周志勇，楊立坤，葛耀君

(1.同濟(jì)大學(xué)土木工程防災(zāi)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200092;2.天津市市政工程設(shè)計(jì)研究院，天津 300000)

0 引言

橋梁風(fēng)致振動(dòng)所有問(wèn)題從本質(zhì)上講是流體和結(jié)構(gòu)耦合振蕩所致的動(dòng)力相互作用問(wèn)題，是能量傳遞的問(wèn)題，對(duì)發(fā)散性的顫振表現(xiàn)地更加明顯。橋梁顫振失穩(wěn)可以分為單自由度(1DOF)扭轉(zhuǎn)顫振和兩自由度(2DOF)彎扭耦合顫振。Scanlan［1］提出可由8個(gè)氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)表征主梁斷面幾何外形的氣動(dòng)力特性，從工程應(yīng)用角度，Scanlan提出的氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)可確定大跨橋梁顫振穩(wěn)定性能。

值原Tacoma橋倒塌50周年之際，英國(guó) WYATT［2］提出:平板古典耦合顫振和鈍形斷面的分離流扭轉(zhuǎn)顫振是二種不同的機(jī)制，盡管通過(guò)風(fēng)洞試驗(yàn)?zāi)鼙ＷC安全的抗風(fēng)設(shè)計(jì)，但流體和結(jié)構(gòu)的相互作用機(jī)理是不清楚的。

目前，橋梁顫振機(jī)理的研究主要有三類(lèi)方法，分別是基于氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)的顫振驅(qū)動(dòng)機(jī)理分析方法、基于計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)(CFD)的方法及基于粒子圖像測(cè)速技術(shù)(PIV)的方法。

基于氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)的顫振驅(qū)動(dòng)機(jī)理分析方法首先通過(guò)節(jié)段模型風(fēng)洞試驗(yàn)識(shí)別的斷面氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)，然后進(jìn)行二維或三維顫振分析?；诜植椒治龅乃悸罚瑮钤佇溃?］用二維三自由度分析方法研究了二維橋梁節(jié)段模型扭轉(zhuǎn)、豎向和側(cè)向振動(dòng)參數(shù)(系統(tǒng)阻尼及系統(tǒng)剛度)同斷面氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)的定量關(guān)系及顫振發(fā)生點(diǎn)各個(gè)自由度運(yùn)動(dòng)的耦合效應(yīng)。

丹麥的 Larsen［4］利用二維隨機(jī)離散渦方法軟件(DVMFLOW)，顯示了原Tacoma橋斷面繞流流動(dòng)和結(jié)構(gòu)相互作用的全過(guò)程。研究表明旋渦沿主梁的漂移會(huì)使升力的作用點(diǎn)同時(shí)漂移，造成升力矩從正向負(fù)轉(zhuǎn)化，當(dāng)渦的間距和橋面跨度達(dá)到一定的配合關(guān)系將激起發(fā)散的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)。然而值得商榷的是，Larsen在數(shù)值計(jì)算中假定Tacoma橋的扭轉(zhuǎn)顫振風(fēng)速僅與旋渦的漂移速度相關(guān)且旋渦沿橋梁斷面(原Tacoma橋斷面)的漂移速度是恒定不變的，而以單個(gè)因素的線性化假設(shè)并不能描述流體的粘性與斷面非定常運(yùn)動(dòng)的耦合的強(qiáng)非線性特征。

PIV技術(shù)是一種20世紀(jì)80年代發(fā)展起來(lái)的流場(chǎng)測(cè)試手段，能夠捕捉到渦量沿?cái)嗝婕霸谖擦髁鲃?dòng)中的瞬時(shí)狀態(tài)。張偉［5］應(yīng)用PIV技術(shù)對(duì)H形橋梁斷面運(yùn)動(dòng)及靜止?fàn)顟B(tài)的旋渦運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了分析。分析認(rèn)為H形橋梁斷面的風(fēng)振驅(qū)動(dòng)是由于上下腹板交替移動(dòng)的旋渦造成的，而旋渦是由于前緣豎板引起的流動(dòng)分離形成的。在一個(gè)完整的周期內(nèi)，結(jié)構(gòu)表面的旋渦經(jīng)歷了從生成到脫落的過(guò)程。但限于較低的時(shí)間分辨率、較小的模型比例，試驗(yàn)還未能對(duì)顫振全過(guò)程進(jìn)行系統(tǒng)地采樣及分析。

