一階時(shí)滯泛函微分方程的正周期解

金愛(ài)云，張國(guó)偉

(1.鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院 數(shù)理系， 河南 鄭州 450015；2.東北大學(xué) 數(shù)學(xué)系，遼寧 沈陽(yáng) 110004)

泛函微分方程周期正解這一課題引起了人們的廣泛關(guān)注，有不少作者利用不同的周期模型討論了該問(wèn)題[1-2]，文獻(xiàn)[3]中討論了一般泛函微分方程u′(t)=-a(t)u(t)-g(t，u(t-τ(t)))周期解的存在性.

這里，我們考慮泛函微分方程

x′(t)=-a(t)f(x(t-τ(t)))x(t)+g(t，x(t-τ(t)))，

(1)

的周期正解存在性問(wèn)題.其中，a(t)∈C(R，[0，∞))，f∈C([0，∞)，(0，∞))，g∈C(R×[0，∞)，[0，∞))，τ(t)∈C(R，R)，并且a(t)，τ(t)都是ω-周期泛函,g(t，x)關(guān)于t為ω-周期泛函，ω>0為一個(gè)常數(shù),f(x)為有界泛函.

本文利用錐中的不動(dòng)點(diǎn)定理來(lái)處理方程(1)的周期正解的存在性問(wèn)題,即找到一個(gè)泛函及一個(gè)適當(dāng)?shù)乃阕訚M足, 推廣了文獻(xiàn)[3]中相應(yīng)的結(jié)論.

1 準(zhǔn)備工作

設(shè)X是實(shí)Banch空間，K是X的一個(gè)非空閉子集，K為一個(gè)錐.即

1)αu+βv∈K，?u，v∈K且α，β≥0,

2)u，-u∈K，也即u=0.

假設(shè)(P)a(t)∈C(R(0，∞))，τ(t)∈C(R，R)，g∈C(R×[0，∞)，[0，∞))，f∈C([0，∞)，(0，∞)), 并且a(t)，τ(t)，g(t，x)都是ω-周期泛函,ω>0為一個(gè)常數(shù),f(x)為有界泛函.

如果u(t)∈C([0，ω]，[0，+∞))， 并且u(t)滿足方程(1), 則稱u(t)為方程(1)的解.如果在(0，ω)上u(t)>0, 則稱u(t)為方程(1)的正解.

1) ‖Φx‖≤‖x‖，x∈K∩?Ω1，

定理1 假設(shè)(P)成立, 方程(1)若滿足下列條件:

則至少有1個(gè)ω-周期正解.

首先，我們指出方程(1)的ω-周期解即為積分方程

(2)

的解. 其中

(3)

則X在范數(shù)‖C‖下是Banach空間. 定義X上的算子:

x=Φx.

(4)

其中

(5)

令K={x∈X：x(t)≥0，且x(t)≥σ‖x‖，t∈[0，ω]}，0<σ=A/B<1，且

易證K是X中的一個(gè)錐.

引理2 假設(shè)(P)成立, 則Φ(K)?K.

2 主要結(jié)論的證明

下面我們證明定理1在(1)或(2)成立下的結(jié)論.

g(t,u)≥f(u)a(t)u，0≤u≤r，

(6)

因此, 如果x∈K，且‖x‖=r，則x(t)≥σr.

令ψ≡1，t∈R，我們證明

x≠Φx+λψ，x∈K∩?Ω1，λ>0，

(7)

其中，Ω1={u∈X：‖u‖

如若不然，存在x0∈K∩?Ω1，λ0>0， 使得x0=Φx0+λ0ψ,

令R=r1/σ, 于是有

u(t)≥σ‖u‖=σR=r1,u∈K∩?Ω2，

(8)

其中，Ω2={u∈X：‖u‖

g(t，u)≤f(u)a(t)u，0≤u≤r，

(9)

因此, 如果x∈K，且‖x‖=r，則x(t)≥σr.于是, 對(duì),x∈K，‖x‖=r，有

也即‖Φx‖≤‖x‖,其中x∈K∩?Ω1，Ω1={u∈X：‖u‖

u(t)≥σ‖u‖=σR=r1，u∈K∩?Ω2，

(10)

其中，Ω2={u∈X：‖u‖

令ψ≡1，t∈R，證明

x≠Φx+λψ，x∈K∩?Ω2，λ>0

(11)

如若不然，存在,x0∈K∩ ?Ω2，λ0>0使得x0=Φx0+λ0ψ.

參考文獻(xiàn)：

[1] 彭世國(guó)，朱思銘.無(wú)窮時(shí)滯泛函微分方程的正周期解[J].數(shù)學(xué)年刊，2004(3):285-292.

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