李賢麗， 秦顯榮， 王 升， 張秀龍， 嚴曉波

( 東北石油大學(xué) 電子科學(xué)學(xué)院，黑龍江 大慶 163318 )

0 引言

自1963年Lorenz在確定性系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)混沌運動以來，混沌及相關(guān)問題研究取得許多進展.由于混沌現(xiàn)象普遍存在于復(fù)雜的非線性系統(tǒng)中，混沌控制是混沌應(yīng)用的關(guān)鍵技術(shù)，已經(jīng)成為非線性科學(xué)的重要研究領(lǐng)域.自1990年Ott E等提出OGY方法[1]實現(xiàn)混沌控制以來，許多控制方法，如周期激勵法[2]、參數(shù)周期擾動法[3]、自適應(yīng)控制法[4]、線性反饋法等均可實現(xiàn)混沌控制，并在許多領(lǐng)域中得到應(yīng)用.

混沌控制方法可以分為反饋控制和無反饋控制[5].反饋控制方法可以根據(jù)受控系統(tǒng)的狀態(tài)進行調(diào)節(jié)，具有微擾較小的優(yōu)點，但需要預(yù)先了解系統(tǒng)的運動狀態(tài).實際的非線性系統(tǒng)常常無法預(yù)先了解系統(tǒng)的動力學(xué)特性.無反饋控制方法不必預(yù)先了解系統(tǒng)的狀態(tài)變量，在實際控制中簡單易行，因而在許多領(lǐng)域得到應(yīng)用.無反饋控制方法多應(yīng)用于非自治系統(tǒng)的混沌控制，對于自治系統(tǒng)的控制研究較少.李賢麗等[6-8]采用參數(shù)周期擾動、周期激勵、周期脈沖等無反饋控制方法，對自治系統(tǒng)，如CHAY模型、Rossler系統(tǒng)、Lorenz超混沌系統(tǒng)等進行研究，得到較好的控制結(jié)果.

Leipnik R B等在研究具有線性反饋的剛體運動模型時，提出具有雙吸引子的Newton-Leipnik混沌系統(tǒng)[9]，該系統(tǒng)在初始條件不同時，存在2個不同的吸引子，因而系統(tǒng)動力學(xué)性質(zhì)更為復(fù)雜[10-12].筆者采用周期激勵法和參數(shù)擾動控制法對Newton-Leipnik雙吸引子系統(tǒng)的混沌進行控制，以實現(xiàn)有效控制，并對不同初始條件混沌控制的影響進行比較.

1 Newton-Leipnik系統(tǒng)的動力學(xué)性質(zhì)

1.1 動力學(xué)性質(zhì)

具有雙吸引子的Newton-Leipnik混沌系統(tǒng)，為三維非線性自治系統(tǒng)，方程為

(1)

式中：a，b為參數(shù).

當a=0.4，b=0.175時，系統(tǒng)的初始狀態(tài)取(0.349,0,-0.160)T和(0.349,0,-0.180)T時，系統(tǒng)的相軌跡見圖1.由圖1可以看出，系統(tǒng)存在著上、下2個不同的奇怪吸引子，因而Newton-Leipnik系統(tǒng)的動力學(xué)行為相對其他單奇怪吸引子系統(tǒng)更為復(fù)雜，對初始條件具有較強的敏感依賴性.

對式(1)求解，得到系統(tǒng)具有5個不穩(wěn)定平衡態(tài)分別為(0,0,0)T，(0.239 0,0.030 8,0.210 3)T，(-0.239 0,-0.030 8,0.210 3)T，(0.031 5,-0.122 4,-0.110 3)T，(-0.031 5,0.122 4,-0.110 3)T，其中：第2、3個平衡態(tài)處于上吸引子的中心，第4、5個平衡態(tài)處于下吸引子的中心.根據(jù)線性穩(wěn)定性分析，對第1個平衡態(tài)，在平衡點鄰域?qū)⒎匠叹€性化，得到3個特征值：

λ1=0.175 0,λ2=-0.4+i,λ3=-0.4-i.