POD(Proper Orthogonal Decomposition)技術(shù)提供了一種描述結(jié)構(gòu)表面風(fēng)壓場(chǎng)的統(tǒng)計(jì)方法，它將風(fēng)壓場(chǎng)分解為僅依賴(lài)時(shí)間的主坐標(biāo)和僅依賴(lài)空間的協(xié)方差模態(tài)的組合。POD可以找出一系列隨機(jī)過(guò)程之間的隱藏在已知數(shù)據(jù)背后的特征，其最大的優(yōu)點(diǎn)就是用很少的幾個(gè)模態(tài)去表述一個(gè)過(guò)程，而通常主要模態(tài)和現(xiàn)象的機(jī)理是有很大關(guān)系的［6－9］。在鈍體空氣動(dòng)力學(xué)中，POD技術(shù)常被用來(lái)針對(duì)風(fēng)洞試驗(yàn)或?qū)崪y(cè)所獲得結(jié)構(gòu)表面壓力，來(lái)構(gòu)建簡(jiǎn)化氣動(dòng)模態(tài)和分析結(jié)構(gòu)上風(fēng)荷載的主要機(jī)理。上述過(guò)程主要是通過(guò)把氣動(dòng)荷載或壓力看做一個(gè)確定時(shí)間內(nèi)的n維隨機(jī)過(guò)程，把POD分析看做一個(gè)線性變換過(guò)程，把壓力數(shù)據(jù)和力的分布展開(kāi)成一系列用零延遲協(xié)方差矩陣特征向量表達(dá)的模態(tài)。Armitt［7］最早將POD技術(shù)用于風(fēng)工程，1990年Holmes［8］分析了一個(gè)低矮建筑模型邊跨的壓力，討論了POD模態(tài)與暗含的物理現(xiàn)象之間的聯(lián)系。1995年Bienkiewicz等人［9］研究了邊界層風(fēng)洞中的一座低矮建筑，使用分布在建筑表面的494個(gè)測(cè)點(diǎn)同步測(cè)量，基于POD技術(shù)獲得相關(guān)本征模態(tài)。

現(xiàn)有的測(cè)壓技術(shù)的采樣頻率可設(shè)置的很高(大于300Hz)，在二元彈性懸掛剛體模型斷面上布置測(cè)壓點(diǎn)，以較長(zhǎng)的采樣時(shí)間測(cè)量斷面顫振前及顫振過(guò)程中的表面壓力的變化，既可避免僅基于氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)進(jìn)行顫振驅(qū)動(dòng)機(jī)理分析的短處，又可避免PIV技術(shù)中較低的時(shí)間分辨率(15Hz)、不能對(duì)顫振全過(guò)程進(jìn)行系統(tǒng)地采樣及不能得到斷面同步的表面壓力的缺點(diǎn)。

目前對(duì)應(yīng)于橋梁顫振時(shí)的斷面壓力空間分布特征是不清楚的。本文第2節(jié)簡(jiǎn)述了POD方法的基本數(shù)學(xué)格式。第3節(jié)介紹二元彈性懸掛剛體模型表面壓力采樣試驗(yàn)，試驗(yàn)風(fēng)速逐級(jí)增加直至顫振發(fā)生，對(duì)模型顫振時(shí)及固定時(shí)(來(lái)流風(fēng)速與顫振風(fēng)速一致)的表面壓力進(jìn)行采樣，分析了模型顫振時(shí)的表面壓力分布特征。第4節(jié)運(yùn)用POD方法分析模型表面壓力分布與顫振分散性運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系。本文工作目前未見(jiàn)報(bào)道，為今后顫振機(jī)理分析提供了一個(gè)新的思路與方法。

1 POD方法的基本數(shù)學(xué)格式

假設(shè)p(x，y，t)為隨機(jī)脈動(dòng)風(fēng)壓力函數(shù)，那么p(x，y，t)的協(xié)方差函數(shù) Cp(x，y，x'，y')可寫(xiě)成:

式(1)的特征值問(wèn)題為:

式中，φn(x，y)及λn是式(2)所示特征值問(wèn)題求解所獲得的本征模態(tài)及特征值，并且有

其中，δnm為 kronecker符號(hào)

當(dāng)且僅當(dāng)λn及φn(x，y)分別是協(xié)方差函數(shù)Cp(x，y，x'，y')的特征值及相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正交的特征模態(tài)時(shí)，隨機(jī)風(fēng)壓函數(shù)p(x，y，t)可以展開(kāi)成下式:

對(duì)第i個(gè)測(cè)壓點(diǎn)的脈動(dòng)風(fēng)壓力則有

式中 φn(xi，yi)為本征模態(tài) φn在測(cè)壓孔(xi，yi)處的值。上述兩式即脈動(dòng)風(fēng)壓力向量及脈動(dòng)風(fēng)壓力的本征正交分解，其意義是結(jié)構(gòu)表面隨時(shí)間和空間變化的風(fēng)壓力場(chǎng)可以分解為主坐標(biāo)an(t)和本征模態(tài)(或協(xié)方差模態(tài))φn(x，y)的組合，前者是時(shí)間隨機(jī)函數(shù)，而后者是僅取決于空間坐標(biāo)的確定性函數(shù)。

2 彎扭耦合顫振模型及表面壓力波動(dòng)特征

二元彈性懸掛彎扭耦合顫振風(fēng)洞試驗(yàn)?zāi)Ｐ筒捎昧私?jīng)典的斜腹板箱形截面［10］，截面形狀及尺寸如圖1所示，系統(tǒng)重量為39.2kg。在斜腹板箱形截面上布置了180個(gè)同步測(cè)量的壓力測(cè)點(diǎn)，測(cè)點(diǎn)非均勻布置，見(jiàn)圖2。試驗(yàn)在均勻流場(chǎng)中進(jìn)行，采樣頻率為312.5Hz，采樣點(diǎn)數(shù)12000點(diǎn)，采樣時(shí)間38.4s，位移采樣頻率為300Hz，采樣時(shí)間為50s。試驗(yàn)共采集了6組顫振時(shí)的數(shù)據(jù)及5組模型固定時(shí)的數(shù)據(jù)，以反映測(cè)量數(shù)據(jù)的可重復(fù)性。

在零風(fēng)速下，系統(tǒng)的豎彎及扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率分別為1.0997Hz及 2.2361Hz;豎彎及扭轉(zhuǎn)阻尼比分別為0.62%及0.48%。在均勻流場(chǎng)中，彈性懸掛模型在風(fēng)速為12.2m/s時(shí)發(fā)生顫振，顫振過(guò)程斷面的扭轉(zhuǎn)角變化時(shí)程如圖3所示，相應(yīng)的幅值譜如圖4所示。圖4顯示結(jié)構(gòu)發(fā)生顫振的頻率是1.8695Hz，這個(gè)頻率介于模型在零風(fēng)速下豎彎頻率和扭轉(zhuǎn)頻率之間。

圖1 模型截面圖(單位:mm)Fig.1 Cross section of the scale section(unit:mm)

圖2 模型壓力測(cè)點(diǎn)布置圖Fig.2 Distribution of measuring points

圖3 模型顫振時(shí)扭轉(zhuǎn)角隨時(shí)間的變化(單位:°)Fig.3 Change of the torsion angle with time during fluttering(unit:°)

圖4 模型顫振時(shí)扭轉(zhuǎn)角時(shí)程幅值譜Fig.4 Amplitude spectrum of the torsion angle during fluttering

在整個(gè)顫振過(guò)程中，模型表面的歸一化平均壓力如圖5所示(向外表示負(fù)壓，向內(nèi)表示正壓，下同)。相應(yīng)地，模型固定時(shí)，在12.2m/s的風(fēng)速下，模型表面的平均壓力如圖6所示?？梢钥闯觯Ｐ驮陬澱窈凸潭ǖ臅r(shí)候，表面的平均壓力差別較小，只是顫振時(shí)上表面右側(cè)的負(fù)壓比模型固定時(shí)同一部位稍大。

圖5 模型顫振過(guò)程中的平均表面壓力Fig.5 Mean surface pressure during fluttering

圖6 模型固定時(shí)的平均表面壓力Fig.6 Mean surface pressure when fixed

為了明確模型表面各部分壓力波動(dòng)特征，將模型的表面輪廓線分成6部分:上甲板左部，上甲板右部，下腹板左部，下腹板右部，左斜腹板，右斜腹板。分別計(jì)算這六部分的壓力對(duì)升力矩系數(shù)的貢獻(xiàn)，并觀察他們的相位差，結(jié)果如圖7所示。

圖7 總升力矩系數(shù)與各部分升力矩系數(shù)對(duì)比Fig.7 Comparison of the total and the single torque coefficient

