－09－09

安徽省教育廳自然科學(xué)研究項目（KJ2010B127；KJ2009B097）