對第2、3個平衡態(tài)，得到3個特征值：

λ1=-0.799 8,λ2=0.087 4+1.211 5i,λ3=0.087 4-1.211 5i.

對第4、5個平衡態(tài)，得到3個特征值：

λ1=-0.799 5,λ2=0.087 3+0.875 2i,λ3=0.087 3-0.875 2i.

因而這5個平衡態(tài)為不穩(wěn)定焦結(jié)點.系統(tǒng)的初始條件決定系統(tǒng)相軌跡的運動趨勢，最后形成雙吸引子的復(fù)雜結(jié)構(gòu).當a變化時，在平衡態(tài)(0,0,0)T處，系統(tǒng)的線性化方程的特征值為

當a=-0.4時，系統(tǒng)從不穩(wěn)定態(tài)經(jīng)hopf分岔轉(zhuǎn)變?yōu)榉€(wěn)定的極限環(huán)型振蕩，即非線性周期運動.

1.2 數(shù)值計算

采用四階龍格—庫塔法，對非線性微分方程式(1)求數(shù)值解，得到xmax隨參數(shù)a變化分岔結(jié)構(gòu)圖(見圖2)，其中：橫坐標為a，縱坐標為x的極大值，可以觀察到明顯的倍周期分岔通向混沌的過程，當a=0.36時，系統(tǒng)為2周期運動；當a=0.368時，系統(tǒng)為4周期運動.z隨t變化的時序圖見圖3和圖4.

圖1 系統(tǒng)的奇怪吸引子

圖2 系統(tǒng)隨a變化的分岔圖

圖3 系統(tǒng)的2周期時序圖

圖4 系統(tǒng)的4周期時序圖

2 混沌控制計算

在Newton-Leipnik系統(tǒng)中，取a=0.4，b=0.175時混沌運動狀態(tài)，選取初始條件為(0.349,0,-0.160)T作研究.采用周期激勵和參數(shù)周期擾動控制方法對Newton-Leipnik系統(tǒng)的混沌運動進行控制，它們根據(jù)混沌運動對初始條件的高度敏感性和混沌軌道中鑲嵌著無窮多個不穩(wěn)定的周期軌道性質(zhì)，利用共振原理和混沌軌道的遍歷性對系統(tǒng)的混沌運動進行抑制.

2.1 周期激勵控制

周期激勵法是通過給系統(tǒng)加入附加的周期強迫力的方法，控制動力學(xué)體系的混沌運動狀態(tài).在方程(1)右側(cè)加入周期激勵項F：

F=rcosωt,

(2)

式中：r為周期激勵振幅；ω為激勵頻率.該方法可調(diào)參數(shù)為r和ω，通過適當調(diào)節(jié)它們實現(xiàn)混沌運動控制.

在系統(tǒng)方程(1)的第1式的右側(cè)加入周期性外力式(2)，方程為

(3)

計算結(jié)果表明，當ω=3.2時，對控制參數(shù)r循環(huán)運算，得到控制結(jié)果隨激勵振幅r變化的結(jié)果見圖5(a)；當0.30≤r≤0.42時，能夠?qū)⒒煦邕\動控制為規(guī)則周期運動，r=0.4時的系統(tǒng)三維相圖見圖5(b).

圖5 ω為3.2時的周期激勵控制

將式(2)加在系統(tǒng)方程(1)的第3式中，進行周期激勵控制.當ω=2.0時，得到控制結(jié)果隨激勵振幅r的變化(見圖6(a)).由圖6(a)可以看出：當0.14≤r≤0.3時，系統(tǒng)被控制為1周期運動.當r=0.2時，系統(tǒng)相圖見圖6(b).

圖6 ω為2.0時的周期激勵控制

對系統(tǒng)方程第1和3式進行控制，均可實現(xiàn)控制.將控制后得到的周期態(tài)與原系統(tǒng)的周期態(tài)進行比較，控制得到穩(wěn)定的周期軌道并不是原系統(tǒng)的周期軌道，系統(tǒng)的性質(zhì)發(fā)生變化，產(chǎn)生新的動力學(xué)行為.