圖7顯示，從幅值看，升力矩的波動(dòng)主要是由上甲板及下腹板的左部壓力主導(dǎo)，其次是左斜腹板和上甲板右部，貢獻(xiàn)最小的是下腹板右部和右斜腹板。從相位上看，上甲板及下腹板的左部的相位和總升力矩系數(shù)的相位幾乎相同，上甲板右部的相位稍稍落后一點(diǎn)，而下腹板右部和右斜腹板的相位與總升力矩相位相差幾乎1/4個(gè)周期。顫振時(shí)模型各部分表面壓力分布對(duì)升力矩系數(shù)的貢獻(xiàn)如表1所示，其幅值譜如圖8所示。從圖8及表1同樣可以看到，上甲板及下腹板的壓力波動(dòng)在總升力矩波動(dòng)中占了絕大部分，有82%之多，它們是引發(fā)顫振形態(tài)的主動(dòng)部分，而上甲板及下腹板的右部和右斜腹板雖然具有同樣的卓越頻率，但頻率比較亂，幅值也較小，是受迎風(fēng)側(cè)特征湍流影響的被動(dòng)區(qū)域，上甲板及下腹板右部和右斜腹板的相位落后于總升力矩時(shí)程相位也證明了這點(diǎn)。

圖8 表面各部分升力矩幅值譜Fig.8 Amplitude spectrums of torques in each part

表1 顫振時(shí)模型各部分表面壓力分布對(duì)升力矩系數(shù)的貢獻(xiàn)Table 1 Contribution to the torque of each part

3 彎扭耦合顫振及固定時(shí)模型表面壓力的POD分析

3.1 彎扭耦合顫振時(shí)模型表面壓力POD分析

模型斷面總共有180個(gè)測(cè)點(diǎn)，所以協(xié)方差矩陣為180×180的實(shí)對(duì)稱(chēng)陣，可以求解出180階模態(tài)，而每一階模態(tài)的主坐標(biāo)就代表了該空間分布隨時(shí)間的變化規(guī)律。由于顫振是單一頻率的運(yùn)動(dòng)，所以對(duì)其表面壓力進(jìn)行POD分解時(shí)，只會(huì)有1階或很少幾階模態(tài)與顫振運(yùn)動(dòng)聯(lián)系緊密，我們?nèi)∏捌唠A進(jìn)行觀察，后面的高階模態(tài)所含的能量已經(jīng)很少，不會(huì)對(duì)顫振運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生很大影響。

顫振時(shí)模型表面壓力前7階本征模態(tài)φn(xi，yi)、主坐標(biāo)an(t)時(shí)程及主坐標(biāo)的幅值譜如圖9所示。POD分解所獲得的第一階本征模態(tài)即為其平均壓力分布，從上圖9(a)可以看出，該分布與模型固定時(shí)的歸一化平均壓力分布(見(jiàn)圖5)極其相似。

由圖9(b)、圖9(c)主坐標(biāo)的時(shí)程可以看出，第2、3階主坐標(biāo)幅值隨時(shí)間逐步變大，顯示出發(fā)散的性質(zhì)，其相應(yīng)的幅值譜有明確的卓越頻率(1.869Hz)，該頻率與顫振頻率一致，表明該本征模態(tài)與顫振時(shí)的斷面發(fā)散性運(yùn)動(dòng)具有極強(qiáng)的關(guān)聯(lián)性。圖9(d)、圖9(g)顯示，第4～7階主坐標(biāo)幅值并不具有隨時(shí)間逐步發(fā)散的性質(zhì)，其相應(yīng)的幅值譜也不存在明確的卓越頻率。

根據(jù)式(5)，對(duì)每一階本征模態(tài)所對(duì)應(yīng)的壓力分布進(jìn)行積分就可以得到該本征模態(tài)對(duì)應(yīng)的升力系數(shù)、升力矩系數(shù)和阻力系數(shù)。風(fēng)洞試驗(yàn)顯示該模型的顫振形態(tài)主要表現(xiàn)為有豎彎參與的扭轉(zhuǎn)顫振形式，因此，我們關(guān)心由本征模態(tài)積分所獲得的升力矩系數(shù)對(duì)總升力矩系數(shù)的貢獻(xiàn)。圖10(a)為總升力矩系數(shù)的幅值譜，圖10(b～g)為第2～第7階本征模態(tài)所對(duì)應(yīng)的升力矩系數(shù)的幅值譜。表2為各階本征模態(tài)對(duì)應(yīng)的升力矩系數(shù)對(duì)總升力矩系數(shù)的貢獻(xiàn)。從表2可以看出，第2階本征模態(tài)對(duì)總升力矩系數(shù)波動(dòng)的貢獻(xiàn)占絕對(duì)主導(dǎo)地位，近96%。