2.2 參數(shù)周期擾動控制

在系統(tǒng)方程中，選取a作為控制參數(shù)，對其進行周期擾動，即把式(1)的a改為

a′=(1+rcosωt)a,

(4)

式中：r為參數(shù)周期擾動的幅值；ω為參數(shù)周期擾動頻率.可以通過調(diào)節(jié)的控制參數(shù)r和ω，將系統(tǒng)的混沌態(tài)抑制為規(guī)則的周期運動，從而實現(xiàn)混沌控制.

將式(4)代入系統(tǒng)方程(1)中，則方程(1)的形式為

(5)

調(diào)節(jié)控制參數(shù)r和ω：當T=7.3時，改變控制幅值r得到穩(wěn)定控制，當0.78≤r≤1.2時，除個別值外，系統(tǒng)能夠被穩(wěn)定控制成1周期運動，系統(tǒng)受參數(shù)周期擾動后，得到控制結(jié)果隨r的變化(見圖7(a))；當r=0.8時，系統(tǒng)相圖見圖7(b).

圖7 參數(shù)周期擾動控制

3 初始條件影響

由于雙吸引子結(jié)構(gòu)特殊，受初始條件影響較大，不同初始條件對應(yīng)上、下2個不同的吸引子，在控制過程中可能被吸引于不同的吸引域內(nèi)，因而控制時達到的狀態(tài)有可能不同.當初始條件不同時，比較2種控制方法的控制結(jié)果.

對于周期激勵控制，當ω=5.0時，初始條件分別取 (0.349,0,-0.160)T和(0.349,0,-0.180)T時，控制結(jié)果與r變化關(guān)系見圖8.由圖8可以看出，2種方法存在一定差異.r=0.4時的控制相圖見圖9(a)，分別處于混沌和1周期運動狀態(tài).r=0.55時的控制相圖見圖9(b)，分別處于1周期和混沌運動狀態(tài).當r=0.6時均為1周期運動，且2條曲線完全重合，說明初始條件不同的2個吸引子最終控制的結(jié)果相同.

圖8 ω為5.0時周期激勵控制ymax隨r變化圖

圖9 不同r時的相圖

圖10 參數(shù)周期擾動控制

計算參數(shù)擾動控制，當T=7.3(ω=T/(2π))、初始條件取(0.349,0,-0.180)T時，控制結(jié)果見圖10.由圖10與圖8可以看出，在參數(shù)取某些特定值時，控制結(jié)果不同.對雙吸引子復(fù)雜系統(tǒng)，初始條件的微小變化對應(yīng)系統(tǒng)的上、下2個吸引子，控制對系統(tǒng)性質(zhì)有一定影響，致使控制結(jié)果出現(xiàn)差異，但對結(jié)果影響不大，可控區(qū)域重合范圍較大.

4 結(jié)論

(1)分析Newton-Leipnik雙吸引子系統(tǒng)的動力學(xué)性質(zhì)，5個不穩(wěn)定平衡態(tài)的存在導(dǎo)致該系統(tǒng)的性質(zhì)較為復(fù)雜.采用周期激勵和參數(shù)周期擾動2種無反饋的控制法，研究該系統(tǒng)的混沌態(tài)控制，結(jié)果表明2種方法均可實現(xiàn)對該系統(tǒng)的混沌控制.

(2)2種方法的優(yōu)點是無需預(yù)先了解體系的性質(zhì)，即可對體系的混沌態(tài)進行控制，得到的穩(wěn)定的周期軌道并不是原系統(tǒng)的周期軌道，系統(tǒng)的動力學(xué)性質(zhì)發(fā)生變化.由于雙吸引子系統(tǒng)的復(fù)雜性質(zhì)，具有對初始條件的高度敏感依賴性，對比不同初始條件下的2種混沌控制方法得到的結(jié)果，表明初始條件不同對控制結(jié)果有一定影響，但影響不大.

(3)實際復(fù)雜的混沌系統(tǒng)很難預(yù)先了解動力學(xué)特性，為解決這類問題的混沌控制提供依據(jù)，并且在混沌控制過程中能夠得到豐富的信息及新的動力學(xué)行為.