以上分析顯示，第二階本征模態(tài)的主坐標(biāo)的頻率與顫振頻率一致，且具有有振動(dòng)位移一致的發(fā)散性，表明該本征模態(tài)與顫振時(shí)的斷面發(fā)散性運(yùn)動(dòng)具有極強(qiáng)的關(guān)聯(lián)性。第4～第7階模態(tài)里面雖然都含有與顫振頻率相同的頻率，但隨著模態(tài)數(shù)的增加，其他頻率的成分也漸漸增加，第六階模態(tài)以后，甚至顫振頻率已經(jīng)不是其主要頻率，其模態(tài)特性漸漸變成模型本身外形導(dǎo)致的壓力波動(dòng)為主導(dǎo)。據(jù)此我們合理推斷第二階模態(tài)所代表的壓力波動(dòng)是引起結(jié)構(gòu)顫振的原因，是顫振的主導(dǎo)模態(tài)，而其他本征模態(tài)為斷面外形引起的特征紊流形成的結(jié)果。

圖9 本征模態(tài)、主坐標(biāo)時(shí)程及主坐標(biāo)幅值譜Fig.9 Intrinsic modes，the principal coordinate time-history and the amplitude spectrums

圖10 顫振時(shí)的本征模態(tài)對(duì)應(yīng)的升力矩的幅值譜圖Fig.10 Amplitude spectrum of the torque corresponding to the intrinsic mode during fluttering

表2 模型顫振時(shí)POD分解第二至第七階模態(tài)對(duì)升力矩系數(shù)的貢獻(xiàn)Table 2 Contributions to the torque coefficient from the 2nd to 7th mode during fluttering

3.2 模型固定及顫振時(shí)表面壓力對(duì)比分析

圖11為模型顫振時(shí)的本征模態(tài)及固定時(shí)的本征模態(tài)對(duì)比圖。圖11顯示，顫振時(shí)模型表面壓力分布的第4階本征模態(tài)與固定時(shí)模型的第4階本征模態(tài)分布及幅值譜相似(圖11b);顫振時(shí)的第5階模態(tài)與固定時(shí)的第6階模態(tài)分布及幅值譜相似(圖11c);顫振時(shí)的第6階本征模態(tài)與固定時(shí)的第3階本征模態(tài)分布及幅值譜相似(圖11d);顫振時(shí)的第7階本征模態(tài)與固定時(shí)的第2階本征模態(tài)分布及幅值譜相似(圖11e)。只有顫振時(shí)的第2、3階本征模態(tài)在固定模型時(shí)的表面壓力分布的本征模態(tài)中找不到與之相近的。

圖11 模型顫振時(shí)的本征模態(tài)及固定時(shí)本征模態(tài)對(duì)比圖Fig.11 The intrinsic mode during fluttering and the intrinsic mode in the static condition

圖12 模型固定時(shí)的2～7階本征模態(tài)主坐標(biāo)幅值譜Fig.12 Amplitude spectrums of the principal coordinate from 2nd to 7th intrinsic mode in the static condition

4 小結(jié)

本文對(duì)彈性懸掛的剛體模型顫振時(shí)及固定時(shí)(來(lái)流風(fēng)速一致)的表面壓力進(jìn)行采樣。首先分析模型顫振時(shí)的表面壓力分布特征，分析顯示，主梁上甲板及下腹板左部的壓力波動(dòng)在總升力矩波動(dòng)中占主導(dǎo)地位且頻率與顫振頻率一致，是引發(fā)顫振形態(tài)的主動(dòng)部分，而右部是受迎風(fēng)側(cè)特征紊流影響的被動(dòng)區(qū)域，其相位相對(duì)于左部具有滯后性。隨后運(yùn)用本征正交分解(POD)方法分析模型表面壓力分布與顫振之間的關(guān)系。結(jié)果顯示，所獲得的本征模態(tài)中存在與顫振扭轉(zhuǎn)發(fā)散運(yùn)動(dòng)關(guān)聯(lián)極強(qiáng)的本征模態(tài)，該模態(tài)對(duì)總升力矩系數(shù)波動(dòng)的貢獻(xiàn)占絕對(duì)主導(dǎo)地位，其主坐標(biāo)頻率與顫振發(fā)散頻率一致，且具有有振動(dòng)位移一致的發(fā)散性，該模態(tài)在固定模型表面壓力本征模態(tài)中找不到對(duì)應(yīng)的模態(tài)。而其他模態(tài)主坐標(biāo)幅值并不具有隨時(shí)間逐步發(fā)散的性質(zhì)，其相應(yīng)的幅值譜也不存在明確的卓越頻率。本文工作為今后顫振機(jī)理分析提供了一個(gè)新的思路與方法。

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